小波变换及应用毕业论文

1、小波变换以及应用引言 小波分析是80年代中后期发展并成熟起来的一种信号处理分析方法，它有效完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号处理是一个强有力的方法。图像是多媒体系统中非常重要的一部分，相当多的多媒体信息是以静止图像和动态视频图像的信息表达出来的。人们为了更好地在多媒体创作中使用图像，就必然要研究图像的压缩和如何丰富图像的表现效果。本文对小波变换做了简单的介绍并简单地介绍了小波变换在图象边缘析取、图象压缩和图象拼接和镶嵌方面的应用。小波分析的起源长期以来，无论是信号处理界，还是数学界，人们力图寻求信号表示方法，综合三角函数系与Haar系两者优点的某种函数来分解任意函数。我们知道，这两个函数

2、系在以下意义上占据了两个极端位置。三角函数系中的函数在频率即在Fourier变量域上是完全局部化的，但在空间或时间域上无任何局部性却很差，这是因为它缺乏正则性与震荡性所致。我们都曾使用过傅立叶变换，都知道傅立叶变换能把信号分解成各种频率的正弦和余弦函数，也就是说它能实现频率的局部化，但大家有是否注意到它所分解出的每个三角函数的有效域都是（-,+），也就是说它在时间域上无任何局部性可言，可是，我们所面对的各种信号如图象、地震波等往往有着强烈的局部相关性，要研究处理这些相关性，就需要更好的数学工具，小波分析正是在这个背景下发展起来的。它有效地分析了信号时域与频域的局部性，成为信号分析的一个强有力的

3、方法。所谓“小”，正是指小波函数在时域上的局部性，所谓“波”正是指小波函数的波动性也就是说在频域上的局部性。小波分析的方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Parley对Fourier级数建立的L-P理论，即按二进制频率成分分组Foureier变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。其后，Calderon于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H1的原子分解，这个公式后来成了许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一正交系的结论。1981年Stromberg对Haar系进行了改进，证明了小波函

4、数的存在性。1982年Battle在构造量子场理论中使用了类似Calderon再生公式的展开。值得注意的是，1984年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因此他引入小波概念于信号分析中对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，当时Meyer创造性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2(R)的规范正交基。在那以前，人们或许认为具有如此好性质的小波函数时一个数学神话而对其

5、存在性发生了动摇。事实上，Daugechies、Grossman和Meyer在此之前的工作就退而研究函数及数a0与b0使函数系构成L2(R)的框架的条件去了。继Meyer提出小波变换以后，Lemarie和Battle又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换及重构，从而成功地统一了在此之前的Stromberg、Meyer和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今称之为Mallat算法有效地应用于图象分解与重构。与此同时，Daubechies

6、构造了具有有限支集的正交小波基这样，小波分析的系统理论初步得到建立。1988年，Arneodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究遄流及分形生长现象。1990年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生长函数及相应的小波函数。也是1990年Beylkin,Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，Jaffard及Laurencot将小波变换应用于偏微分方程数值解，而Wickerhanser等将Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法。其后，秦前清将小波变换作为研究分形理论的工具，并于1992年初指

7、导刘军将小波变换运用于分形地貌图预处理并取得了令人满意的效果。小波变换定义及其性质定义1设且，则按如下方式生成的函数族a,b（1）叫分析小波（Analyzing Wavelet）或连续小波，叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。若使双窗函数(Double-window Function)。就叫为窗口小波函数，今后我们恒假定为窗口小波函数。连续小波提供的局部化格式使变换着的，表现在高频处的时间分辨率高。即具有“变焦”（Zooming）特性，这一特性决定了它在突变信号处理上的特殊地位及功能。现在我们来讨论连续小波变换下信号处理的基本性质。定义2设是基本小波，a,b是按（1）式给出的连

8、续小波，对，信号f的连续变换Wf(b,a)定义为 (2)定义3设且满足：（*）则叫做允许小波(Admission Wavelet),而条件（*）被称为允许条件(Admissible Condition)。注意到条件（*）蕴含着，因此允许小波一定是基本小波。反过来，若，且，则允许条件（*）成立。特别地，双窗口函数一定是允许小波，对于有允许小波产生的信号的连续小波变换，我们有如下关系式。定理1设是允许小波，则对一切，有（3）另外，对任意，若f在t处连续，则：（4）有时，为了数学上的方便起见，我们常用如下定义。定义4我们把下列变换Wf(s,x)定义为的小波变换（5）其中（6）注意到，这里的定义在形式

