(完整版)斯普林菲尔德分配学生答案

1、1概述研究的背景斯普林菲尔德（Spri ngfield ）学校董事会打算在年底关闭它的一所中学（包括6,7,8 年级），并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离 超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。从该城市的六个居住区到各所学校，每个学生的一年的公交费用如下表所示（表中还给出了下一年的其他一些基本数据）。其中，0表示不需要公交服务，而“”表示这种分配不可能。地区学生数量6年级比例7年级比例8年级比例每学生的校车成本（美兀）学校1学校2学校3145032383030007002600372835一4005003550303

2、2386003002004350284032200500一55003934270一40064503428385003000学校容量90011001000学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的30%- 36%之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例 必须得到满足。假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。2模型的建立2.1基础数据的建立目标函数系数的确定通过观察分析，我们可以知道：目标函数 =各个居住区分配到某个学校的

3、人 数*该居住区到这个学校的学生公交费用经过调查分析，总结出各个居住区到学校的公交花费， 我们统计了一个学生 每年从家里到学校所要花费的公交费用， 为了更加清晰明了，我们以表格的形式 进行整理：1.3.1各个居住区的学生到不同学校的每年公交的费用地区每位学生每年的公交成本学校1学校2学校3130007002400500360030020042005005040065003000注：“一”表示费用无穷大，不分配学生。居住区学生总人数以及各个年级学生的数量根据学校的调查结果，发现一共有6个居住区，每个居住区的学生数量、各个年级学生在这个居住区中所占的比例， 都进行了统计，由于数字比较多，为 了更加

4、清晰的表达出来，我们进行了一系列的整理与分析， 通过一定的计算，因 而得到如下表格1.3.2 A各个居住区学生总数量与各个年级的学生比例地区学生数量6年级 比例%7年级 比例%8年级 比例%145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838总计29001.3.2 b各个年级学生的总体数量地 区学生 数量6年级 比例%7年级 比例%8年级 比例%每个年级学生数量总计6年级7年级8年级1450323830144171135450260037283522216821060035503032381651762095504350284

5、0329814011235055003934271951701355006450342838153126171450总 计29009779519722900各个学校的可容纳量由于学校的规模不一样，可容纳的学生数量也就不一样，因此通过学校的研 究，这些学校还可以容量的学生数量为，我们同样通过表格来表示：1.3.3各个学校的可容纳量（人）学校1学校2学校3总计学生容纳量900110010002900各个学校不同年级学生的可容纳量由于校方规定，每个学校里，每一个年级的学生人数必须在总人数的30%36%之间，则根据这个要求我们又得到每个年级最大与最小接收量。经过计 算，我们同样通过表格体现：1.3.4

6、各个学校不同年级学生的可容纳量学校1学校2学校3学校容量90011001000各年级可 容纳量最小最大最小最大最小最大6年级2703243303963003607年级2703243303963003608年级270324330396300360总计171097299011889961080学校可容纳量的总数一定学校可容纳量的总数为30002.2变量的设定设各个居住区中各个年级分配到不同学校的数量分别是:由于变量相对比较多，写起来比文字叙述过于复杂，我们就通过表格来表未清楚:变量居住 区各个居住区中不同年级的学生分配到各个学校的人数学校1(x1)学校2(x2)学校3(x3)6年级7年级8年级6年

7、级7年级8年级6年级7年级8年级1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33：x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3目标函数的建立根据上述基础数据可以得出如下目标函数Min f(x)=300x11+600x31+2

8、00x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62 +700x13+500x23+200x33+400x53目标函数=各个居住区分配到某个学校的人数 *该居住区到这个学校的学生 公交费用要使总损益值最小，只需要该目标函数取得极小值即可，这与研究问题的目的是相一致的。限制条件案例中a题的约束条件居住区的学生总数量的约束x11+x12+x13=450x22+x23=600 x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500x61+x62+x63=450各个学校可容纳量的约束 x11+x31+x41+x51+x61-x 仁0 x21+x22+x3

