输油管的优化布置

1、输油管的优化布置输油管的优化布置 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 c题 王 峰 2011.6.26 2011年暑期数模培训讲座年暑期数模培训讲座 问题背景 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼某油田计划在铁路线一侧建造两家炼 油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用 来运送成品油。由于这种模式具有一定的来运送成品油。由于这种模式具有一定的 普遍性，油田设计院希望建立管线建设费普遍性，油田设计院希望建立管线建设费 用最省的一般数学模型与方法。用最省的一般数学模型与方法。 问题背景 v1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种 不同情形，提出你的设计方

2、案。在方案设计时，若有共 用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或 不同的情形。 v2. 设计院目前需对更为复杂的情形进行具体的设计。两 炼油厂的具体位置由附图所示，其中a厂位于郊区(i 区 域)，b厂位于城区（图中的ii区域），两个区域的分界 线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位： 千米）分别为 a=5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 在城区铺 设的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此 项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公 司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进 行了估算。结果如下表所示：

3、工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用(万元/千米)212420 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应 的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送a厂成品油的每千米5.6万元，输送b 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。 请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 1.问题分析 v在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路 线上增建一个车站，用来运送成品油，不线上增建一个车站，用来运送成品油，不 同的情况下，输油管线设计方案不同。同的情况下，输油

4、管线设计方案不同。 v共用管线费用一般比非共用管线费用贵，共用管线费用一般比非共用管线费用贵， 但不会超过但不会超过2倍，否则不用共用管线。倍，否则不用共用管线。 v本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借 助平面几何方法来描述。助平面几何方法来描述。 2.模型假设 v（1）两炼油厂分别为）两炼油厂分别为a、b，位于铁道线的同侧；，位于铁道线的同侧； v（2）铁路是一条直线，）铁路是一条直线，p点为车站；点为车站； v（3） 点点q为共用管线与非共用管线的节点；为共用管线与非共用管线的节点； 共用管线费用是非共用管线费用共用管线费用是非共用管线费用 k倍，倍，

5、v v v（4）不考虑施工工艺对管道铺设的影响）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。 12k 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同 v设ab，交汇点q(x,y)，管路单价 r(万元/千米)，则模型如下： p q 222 2 min ( , )() (1) . . 0, 0 (2) z x yrxaylxbyy stxlya 目标函数有唯一驻点： * * 3 22 22 3 l xba abl y 情形1：驻点坐标满足约束条件（2），即： 33balab min 3 2 r zabl 图1：有共用管线的布置 x y q 图2：无共用管线的布置 x y 情形3：如果y*0,即： 3lab 2

6、*2 min ,0, a xl yzrlab ab 则无需共用管线，令y*=0。此时图形转为图2.利用对称性，可得： a 情形2：如果x*a,即： 3lba * 2 2 min 0,xya zr alba 则令x*=0或y*=a，代入(1)可得： 此时，q点与a点重合。 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同 此时，q点为ab与铁路的交点。 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同 v假设共用管线和非共用管线单价分别为kr(万元/千米)和r (万元/千米)， 通常2k1，则模型为 222 2 min ( , )() (3) . . 0, 0 (4) z x yrxaylxbykry

7、stxlya 类似于前面三种情形的讨论，可得如下结果： 目标函数有唯一驻点： *2 * 2 4 22 2 2 4 lba xk k abkl y k 情形4：驻点坐标满足约束条件（4），即下面的不等式(5)成立时： 22 22 22 (5) baba k lbalba 2 min 4 (6) 2 r zk ablk q 图2：无共用管线的布置 x y 情形6：如果y*0，即： 2 2 2 (7) ba k lba 2 *2 min ,0, a xl yzrlab ab 则无需共用管线，令y*=0。此时与情形3相同，可得： a 情形5：如果x*a,即： 2 2 2 ba k lba * 2 2

8、min 0,xya zr kalba 则令x*=0或y*=a，代入(3)可得： 此时，q点为a点。 问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同 此时，q点为ab与铁路的交点。 问题二 v附加费用m(万元/千米)的确定 2124202 21 (8) 1 12 k m kk m的大小可以按照三家工程咨询公司的估算值做加权平均， 设甲级资质权重为k，乙级资质权重为1(k1)，则 问题二 v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的铺设费用均相同 p q 22222 2 min ( , , )() () (9) . . 0, 0, (10) z x y trxaycxtyyrmlcbt stxcya y

