点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解[基础]

1、点、直线、圆与圆的位置关系一知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2. 理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题；3. 了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位 置关系与d、ri、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题.【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1 点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具 有相同的性质和判定方法；设O O的半径为r,点

2、P到圆心的距离为d，则有点p在圆内o况 f o +y学习参考（2）点尸在圆上令d =尸0+/ = n点P在圆外O况 r O Jd +尹r.2 .三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三 角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系； 知道数量关系也可以确定位置关系；（2） 不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1 直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线

3、叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线， 唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2 .直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置， 半径确定圆的大小， 因此研究直线和圆的位置关系， 就可以转化为直线和点（圆心） 的位置关系.下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图 （2）中直线与圆心的距离等于半径；图 （3）中直线与圆 心的距离大于半径.0如果O O的半径为r，圆心O到直线的距离为d,那么(1) 直线/和OOt目交(2) 直

4、线和G)O相切 d = r；(3) 直线/和G)O相离odr要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系 的判定.要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 3 .切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称切线是直

5、线，而非线段4 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等5.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆6 .三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三边的距离都相等要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即一 l、(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2三角形的外

6、心与内心的区别:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交占八、A(1)到三角形三个顶点的距离相等，即 OA=OB=QC(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点(1) 到三角形三边距离相等；(2) 0A、OB OC分别平分/BAG / ABC / ACB (3)内心在三角形内部要点四、圆和圆的位置关系1 圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两 个圆外切这个唯一的公共点叫做切点两

7、圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两 个圆内切这个唯一的公共点叫做切点两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含2 两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设O 0的半径为ri,O Q半径为2, 两圆心OO的距离为d,则：两圆外离 一dri+r2两圆外切一d=r计2两圆相交 :r i-r 2 r 2)两圆内切一d=ri-r 2 (r ir2)两圆内含 d2)要点诠释：分类,(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的

8、公共点个数 又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合【典型例题】类型一、点与圆的位置关系i. 已知圆的半径等于 5 cm,根据下列点 P到圆心的距离：(i)4 cm； (2)5 cm； (3)6 cm,判定点P与圆的 位置关系，并说明理由【答案与解析】学习参考(1) 当 d=4 cm 时，T dv r ,点 P在圆内；(2) 当d=5 cm时，T d=r，点 P在圆上；(3) 当d=6 cm时，t d r，点P在圆外.【总结升华】禾U用点与圆的位置关系，由点

9、到圆心的距离与半径的大小比较举一反三：【变式】 点A在以0为圆心，3为半径的OO内，则点A到圆心0的距离d的范围是.【答案】Ow dv 3.类型二、直线与圆的位置关系2. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与 AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2 厘米；(2)r=2.4 厘米；(3)r=3 厘米【答案与解析】过C点作CDL AB于D,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3, BC=4 得 AB=5Szabc =-AB-CD = -AC BC， ab cd=ac bc, mk 22CD=AC BCAB=口 =2.4 (cm),5(1

10、 )当i r =2cm 时 CD r ,圆C与AB相离;(2 )当i r= 2.4cm 时，CD=r,圆C与AB相切；(3 )当i r=3cm 时，CDV r ,圆C与AB相交.【总结升华】 欲判定O C与直线AB的关系，只需先求出圆心 C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可. 举一反三：【变式】 如图，P点是/ AOB的平分线OC上一点，PE丄OA于 E,以P为圆心，PE为半径作O P .求证：O P与OB 相切。B【答案】 作PF丄OB于 F,则可证明厶OEPA OFP所以PF=PE即F在圆P上，故O P与OB相切。3. 如图所示，在 Rt ABC中，/ B= 90,/ A的平分线

11、交 BC于D,以D为圆心，DB长为半径作O D.求 证：AC是O D的切线.【答案与解析】过D作DF丄AC于F./ B= 90,. DB 丄AB.又AD平分/ BACDF = BD=半径. AC与O D相切.【总结升华】 如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可.可简记为：作垂直，证半径.类型三、圆与圆的位置关系4. (1)已知两圆的半径分别为3cm, 5cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是()A .外切 B .内切 C .相交 D .相离(2) 已知O O与O Q相切，O O的半径为3cm O Q的半径为2cm,贝U 0Q