9、上虽与前面的定义有所不同，主要在于：（1） 伸缩系数不同；（2） 用卷积代替了相关。但它们之间是可以相互转换的。不难验证，以下函数是基本小波：（1） Haar小波(2)墨西哥帽状小波上面我们引入了连续小波及其概念变换的概念及性质。在实际应用中，特别是在计算机实际上，往往需要把上面提到的连续小波及其变化离散化，作为一种方便的形式，则是对变换进行二进制离散。把经过这种离散化后的小波和相应的小波变换，称之为二进小波和二进小波变换。定义5函数被称为是一个二进小波(Dyadic Wavelet)，若存在二常数使得：B a.e.(7)条件（7）式被称为稳定条件(Stability Condition)。若

10、A=B，则称为最稳定条件，而函数序列叫做f的二进小波变换，其中（8）由卷积定理，我们有：（9）由此（7）式等价于，对任意有：（10）下面定理说明，二进小波一定是一个允许小波。定理2设是一个二进小波，则它一定是一个允许小波，且（11）A=B时有：(12)定理3由（7）式给出的算子V是I2(L2)到L2的有界线形算子，而且WV是I2(L2)到W(L2)的正交投影算子。为了数学上的完美及实际运用的方便起见，我们引进下面概念及事实：定义6设，若对一切，存在与f无关的常数，使得（13）成立，则称是空间L2的一组标架(Frame),B,A分别称为此标架之上，下界。为讨论标架的性质，我们引进算子（14）（1

11、5）我们称T为标架算子。定理4也是L2中的标架，称之为标架的共轭标架，其上下界分别为A-1和B-1，且其标架算子为有：（16）定理5紧标架成为正交基的充要条件是：A = 1,且对一切定义7如构成L2的一个标架，则标架的上、下界B,A满足下面的不等式（17）下面讨论一下数字信号的二进小波变换假设是一个数字信号，不妨假定它由采样而得，适当选用时间单位，在数学上我们总可以认为采样密度为1，则我们可以以下面方式把模拟化。即令 其中这样得f的确存在的，即我们有：定理8任取，则存在使得(18)定义8设，f为满足条件的函数，其中满足（19）则称为的离散二进小波变换。图象的小波的变换处理我们知道，在处理实际问

12、题是，作为一种新的处理工具，它必须具备以尽可能少的数据反应该信号的尽可能多的信息，这其间当然包括尽可能消除混杂在信号中的噪声。我们发现小波变换确有这些优良特性1、二进小波变换对边缘析取和回复的影响我们主要定性地讨论一下二进小波变换对图象边缘析取和回复图象的影响。如以前分析过的，为了析取更精细的奇异性（即Lipschitz指数2Wmin），要找出一个合适的拼接宽度是不可能的。利用正交小波变换可以较好地解决上述问题。由于小波变换函数实际是一个带通滤波器，在不同尺度下的小波变换分量，实际上占有一定的频宽，j越大，该分量的频率越高。因此每一个小波分量所具有的频宽不大，把要拼接的两幅图像先按分解的方法把

13、它们分解为不同频率的小波分量，然后在不同尺度下，选取不同不同的拼接宽度，把两个图像按不同尺度下的小波分量先拼接下来，然后再用程序重构整个图像。这样得到的图像可以很好地兼顾清晰度和光滑度两个方面的要求。具体做法如下：设图像A与图像B是需要拼接或镶嵌的。图像A的像数为，图像B的数据为，利用有限正交小波变换，我们得到令K(x,y)的样本值为,它在各尺度下的光滑化分量为。令现取为拼接后图像的有限正交小波变换，则由重构算法，可以得到拼接图像。注意当滤波器H的长度为L，而k,l离边界的值大于L/2时，为1或0视而定，因此拼缝的实际宽度是由H的长度决定。在实际应用中，我们可选用H为线形样条构成的正交小波基对

14、应的H或紧支集正交小波基对应的H。对前者而言，它虽然不是有限长的，但是有指数衰减速度，因此实际上可视为有限长的。产生光滑因子的H还可以用其它的方法得到，不一定强调它的正交性，因为只要它起对边缘光滑的作用即可，这样的滤波器可以有多种选取方法，这里就不一一详述了。参考文献1Multiresolution Compression And Reconstruction Oliver G.Staadt, Markus H.Gross, Roger Weber Computer Science Department ETH Zurich 2实用小波分析 秦前清 杨宗凯 西安电子科技大学出版社3Novel nonlinear Predictive imge coding algorithm Tian-Hu ,Yu Sanjit K.Mitra Electronic Imaging 1997-4 6(2) p181-1884数据结