2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

1、2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型要点】解不等式的常见策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解.(2) 解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.(3) 解含f”勺函数不等式，首先要确定f(x)的单调性，然后根据函数的单调性去掉f”转化为通常的不等式求解.(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原 因，确定好分

2、类标准，有理有据、层次清楚地求解.2exT, x1【例1】已知函数f(x)=仁，贝U ff(x)1A . (1 In 2,+ g)B.(汽 1 In 2)C. (1 In 2,1)D. (1,1 + In 2)【解析】因为当xl时，f(x)= x3+ x2当x1时，f(x) = 2ex12，所以f(f(x)2等价于 f(x)1，即 2ex11，解得 x1 In 2，所以 f(f(x) 0.A . ( g, 0B. ( g, 1C. 2,1D. 2,0【解析】当 xWO时,f(x) = x2 + 2x= (x 1)2+ 1WQ 所以 |f(x)| 淑化简为 x2 2xax,19即x2 a+ 2)

3、x,因为xWQ所以a+ 2冰恒成立，所以a亠2;当x 0时，f(x)= In(x+ 1) 0, 所以|f(x)| ax化简为In(x+ 1)為x恒成立，由函数图象可知 aWQ综上，当一2WaW0时，不等 式|f(x)| ax恒成立.【答案】D题组训练一不等式的解法1.若不等式ax2 bx+ c0的解集是-,2 ,则以下结论中：a0;b0 ;2a + b + c0 :a b+ c0,正确的是()A .B .C.D .【解析】ax2 bx+ c0的解集是-1,2，故 a0,2 X二2 a1- = C0，故b0.因此，正确，错误.设 I 2 .丿 af(x) = ax2 bx+ c,根据 f( 1)

4、0 ,可知 a+ b + c0 ,故错误，正确.【答案】C2.已知f(x)是定义在 R上的奇函数，且f(x 2) = f(x+ 2),当0 v xv 2时，f(x) = 1 Iog2(x+ 1)，则当0 vxv 4时，不等式(x 2)f(x) 0的解集是(A . (0,1) U (2,3)(0,1) U (3,4)C. (1,2) U (3,4)(1,2) U (2,3)【解析】 当0v xv 2时，x 2v 0,不等式可化为x2v 0,即r 2v 0，f(x v 0,11 logx+ 1 0，不等式可化为*x 20,f x 0,由函数f(x)是奇函数，得f( x) = f(x),又 f(x

5、2) = f(x+ 2),则 f(x) = f(x 2 + 2) = f(x 2 2)= f(4 x),因为Ov 4 xv 2,不等式可化为x20,，解得 2 v xv 3,1 + Iog2(5 x) 0则原不等式的解集为(1,2) U (2,3)，故选D.【答案】D题型二 简单的线性规划问题【题型要点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围解决线性规划问题应特别关注以下三点:(1) 首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时 可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解

6、决.(2) 画可行域时应注意区域是否包含边界.(3) 对目标函数z= Ax+ By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.x+ yW4表示的平面区域M内任意一点，若目标函【例3】已知P(x, y)为不等式组 x y0数z= 5x+ 3y的最大值等于平面区域M的面积，则a =.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:5 z由 z= 5x+ 3y 得 y= |x+3,33平移直线y= |x+ 3,由图象知当直线y= |x+1,经过点A时，直线的截距最大，此时 z最大,| |x+ y= 4由，解得 x= y = 2，即 A(2,2),xy= 0此时 z= 5X2+ 3X2=

7、16,x+ y= 4由解得 x= a, y= 4 a,即卩 B(a,4 a),x= ax y= 0 由，解得 x= y = a，即 C(a, a),x= aBC= 4 a a = 4 2a, ABC 的咼为 2 a,12-abc =4 2a) = (2 a) = 16,解得a= 2, a= 6(舍去),【答案】2x0【例4】.设x, y满足约束条件Sy汰，l4x+ 3yw 12则右的取值范围是(A. 1,5C. 3,10B. 2,6D. 3,11【解析】 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示.x+ 2y+ 3 = 1+2y+r，令k= y+1，即为可行域中的任意点(x, x+ 1x+ 1x+

