§3.02周期信号的频谱分析——傅里叶级数

1、授课方式：理论课授课方式：理论课 教学方法：讲授教学方法：讲授 教学内容：周期信号傅里叶级数分析教学内容：周期信号傅里叶级数分析 教学重点、难点：三角函数形式的傅里叶级数教学重点、难点：三角函数形式的傅里叶级数 频谱图频谱图 X 主要内容 三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差 X 一三角函数形式的傅里叶级数 tntn 11 sin,cos 是

2、一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 0sincos 2 2 11 T T tmtn nm nm T tmtn T T , 0 , 2 coscos 2 2 11 nm nm T tmtn T T , 0 , 2 sinsin 2 2 11 由积分可知由积分可知 1.三角函数集 X 1 11 2 , , T Ttf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号 在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)( 1 110 n nn tnbtnaatf 直流分量直流分量 Tt t ttf T a 0 0 d)( 1

3、 0 余弦分量的幅度余弦分量的幅度 Tt t n ttntf T a 0 0 dcos)( 2 1 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 Tt t n ttntf T b 0 0 dsin)( 2 1 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数 2级数形式 X 其他形式 00 ac 22 nnn bac n n n a b arctan nnn ca cos nnn cb sin 余弦形式余弦形式 正弦形式正弦形式 00 ad n n n a b arctan nnn da sin nnn db cos 1 10 sin)( n nn tnddtf 22 nnn bad 2 co

4、s)( 1 10 n nn tncctf X 关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图； 关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。 可画出可画出频谱图。频谱图。 周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 n c n 幅度频率特性和相位频率特性 的线性组合。的线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（ ）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流 : 1 1 n X 二指数函数形式的傅里叶级数 1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e 1 j n tn 2 2级数形式级数形式 3

5、 3系数系数 1 11 1 1 0 jj 0 j 1 dee de)( )( T tntn T tn t ttf nF 4 e)()( 1 j 1 tn n nFtf 5 de )( 11 1 0 j T tn ttf T 利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性 n F 也可写为也可写为 X 说明 变换对。变换对。 式是一对式是一对、惟一确定，惟一确定，则，则如给出如给出)5()4()( 1 tfnF 的线性组合。的线性组合。 区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为 tn 1 j e, 4 e)()( 1 j 1 tn n nFtf 5 de)( 11 1 0

6、j 1 T tn ttf T nF X 三两种系数之间的关系及频谱图 T tn ttf T nF 0 j 1 de )( 1 )( 1 TT ttntf T ttntf T 0 1 0 1 dsin)( 1 jdcos)( 1 nn baj 2 1 TT ttntf T ttntf T nF 0 1 0 11 dsin)( 1 jdcos)( 1 )( nn baj 2 1 n nFnF j 11 e)( 是是复复数数)(),( 11 nFnF X nnn cbanF 2 1 2 1 )( 22 1 相频特性相频特性 n n n a b arctan 幅频特性和相频特性 幅频特性幅频特性 的的

7、奇奇函函数数关关于于 的的偶偶函函数数关关于于 取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于 取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 )( 1 1 n nF nb na n n X 1 1 3 n c 0 c 1 c 3 c O 1 1 3 n O 频谱图 幅度频谱幅度频谱 相位频谱相位频谱 离散谱，谱线离散谱，谱线 曲线曲线 或或 n n F c 曲线曲线 n X 四总结 （1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系 （4）引入负频率引入

8、负频率 X (1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 = 1 10 )cos( n nn tncc 三角形式三角形式 指数形式指数形式 1 110 sincos)( n nn tnbtnaatf tn n nFtf 1 j 1 e)()( X 0001 0 2 1 )(acFncnF n (2)两种频谱图的关系 )()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nn c，三角函数形式：三角函数形式：单边频谱单边频谱 nn F，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱 关系关系 )()( 11 nFnF 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为 X (3)三个性质 的谱

9、线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性： 处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性： 收敛性：收敛性： )( , 1 1 tf n nFn (4)引入负频率 对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率 )( 1 n ，只只有有数数学学意意义义，而而无无 物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。，才能保证，才能保证和和 数，必须有共轭对数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指 )(ee 11 jj tf tf nn 注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性 X 五函数的对称性与

10、傅里叶级数的关系 偶函数偶函数 奇函数奇函数 奇谐函数奇谐函数 偶谐函数偶谐函数 注：指交流分量注：指交流分量 X 1偶函数 为实函数。为实函数。 项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦 )( 1 nF 信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的 )()(tftf )(tf Ot T E T 0 n b 2 0 1 0dcos)( 4 T n ttntf T a nnnn abanFF 2 1 j 2 1 )( 1 0 n X 2奇函数 )()(tftf 对称的：对称的：波形相对于纵坐标是反波形相对于纵坐标是反 )(tf OtTT 1

11、 1 为虚函数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)( 1 nF 0= d)( 1 2 2 0 T T ttf T a 0dcos)( 2 2 2 1 T Tn ttntf T a T n ttntf T b 0 1 dsin)( 2 nnnn bbanFFj 2 1 j 2 1 )( 1 2 0 1 0dsin)( 4 T ttntf T X 0 6 , 4 , 2 nn ban时时 3奇谐函数 2 0 1 dcos)( 4 5 , 3 , 1 T n ttntf T an 时时 2 0 1 dsin)( 4 T n ttntf T b f(t)的傅氏级数偶次谐波为零

12、，即的傅氏级数偶次谐波为零，即 )(tf OtTT 2 T 2 )( T tftf 若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周 期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化： 0 0 a X 2 1 T tftf 1 1 2 T 4偶谐函数 2 0 1 1 1 dsin)( 4 T n ttntf T b 0 5 , 3 , 1 nn ban时时当当 2 0 1 1 1 dcos)( 4 6 , 4 , 2 T n ttntf T an 时时当当 f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量 )(

13、tf Ot 1 T 1 T 2 1 T 2 1 T 称为偶谐函数。称为偶谐函数。 与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动 2 1 T X 六周期信号的功率 这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现; ; 表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为率随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。 2 n F n n n n n nn Fcabaa 2 1 22 0 1 222 0 2 1 2 1 T ttf T P 0