排列、组合、二项式定理、概率与统计3

1、2009届高三数学二轮专题复习教案 排列组合二项式定理概率统计、本章知识结构:排列概念厂排列 排列数公式组合概念组合组合数公式组合数性质应用通项公式应用.项式系数性质、重点知识回顾1排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理 和分步有关，分类计数原理与分类有关 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题,与顺序无关的属于组合问题 排列与组合的主要公式nlA1n(n -1) (nm 1)排列数公式：(n -m)!(mw n)nAn=

2、n! =n(n 1)(n 2) 2 1.cmn!n(n -1)(n - m 1)组合数公式：m!(n_m)!m 汉(m1)汉枫 2 汉 1(mw n) M+cn +C2 + +cmn -m组合数性质： Cn =Cn （m n）.=2Cnc2c42二项式定理 二项式定理n+ Cn bn,其中各项系数就是组合数rCn，展开式共01r(a +b)n =Cn an +Cn an 1b+ +Can rbr +r有 n+1 项，第 r+1 项是 Tr+1 =Cn an rbr.二项展开式的通项公式r二项展开式的第r+1项Tr+仁Cn an rbr（r=0,1,叫做二项展开式的通项公式。二项式系数的性质 在

3、二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，rn -r即 Cn = Cn (r=0,1,2,n)-+1若n是偶数，则中间项（第2项）的二项公式系数最大，其值为n2Cn;若n是奇旦主数，则中间n / n 12 2Cn = Cn两项（第 2项和第 2 项）的二项式系数相等，并且最大，其值为012n 所有二项式系数和等于2n，即Cn+Cn + Cn+Cn=2n 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，0213即 Cn +Cn + =Cn +Cn + =2n1.3. 概率(1)事件与基本事件:随机事件:在条件ST,可能发生也可能不发生的事件事件丿诒宀击”不可能事件：在条件ST, 定

4、不会发生的事件 确定事件g必然事件:在条件ST, 一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个 基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形 式来表示.(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往 往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件的 概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化.(3 )互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解关系互斥事件事件A与B不可能同时两事件交集为空事件A与B对立，则A发生与B必为互斥事件;对立事件事件A与

5、B不可能同时两事件互补事件A与B互斥，但不是对立事件发生，且必有一个发生(4 )古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型.几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式:P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数几何概型的概率计算公式:P(A)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率

6、的求法都是“求比例”(6) 概率基本性质与公式，但具体公式中的分子、分母不同.事件A的概率P(A)的范围为： WP(A) 3.841就有9500的把握因为两分类变量 X和丫是有关系；如果k 6.635就有99%的把握因为两分类变量 X和丫是有关系；如果低于k空2.706，就认为没有充分的证据说明变量X和丫是有关系. 三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值丨ad - be |较大，说明两分类变量 X和丫是有关的，否则的话是无关的.图1重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。 二维条形图

7、(相应于上面的三维柱形图而画)ae由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知a b要比e d小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量X和丫有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量X和丫有关的可能性也越的否则是无关系的.重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随 机变量进行独立性检验的思想方法。 等高条形图（相应于上面的条形图而画）由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据aa - b 00要比因此，说明两分类变量X和丫有关系的可能性较大,否则是无关系的.重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图

8、2的 基础上换一个角度来理解。三、考点剖析考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意: 分类不重复不遗漏。分步

9、处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排 列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的 问题。【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。例1、（2008安徽理

10、）12名同学合影，站成前排 4人后排8人，现摄影师要从后排 8人中抽2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）C2A2c2 a6c2a2c2a2A 匕b 匕8 6c 匕86d 匕8小解：从后排8人中选2人共C8种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人 的顺序不变，则先从 4人中的5个空挡插入一人，有 5种插法；余下的一人则2要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为 A6 ;综上知选Co例2、（2008全国II理）12 .如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为(A)96(B) 84(

11、C) 60(D) 48解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花有种种法.共有234A4 2A4 A4 =84例3、（2008陕西省理）16 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人 中产生，则不同的传递方案共有种.（用数字作答）解：分两类：第一棒是丙有C1 2宀=48,第一棒是甲、乙中一人有C2 G A =48因此共有方案48 48 =96种考点二：二项式定理【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。 对二项式定理的考查主要有以下两种题型：