8、1y)与点(1, 1)连线的斜率由图象可知，当点(x, y)为A(0,4)时，k最大，此时x+ 2y+ 3的最大值为11,当点(x, y)在线段OB上时，k最 x+ 1?3/宀21L1.L1z .-5 -4-3-2-/产2O 1 2 34 5 x-3小此时音的最小值为3.故选D.【答案】D题组训练二简单的线性规划问题1.已知实数y$ 1x、y满足x42，则:的最小值是（【解析】 作出不等式组所对应的平面区域:相切时，此时z取得最小值，将 y= x- 1代入抛物线=zy,得 x2- zx+ z= 0,由= 0? z= 4, z= 0（舍）C. 32由图象可知x0, y 0,设z=，贝U x2=

9、zy，对应 的曲线为抛物线，由图象可知当直线y = x- 1与抛物线x2所以选择D.【答案】2.已知点x0,P(x, y)满足条件y$,.2x+ y+ k 0z= x+ 3y的最大值为则实数k =B3【解析】依题意k0且不等式组表示的平面区域如图所示易得,k k113厂3 .目标函数z = x+ 3y可看作直线y=- x+在y轴上的截距的33倍，显然当直线过点B时截距最大，此时z取得最大值所以Zmax= 3 + 3X(k)_ =0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法.【例5】已知二次函数f(x)= ax2 + bx+ c的导数为fx), f(0)0,对于任意的实数 x都有f(x) 0则的取

10、值范围是()B 2,C.IL2D 3,+ g)【解析】t fx)= 2ax+ b, f(時b0.又.对于任意的实数 x都有f(x) 0 a0且b2 4acW0 b2W4c,. c0,.总=a+ b + c a+ c+ 1aC + 1 2 b【答案】2.若正数1 2 2 1a，b满足：a+冇x则口+的最小值为C.5122a21【解析】由a，b为正数，且a+ b = 1得b= 口0，所以a-叫所以R+口2 +1= 2 + a 1a 1 2a 2 a 12a 1 -2a 1 = 2,当且仅当_a 12a122-1和a+b=1同时成2 1立，即a = b= 3时等号成立，所以 + 丄的最小值为2,故选

11、A.a 1 b 2【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1.若直线 I: ax+ by+ 1 = 0(a 0, b 0)把圆 C: (x+ 4)2 + (y+ 1)2= 16 分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线I的距离是()A. 4C. 2B. 8 .778.17【解析】由题意，圆心(4, 1)代入直线I: ax+ by+ 1 = 0,可得4a + b = 1,4a + b=1 4ab,. abW，当且仅当a=1, b = 时，ab取得最大值，坐标原点到直线I的距离16 8 2是1=葺7，故选D.1117；64 + 4【答案】D2.设正实数1x, y满足x2, y1,不

12、等式善+2右沏恒成立，则m的最大值为A. 2 .2C. 8【解析】依题意得，2x 10 , y 10,B. 4.2D. 162 2 2 2 企 + y_ =丄 2x 1 +1L + Ly1+1Ly 1 2x 1y 12x 14 2x 1 + 4y 1y 12x 12x 1 4X2x 1 y 1y 1 X2x 14x22y2x 18,当且仅当2x 1= 1y 1 = 12x 1 y 1.y 1 = 2x 1x= 1，即 时，取等号，因此y= 24x2y 1 + 2x 12的最小值是8, m0【例7】记不等式组Jx + 3y4所表示的平面区域为 D,若直线y= a(x+ 1)与D有i3x+ y1a

13、 4C 4不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分 洽边界)，且A(1,1) ,B(0,4) ,C 0- I,0已知不等式组SxW4表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2 + y2= 1的两y0【解析】作出不等式组ix4,y In 3B. x| 1 V xv ln 3C. x|x ln 3D. x|xv ln 3x ： -1或x1 ，则f(ex) 0的解集为(【解析】f(x) 0的解集为丿-xT X 一3J1则由 f(ex)0 得1 v exv3 解得 xv In 3 ,3即 f(ex) 0 的解集为x|xv In 3.【答案】D2.已知 x 0, y 0,2+ -=1, x+ 2ym2