9、tb 目标函数有唯一驻点： * 2 2 * 2 2 * 2 2 33 22 2 4 22 3 2 4 4 lc rc xba rmr lc rabc y rmr lc r tb rmr 如果驻点坐标满足 约束条件（10），则： 2 2 min 34 (11) 22 rlc zabcrmr 图3：有附加费用和共用管线的布置 x y t v设管线与i、ii区交界处交点为t(c,t)，所 有管线的铺设费用单价为r(万元/千米)， 则模型如下： 问题二 v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的铺设费用均相同 题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,r=7.2 下面通过数值计算讨论m的影响。

10、权重km(万元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)zmin(万元) 1.221.635.4471.8557.371283.3525 1.621.565.4481.8547.369282.9997 2.021.505.4491.8547.368282.6973 3.021.405.4511.8537.366282.1934 4.021.335.4531.8527.364281.8405 5.021.295.4541.8517.363281.6389 6.021.255.4541.8517.362281.4373 不同权值下的最优解数值结果 问题二 v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的

11、铺设费用均相同 22222 2 122 min ( , , )() (12) . . 0, 0, (13) z x y trxayrcxtypyrmlcbt stxcya ytb 直接求解目标函数驻点坐标较为困难,怎么办？有没有简单的方法？ v设各类管线铺设费用单价 (万元/千米) 分别为：公用段p, a厂r1，b厂r2, 则模型如下： 问题三 v设设所有管线的铺设费用不相同所有管线的铺设费用不相同 p q x y t c 从平面的三角关系入手从平面的三角关系入手：汇合点q,t可以由三个角度确定，p点由q点确定 图4：有附加费用和共用管线的布置 2 1 12 2 2 sin (14) sin

12、coscos(15) cos (16) cos r r prr rm r 解得： 222222222 122121 122 cos,cos,cos (17) 222 prrprrprr prprp rm 根据几何关系：()tan,()tan,()tan (18)xaycxtylcbt 驻点条件等价于 问题三 v设设所有管线的铺设费用不完全相同所有管线的铺设费用不完全相同 p q x y t c 图4：有附加费用和共用管线的布置 可见：直角坐标变量 x, y, t 满足一个线性方程组，系数由三角函数决定。 解得： * * * ()tantan tantan , (19) tantantantan

13、tan cta lctac tbxy 代入目标函数解得： * 12 2* min (20) coscossin r ayrty rmlc zpy p q x y t c 图4：有附加费用和共用管线的布置 v设设所有管线的铺设费用不完全相同所有管线的铺设费用不完全相同 问题三 有没有更简单的方法？ v设设所有管线的铺设费用不完全相同所有管线的铺设费用不完全相同 12 21 sin sin vn vn 类比法类比法 ！ 光的折射定律 光程：光在媒介中通过的路程和该媒介折射率的乘积 费马原理:光在指定起点和终点的传播过程中遵循 “光程取极值或常数”的原则 光程取极值 12 sinsin0nn 如果将

14、光线看成是管道，折射率看成是管道单价，则光程可以视为管道总造价！ 光程最短等价于两段管道总造价最小！ 确定入射光与折射光在介质界面的最佳交汇点 2 1 12 sin sin( ,) coscos r rqx y prr 点不固定: 22 2 1 ( , ) n ii i c x ycxxyy 22 1 2 2 1 2 11 2 sin0 cos0 n ii i n n i i i i n i i i i i i i xxc c x xxyy yyc c y x c c xyy i yi为从 轴正向到第 条管 （逆时 道的角度 针为正） 2 2 cos () cos rm txy r 点 固定,

15、 不固定 ： 推广：推广：n条管道确定最佳汇合点条管道确定最佳汇合点 p q x y t c 图4：有附加费用和共用管线的布置 2 1 12 sin sin coscos r r prr ( ,)qx y点不固定: ()txy点 固定, 不固定 ： p q x t c 图4：有附加费用和共用管线的布置 12 12 sinsinsin0 coscoscos0 rrp rrp 22 coscos0rrm 2 2 cos cos rm r 题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,p=7.2,r1=5.6,r2=6 下面通过数值计算讨论m的影响。 权重km(万元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)zmin(万元) 1.221.636.7320.1407.283252.6252 1.621.566.7330.1407.281252.2716 2.0