12、1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数 的区别；【命题规律】历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度 不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此, 只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。8a0，ai,|,a8中奇数的个数为(A. 2B. 3C. 4D.解：由题知ai =C8(i =0,1,2,8)，逐个验证知C80二C8，其它为偶数，选 Aor例5

13、、(2008上海理)12.组合数 C (n r 1, n、r Z)恒等于()r+1 r-1A，n+1Cn-1r-1B. (n+1)(r+1)Cn-1r-1C nrCn-1n r-1D. 7Cn-1例 4、(2008 安徽理)设(X)=a0 a1x * |la8x(n -1)!数为(A)6(B)7(C)8(D)91解:因为(xR的展开式中前三项的系数CniC11C2Cn4 成等差数列，所以C0Cn242即n -9 n 80 解得n = 8 或 n =1 (舍r 8 j 1 rTr1=C8x (2x)谆代o 令8斗可得,1 2 2=2，所以x4的系数为(2) C8解：由 CT=7L(r-1)!(n

14、-1(r -1)!例6、(2008浙江文)(6)在(x -1)(x-2)(x-3)(x- 4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是(A) -15( B) 85( C) -120( D) 274解：本题可通过选括号(即5个括号中4个提供X,其余1个提供常数)的思路来完成。故含x4的项的系数为(-1)(-2) (-3) (-4) (-5) = -15.则展开式中x4项的系例7、(2008重庆文)(10)若(x+ 2x )n的展开式中前三项的系数成等差数,故选Bo考点三：概率【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试

15、验中恰发生 k次的概率、离散型随机变量分布 列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的 6% -10%，试题的难度为中等或中等偏易。(2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓 展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的 试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。例8、（2008江苏）在平面直角坐标系 xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距

16、离不大于 1的点构成的区域，向 D中随 意投一点，则落入 E中的概率为。解：如图：区域 D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此.2: :. 1P 二4汇416 。兀答案16点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。例9、（2008重庆文）（9）从编号为1,2,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A) 841(B)21(C)5(D)5解:丄21，故选B。点评：本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。例10、（2008山东理）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3,，18的18名火炬手若从中任选3人，

17、则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为1(A) 51丄(B) 681 1（C） 306（ D） 408解：基本事件总数为C1；7 16 3。选出火炬手编号为aa1 3（n _1） , a1二1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法;a1 - 2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法;a1 _3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。4 4 417 16 368点评：本题考查古典概型及排列组合问题。4例11、（2008福建理）（5）某一批花生种子，如果每 1粒发牙的概率为5 ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）1696192256A. 625B. 62

18、5C. 625D. 625解：独立重复实验4B(4,)5P(k =2)556253次，击中目标即终止射击，第i次例12、(2008陕西省理)某射击测试规则为：每人最多射击 击中目标得1 i (i =1，3)分，3次均未击中目标得 0分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响.(I) 求该射手恰好射击两次的概率；产产(n)该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望.解:(I)设该射手第i次击中目标的事件为AU，2,3)，则P(A)=0.8, P(A) = 0.2 ,P(AA) =P(A)P(A) =0.2x0.8 = 0.16(n) 可能取的值为0, 1, 2, 3.的

19、分布列为0123P 0.0080.0320.160.8E =0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 =2.752例13、(2008广东卷17).随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位：万元)为t(1) 求 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为 70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多

20、少？产126产50产P(-=6) =0.63 P(- = 2)=0.25解：的所有可能取值有6，2，1，-2;200，200产20产4P( =1)0.1P(- -2)0.02200 ， 200故的分布列为：-2P 0.630.250.10.02(2) E# =6 0.63 2 0.251 0.1(2) 0.02 =4.34(3) 设技术革新后的三等品率为x ,则此时1件产品的平均利润为E(x) =6 0.72 (1 -0.7 -0.01 -x) (-2) 0.01 =4.76 - x(0 乞 x 乞 0.29)依题意，E(x)_4.73，即4.76-x_ 4.73,解得x岂0.03所以三等品率