14、 2m 恒成立，则x y 3m的取值范围是(A . 6,4B. 4,6C. ( 4,6)D. ( 6,4)解得 xy 72 - + -=占.6+ 3 = 1 ,x y 3 x y即 3x+ 6y= xy,1 x+ 2y=24/ m2 2m v 24恒成立，解不等式 m2 2m 24 v 0得4v mv 6故选C.【答案】Clx+ y 為3. 设x, y满足约束条件，且z= x+ ay的最小值为7,则a=()|x y 1B. 3D . 5 或 3A. 5C. 5 或 3【解析】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示:可知可行域为开口向上的V字型.在顶点处z有最小值，顶点为+ a | = 7,解

15、得 a= 3 或 a= 5.当 a= 5 时，如图 2, 0,若f(2 x2) f(x)，则实数x的取值范围是()A . (g, 1)U (2, + g)B. (g, 2) U (1,+ g)C. (1,2)D . ( 2,1)【解析】 设x0，则一xv 0，所以g( x)= ln(1 + x)，因为g(x)是 R上的奇函数，X3, XWQ所以g(x)= g( x) = ln(1 + x),所以f(x)=易知f(x)是R上的单调递n(1 + x), x 0,增函数，所以原不等式等价于2 x2x,解得2vxv 1.故选D.【答案】 D2x yWQ5. 已知实数x, y满足x+ y 5 Q若不等式

16、a(x2 + y2)刃(+ y)2恒成立，则实数 a的y-4 WQ最小值是.广510【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部(图略)，其中A(2,4) ,B(1,4), C - ,13 3丿因此y koA, koB = 2,4，因为y + -在2,4上单调递增，所以+ -xx yx詔，不等式a(x2+ y2) X+ y)2恒成立等价于a : y2It/ y max2x y 2 06.已知实数x, y满足fx+ y 10,z= mx+ y的最大值为3,则实数m的值是()C. 8【解析】由实数2x y 2 0x, y 满足(x+ y 1 0作出可行域如图,联立,2X y 2 = 0y+1 = o，

17、解得A -1联立,2X y 2 = 0X+y2=0，解得 B(1,0)，同理 C(2, 1)【答案】A：B. 9C. 18D. 36【解析】函数f(x) = cos n(0 x2)，轴为x= 1,若a和，且f(a)= f(b)，所以a+ b = 2化目标函数 z= mx+ y为y= mx+乙当直线z= mx+ y经过C点时，取得最大值 3; 3= 2m 1,解得 m= 2.故选 D.【答案】D147.已知函数f(x) = cos x(0x0，若目标函数z= mx+ y的最大值为一2m+ 10 ,X2最小值为2m-2,则实数m的取值不可能是(C. 02x y+ 6 0【解析】由约束条件x+ y0

18、作出可行域如图,Ix0则目标函数的最大值为 2m+ 2，最小值为2m 2,2m+ 10 = 2m + 2 由*，可知m= 2;2m 2= 2m 2若m= 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为2，符合题意；若m= 1,则目标函数的最大值为 2m + 10,最小值为2m 2,符合题意.实数m的取值不可能是 3.故选A.【答案】 A9.已知函数f(x)=rIn xx, x0,叫x + x, xv 0.则关于m的不等式f - iv ln * 2的解集为im丿 2B (0,2)( 1C. ,0 | U 0, ID . (-2,0) U (0,2)2 丿2丿 ()()【解析】函数f(x)的定义域(,

19、0) U(0,+a关于原点对称，T x0时，xv 0,f( x)= In x x= f(x)，同理：x0 时，由 f |V In 1 2，得 f I丄 iv f（2）,5丿25丿11 1 -2,解得0v mv-.根据偶函数的性质知当mv 0时，得一-v mv 0.m22【答案】Cx210. 已知x,y满足y2时，z= a + b（a为0）的最大值为2，则a + b的最小值为（）K+ y2【解析】由约束条件 y2作出可行域如图,|x+ y W8联立x+ y= 8解得 A(2,6),S=2 班円化目标函数z= a + b为y= ；x+ bz,由图可知，当直线y= bx+ bz过点A时，a直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2+ 6 = 2,a b即1+ 3 = 1.a b所以 a+ b= (a + b) i1-lab .丿=4+ b + 3a4+ 2b 3a ab = 4+ 2 3.当且仅当1+ 3= 1,b= . 3a,a= ,3+ 1, b= 3 +3时取等号.22【答案】AA . (2,+ a)11. 若函数f（x）= x4 + 4x3 + ax2 4x+ 1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）B. (1 ,+ C. (