余弦定理练习题及答案1-1-30001

1、第一章 1.1第3课时一、选择题1. 在 ABC 中，b = 5, c= 5羽，A= 30 贝U a 等于A. 5B. 4C. 3D. 10答案A解析由余弦定理，得 2bccosA= b2+ c2- a2, 2X 5X 5 3X cos30= 52 + (5 3)2 a2, a2= 25, - a = 5.2. 在 ABC中，已知a2= b2+ c2 + be,则角A为7t2 nC.ycosA=b2+ c2 a22bc=b2+ c2 b2 c2 bc2cn 2 nD.3或3答案c解析/ a2= b2 + c2 + bc,2 n又 T 0A0,解得 b= 1+ ,3.5. （2008安徽文）在三

2、角形 ABC中，AB = 5, AC = 3, BC = 7,则/ BAC的大小为a 2A 丁3 n CT 答案 解析r 5 nB.56nD.3A在 ABC 中，AB = 5, AC = 3, BC = 7, 由余弦定理，得AB2+ AC2 BC225+ 9- 491cos/ BAC =勺2AB AC30又/BAC (0, n , / BAC = 又AB BC = |AB| |BC|cos(B)=|AB| |BC|cosB19一7X 5X 35 一19.7在不等边三角形中,a是最大的边，若a2n又a20,n rz n n - A2，故 3aba可知/ C最大，由余弦定理，得a2 + b2- c

3、2 (2k)2 + (3k)2-(p19k)21cosC =- 2,2 2k 3k2ab/厂2 n C=3 -10 .如图，在厶 ABC 中，/ BAC = 120 AB = 2, AC = 1 ,D 是边 BC 上一点，DC = 2BD,则 AD BC =.答案解析1BC2= 22 + 12-2X 2X 1 X (-2)= 7, BC = ,7 r 4+ 7 - 15需- cosB=2X 2X7 14 Ad bc= (AB+ BD) BC =AB BC + BD BC口+二 X3已知丨8_3由余弦定理，得=-2X /x 1411.在 ABC 中,“亠 7答案257X 1 = - 8.BC =

4、 8, AC= 5,三角形面积为12,则 cos2C =解析由题意得10abc = 2AC BCsinC= 12,即 1x 5x 8x sinC = 12,则 sinC = 32，523 27cos2C= 1-2sin2C= 1-2 x 5 2=云.12.钝角三角形的三边为a, a + 1, a+ 2,其最大角不超过120 贝U a的取值范围是3答案a3解析设边a + 2所对角为所以B为三角形的最大角且1厂 cos一一且 cos 0,2“1 a2 + (a + 1)2(a+ 2)2即一寸0,2X ax (a +1)120 亠沖3 02a x (a + 1)-1(a 3)(a +1)2a(a +

5、 1)0.1 a 33即壬 a2T0，解得 3= a3.三、解答题13. 在 ABC中，已知AB= 4, AC = 7, BC边的中线AD =孑，求BC的长.解析设BD的长为X,贝U BC= 2x.在 ABD 中，AB2 = AD2 + BD2 2AD BD cos/ ADB ,即 16 = 49 + x2 2X 74 2x xx cos/ ADB ,同理在 ACD中，49749= + x2 2 x 2 xxx cos/ ADC. + 得，x= 2. a BC= 9.14. 在厶 ABC 中，A + C= 2B, a + c= 8, ac= 15，求 b.解析 解法一：在 ABC 中，由 A

6、+ C= 2B, A + B+ C = 180 知 B= 60 a+ c= 8, ac= 15,贝U a、c是方程 x2 8x+15= 0 的两根.解得 a= 5, c= 3 或 a= 3, c= 5.由余弦定理，得1b2= a2 + c2 2accosB= 9+ 25 2x 3x 5 x ?= 19.a b=、：19.解法二：在 ABC 中，/ A+ C = 2B, A+ B+ C = 180a B= 60由余弦定理，得1b2= a2 + c2 2accosB= (a + c)2 2ac 2accosB = 82 2 x 15 2 x 15x 2 = 19.a b= .；19.15. 已知圆

7、内接四边形 ABCD的边长分别为 AB = 2, BC= 6, CD = DA = 4,求四边形ABCD的面积.解析如图，连结AC,/ B+ D = 180 a sinB = sinD.1 1S四边形 abcd = Sabc + Sacd = ?AB BC sinB+ ?AD DC sinD = 14sinB. 由余弦定理，得 AB2 + BC2 2AB BC cosB= AD2+ DC2 2AD DC cosD, 即 40 24cosB = 32 32cosD.又 cosB= cosD,a 56cosB= 8,/ 0B180 ,A S四边形ABCD =cosB=17.sinB=1 cos2B

8、 =14sinB = 8 , 3.a3斗 b3 c3316.在 ABC中，若-=c2,且sinAsinB =；,试判断三角形a+ b c43=c2,ABC的形状.a3 + b3 c解析由a + b c得 a3+ b3= (a+ b)c2,即 a2+ b2 c2= ab.a2+ b2 c2cosC2ab a2 ab+ b2= c2,12，C= 601因而 cos(A+ B)= cosC= ,1311 cosAcosB= si nAsi nB = 一一 一 = 一，2 424 cos(A B) = cosAcosB+ si nAs inB= 1 A B= 0 A= B= 60所以 ABC为等边三角

9、形.17.在 ABC中，A、B、C的对边分别为(1)求sinB的值；若b = 4.2且a= 6求厶ABC的面积.解析(1)在厶ABC中，由正弦定理，得a= sinA c= sinCb sinB，b sinB.a、b、c，且cosCcosB3a c b .又.cosC = 3a c cosB= b cosC 3sinA si nCcosBsi nB即 sinBcosC= 3sinAcosB sin CcosB， sin(B + C) = 3si nAcosB.又 B + C = n A， si n(B + C) = sinA， si nA = 3sin AcosB./ si nA 丰 0， cosB = 3.3又 0B n， si nB =1 cos2B =2,23(2)在厶ABC中，由余弦定理，得2a2 + c2 ac=