21、最多为3%考点四：统计【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤.会用三种抽样方法从总体中抽取样本会用样本频率分布估计总体分布会用样本数字特征估 计总体数字特征会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验 的步骤与方法。【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的 6% -10%，试题的难度为中等或中等偏易。(2) 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓 展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的 试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群

22、体思维的差异，贴近考生的实际，体现 了人文教育的精神。例14、(2007广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据3456y2.5344.5(1) 请画出上表数据的散点图；(2) 请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；(3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32. 5+43+54+64. 5=66.5)解：(1)散点图略44二 Xiyi = 66.5x2 = 86

23、2(2) ii4x y =63 4x =81由所提供的公式可得b =0.7 a =0.35,故所求线性回归方程为y =0.7x OS5。分(3)100(0.7 汉 100+0.35) =29.65 吨例15、(2008江苏模拟)为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图已知前4组的频数从左到右依次是等比数列an 的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.（i）求等比数列：an 的通项公式；（n）求等差数列bn *的通项公式;ai = 0.10.1解：（I ）（川）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的

24、近视率的大小.a = 0.3 0.1 100 = 3.数列Sn 是等比数列，公比n A on A an =a1q3ai +a2 +a3 (II) v 1023 =13, d b2 III b6 =100 -佝 a2 a3)=87 ,数列bn 是等差数列，设数列b 七2 丨丨(b6 =6b 15d6D +15d =87叮 d = a4 = 27 d = 5bn = 32 - 5n(III)100或1 =1也眾0.91100 )a1a2a3b|b2b3b4-231234=0.91答:估计该校新生近视率为 91%.例16、（ 2008江苏模拟）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，

25、他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（ C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2组，用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.（I ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（5分）（n ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y =bx a ；（6分）（川）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过

26、2人,则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（3分）nn迟 xyi -nxy 迟（Xi -x）（yi -y） b -鼻空n2-2、Xj - nxi A（参考公式：解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的 其中，抽到相邻两个月的数据的情况有，a = y_bx（为-x）2i 4）A.因为从6组数据中选5所以Pr（n ）由数据求得b由公式求得a = ybx再由307所以y关于x的线性回归方程为1830x -77厂辺単（川）当 x -10 时，7 ,7-22 卜:2;78, 78y 114 卜：2同样，当x = 6时，7，

27、7所以,该小组所得线性回归方程是理想的.四、方法总结与2009年高考预测1排列组合应用题的处理方法和策略 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理怎样确定是分类, 还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各 步骤均完成才能完成所给事情 .所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完 成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的 哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤

28、才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法 . 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关 . 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题 途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验 . 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法， 要注意题设中“至少” “至多”等限制词的意义 . 处理排列组合的综合性问题， 一般思想方法是先选元素 (组合 )，后排列， 按元素的性质 “分 类”和按事件发生的连续过程“分步” ，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通

29、过 解题训练要注意积累分类和分步的基本技能 . 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题 是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数 .常见的解题策略有以下几种： 特殊元素优先安排的策略； 合理分类与准确分步的策略； 排列、组合混合问题先选后排的策略； 正难则反、等价转化的策略； 相邻问题捆绑处理的策略； 不相邻问题插空处理的策略； 定序问题除法处理的策略； 分排问题直排处理的策略； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； 构造模型的策略 .2. 二项定理问题的处理方法和技巧r 运用二项式定理一定要牢记通项

30、 Tr+1 =Cn an rbr，注意(a +b)n与(b+a)n虽然相同，但具体 到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的 (字母)系数是两个不同的概念,前者只指rCn，而后者是字母外的部分 对于二项式系数问题，应注意以下几点： 求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为 1; 关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”一一构造函数或构造同一问题的两种算法； 证明不等式时，应注意运用放缩法求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1,有时还需先求n,再求r，才能求出Tr+1. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注 意分类清楚,不重不漏 . 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决 二项式系数问题的一个重要手段 . 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决 .3. 求事件发生的概率的处理方法和技巧 解决等可能性事件的概率问题的关键是：正确求出基本事件总数和事件 A