12、的长是()A. 1cm B . 5cm C . 1cm或 5cm D . 0.5cm 或 2.5cm【答案】(1) C ;( 2) C.【解析】(1)由于圆心距 d= 7cm, R+r= 5+3= 8(cm) , R-r = 5-3 = 2(cm). R-r v dv R+r,故这两圆的位置关系是相交.(2)两圆相切包括外切和内切，当OO与O Q外切时，d = OQ= R+r= 3+2 = 5(cm);当O 0 与O Q内切时，d= OQ= R-r = 3-2 = 1(cm).【总结升华】 由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离二d R+r；两圆外切二d = R+r；两圆相交二 R-

13、r vd v R+r；两圆内切二d = R-r ；两圆内含二d v R-r .点、直线、圆与圆的位置关系一巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA PB分别与O O相切于A, B点，C为O O上一点，/ ACB=65，则/ APB等于()A. 65B. 50C. 45 D . 402 .如图，AB是O O的直径，直线 EC切O 0于B点，若/ DBC=z，贝U ().1A.Z A= a B . Z A=90-a C . Z ABD= a D. Z ABD =90 -23.设OO的半径为第2题图I与OO至少有一个公共点,则d应满足的条件是()学习参考A.d=3 B. dv 3C

14、. d 34 .在Rt ABC中，/ C=90 , AB=1Q AC=6以C为圆心作OC和AB相切，则OC的半径长为（）A.8B.4C.9.6D.4.85.已知OO1 和OO 2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含6 .已知：A, B, C, D, E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆， 最多能作出（）.A. 5个圆B. 8个圆C. 10个圆D. 12个圆二、填空题7 锐角三角形的外心在三角形的 部，钝角三角形的外心在三角形的 部，直角三角形的外心在 .8.若 ABC中，/ C=90, AC=10cm BC=24cm则

15、它的外接圆的直径为 .9 .若 ABC内接于O 0, BC=12cm 0点到BC的距离为8cm,则O O的周长为 .10. 如图所示，以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为 3cm和5cm, 贝H AB的长为cm.11. 如图所示，已知直线 AB是O O的切线，A为切点，OB交O O于点C,点D在O O上，且/ OBA= 40，则/ ADC第10题图厂第11题图0学习参考12. 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是.三、解答题13. 如图所示，四边形 ABCD是平行四边形，以 AB为直径的

16、O O经过点D, E是O O上一点，且/ AED= 45，试 判断CD与OO的关系，并说明理由.14. AB是OO的直径，BC切OO于B, AC交OO于D点，过 D作O O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE.J3 E15. 如图所示，AB是O O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆AB的中点，PD切O 0于点D,连CD交AB于点E,求证：PD= PE学习参考【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】连结 OA 0B 则/ AOB=130，/ PAOM PBO=90，所以/ P=50 .2. 【答案】A;【解析】 AB是O O 的直径，/ ADB=90，/ A+M ABD=90

17、 ,又直线 EC切O O于 B 点， +M ABD=90，/ A=a，故选 A.3. 【答案】C;【解析】直线I可能和圆相交或相切4. 【答案】D;【解析】作CDLAB于D,则CD为OC的半径，BC= AB2 - AC2 = . 106 =8,由面积相等，得 AB- CD=AC BC.CD=4.8.105. 【答案】D;【解析】内切、外切分别对应d=R r, d=R r,它们起着分界作用.在OO1和OO相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d+ r和d r，因为圆心距 d=3v R r，所以“内含”.6. 【答案】C.

18、【解析】过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDECDE的圆.二、填空题7 .【答案】内，外，它的斜边中点处.8.【答案】26cm.9 .【答案】20 n cm10. 【答案】8.【解析】因为AB切小O O于C,连OA OC如图，由切线的性质知 OCLAB,又由垂径定理得 AC= BC, 在 Rt AOC中, AO= 5, OC= 3.AB = 2AC= 8(cm).11. 【答案】25 .【解析】 OALAB,M OBA= 40,M BOA= 50,Z ADC= 1 Z BOA= 25 .212. 【答案】(1+丄m.2【解析】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为1 m的