9、2+x42+x62-x2=0 x13+x23+x33+x53+x63-x3=0各个学校中各个年级人数的约束x111+x121+x131=144 x112+x122+x132=171 x113+x123+x133=135 x221+x231=222 x222+x232=168 x223+x233=210 x311+x321+x331=165 x312+x322+x332=176 x313+x323+x333=209 x411+x421=98 x412+x422=140 x413+x423=112 x511+x531=195 x512+x532=170 x513+x533=135 x611+x62

10、1+x631=153 x612+x622+x623=126 x613+x623+x633=171各个居住区总学生人数的限制x111+x112+x113-x11=0 x311+x312+x313-x31=0 x411+x412+x413-x4 1=0 x511+x512+x513-x51=0 x611+x612+x613-x61=0x121+x122+x123-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233

11、-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0居住区各个年级人数的约束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x10x111+x311+x411+x511+x611-0.36x10x112+x312+x412+x512+x612-0.36x10x113+x313+x413+x513+x613-0.

12、36x10x121+x221+x321+x421+x621-0.36x20x122+x222+x322+x422+x622-0.36x20x123+x223+x323+x423+x623-0.36x20x131+x231+x331+x531+x631-0.36x30x132+x232+x332+x532+x632-0.36x30x133+x233+x333+x533+x633-0.36x30案例中c题的约束条件同a题约束条件1-4,无条件5约束，但增加约束条件 6居住区学生分到同一学校的约束X(ijk )这些所有的变量均为整数3模型的求解及解的分析3.1模型的求解对该线性规划进行求解，结果如下

13、所示a .为该问题建立线性规划模型。学檢编号0年级8坏级地区1100021441711353000100-0222216&210300口地区却1QQ11Q2131S517 61 77地区从1981391122O1：00地区丘11&31.7 iiI.3S2003门001门u0:o00315312&1 71咎核訂召年级人裁12330925323GG3403 EG331 S3 0-2346目标函数426800学植编号各区植人数合计答区植公父咸本地区1103002450030700地险10260040030500地区31116002213003518200地区413492002150030地区目150

14、002030400地区呂105002030034500宜号 各区总学產 麹144171135逐iaa皿16&1TE2Q998140H215S1阳13S15312S171I5r5QC4bRR-, r.inrrtA1C72r?.7 訓严；25 R鬲JgW21- E；21.6： 1地函学对 地区日罕較ii 哎总 A. 4_aso.1029689C011001CW029325貸 點6他.；-.ru in3OT-BQWPdl3號-Vvl S, 4 FDL36b 你给学校董事会的最终建议是什么？由以上的求解结果可知，当各个居住区的学生人数分配取得相对应的值时, 即为最终成本达到426800美元。c 根据这

15、一点调整你的建议，使同一个地区尽可能的分配在同一所学校里。（加人这一限制可能会使你不得不取消另外一些约束。）这样做会增加多少公交成本？（在案例9.4中将会对这一类的分析进一步探讨。）决策娈量各区狡人数学校1学棍地区101500地区206000地区活00550地区435000地区550000地区&01.450约束条件1约義条节立约京爭件3刍学校学三E灣不弁配区顷1450=+50 迦 55i350500西。|105010000=50:=eoo110010000臥=50045C目标圈数420000楼车成习学校1学校Z学校盘地区13000700地陞400500ME36003002001地函200500

16、地函0400地反百5003000最终成本是 420000，成本较 a题减少6800元。d.将问题a中的模型加人选项I重新考虑，并求解。将结果与b中的结果想比较，包括公交总成本的减少。来策变量学校编号7年级E年级地区110002144L7113S3000r地也1000220216821032000地区3100020Q83165176201地区41931401122000300地区帝119517020030Q0地因1001220003LS31261S91233102552346. 00000043393533337. 9993996302360目标函数250400学孩编号晋区枝人数合计各区校公父成

17、本地区105002450030700地区2102580400320500地区3106002330035420ME4 113500050030地区！5150002030too11250020300巳4380成本为250400，较a题减少176400.e 以选项2代替选项1重复步骤d。决策变量学枚编号G年圾7年级8年级地区1100502144171853000地区2100022Z21692102000地区31000200031&5176209地区41州1401122000300地区511&517013520003000地区G10002003231531261391310297236G3393273313302348目标函埶240000学较编号各区檢人数合计各