材料力学第7章梁变形

1、材料力学第7章梁变形 梁的梁的 变变 形形 第第 七七 章章 材料力学第7章梁变形 第七章第七章 梁的变形梁的变形 7-17-1概述概述 7-2 7-2 梁的挠曲线的近似微分方程梁的挠曲线的近似微分方程 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 7-5 7-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 7-6 7-6 简单超静定梁简单超静定梁 目录 材料力学第7章梁变形 7-1 7-1 概述概述 7-1 材料力学第7章梁变形 基本概念基本概念 挠曲线方程：挠曲线方程： )x(fy 1 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移

2、忽略不计方向的位移忽略不计 挠度转角关系为：挠度转角关系为： tany dx dy 挠曲线挠曲线 y x x c y 挠度挠度 转角转角 挠度挠度y y：截面形心：截面形心 在在y y方向的位移方向的位移 y向下为正向下为正 转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。顺时针为正顺时针为正 7-2 7-1 7-1 概述概述 C C 材料力学第7章梁变形 推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响 z EI xM x )( )( 1 7-2 7-2 梁的挠曲线的近似微分方程梁的挠曲线的近似微分方程

3、材料力学第7章梁变形 由数学知识可知：由数学知识可知： y=f(x)y=f(x)上任一点曲率上任一点曲率 公式为公式为 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得 2 2 1 dx yd 所以所以 z EI xM dx yd)( 2 2 7-2 7-2 梁的挠曲线的近似微分方程梁的挠曲线的近似微分方程 1)(1 2 dx dy dx dy （） （7-1） 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 材料力学第7章梁变形 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线 的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方程为：的二阶

4、导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和 挠度。挠度。 7-2 7-2 梁的挠曲线的近似微分方程梁的挠曲线的近似微分方程 Z EI xM dx yd 2 2 (7-2)(7-2) 材料力学第7章梁变形 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为： z 2 2 EI )x(M dx yd y 积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为： Cdx)x(MEI dx dy EI zz )x(M dx yd EI 2 2 z 再积分一次得挠度方程为：再积分一

5、次得挠度方程为： DxCdxdx)x(MyEI z 7-3 (7-3) (7-4) 材料力学第7章梁变形 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。条件确定。 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 0 A y 0 A y 0 A A y 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 ARAL yy ARAL ARAL yy 弹簧变形弹簧变形 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 材料力学第7章梁变形 例例7-1 7-1 一等截面悬臂梁，

6、在自由端作用一集中力一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F F， 梁的梁的EIEI 已知，求自由端截面的转角和挠度。已知，求自由端截面的转角和挠度。 解解 1 1）建坐标写出）建坐标写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程 )xl (F)x(M 2 2）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分 FxFl)xl (F)x(M dx yd EI 2 2 CFx 2 1 FlxEI dx dy EI 2 DCxFx 6 1 Flx 2 1 EIy 32 积分一次积分一次 再积分一次再积分一次 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 材料力学第7章梁变形 3 3）由位移边界条

7、件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数 0, 0 A yx 0, 0 A x 0D, 0C 代入求解代入求解 4 4）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程 5 5）确定自由端转角和挠度）确定自由端转角和挠度 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 2 Fx 2 1 FlxEI 32 Fx 6 1 Flx 2 1 EIy 2 B 2 B Fl EI2 1 Fl 2 1 EI或 2 B 2 B Fl EI3 1 yFl 3 1 yEI或 转角为正值说明转角为正值说明B B截面顺时针转动。截面顺时针转动。 挠度为正值说明挠度是向下的。挠度为正值说明挠度是向下的。 材料力学

8、第7章梁变形 例例7-2 7-2 一受均布荷载的等截面简支梁如图，梁的一受均布荷载的等截面简支梁如图，梁的EIEI已知，求已知，求 梁的最大挠度和梁的最大挠度和B B截面的转角。截面的转角。 解解 建坐标，弯矩方程为建坐标，弯矩方程为 2 qx 2 1 qlx 2 1 xM 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 挠曲线的近似微分方程式为挠曲线的近似微分方程式为 2 qx 2 1 qlx 2 1 xMEIy 积分一次积分一次 Cqlx 4 1 qx 6 1 EIEIy 23 再积分一次再积分一次DCxqlx 12 1 qx 24 1 EIy 34 梁的边界条件为梁的边界条件为 0

9、y, 0 x A 0y, lx B 代入得：代入得： 0D 3 ql 24 1 C 材料力学第7章梁变形 转角方程式和挠度方程转角方程式和挠度方程 式分别为：式分别为： 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 323323 llx6x4 EI24 q ql 24 1 qlx 4 1 qx 6 1 y )xllx2x( EI24 q y 334 求最大挠度：因梁和梁受荷载是对称的，所以最大挠度发生在求最大挠度：因梁和梁受荷载是对称的，所以最大挠度发生在 跨中跨中 x=l/2x=l/2代入挠曲线方程得最大挠度：代入挠曲线方程得最大挠度： EI384 ql5 y 4 max x=lx=

10、l代入转角方程得代入转角方程得B B截面转角为：截面转角为： EI24 ql3 B 材料力学第7章梁变形 例例7-3 7-3 等截面简支梁上作用一集中力等截面简支梁上作用一集中力F F，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EIZEIZ， 求求C C截面的挠度和截面的挠度和A A截面的转角。截面的转角。 解解 建坐标，求梁的支反力建坐标，求梁的支反力 ax0 x l Fb xM 111 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 两段的挠曲线的近似微分方程式及积分分别为：两段的挠曲线的近似微分方程式及积分分别为： 11 1Z x l Fb xMyEIACAC段：段： 1 2 11 1Z Cx

11、 2 Fb EIyEI 11 3 11Z DxCx 6 Fb yEI 弯矩方程为：弯矩方程为： F l a F, F l b F RBRA ACAC段：段： lxaaxFx l Fb xM 2222 CBCB段：段： 一次积分一次积分 二次积分二次积分 材料力学第7章梁变形 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 一次积分一次积分 二次积分二次积分 222 2Z x l Fb axFxMyEI CBCB段：段： 2 2 2 2 22Z 2Z Cx l 2 Fb ax 2 F EIyEI 222 3 2 3 22Z DxCx l 6 Fb ax 6 F yEI 四个积分常数，需列四

12、个方程：四个积分常数，需列四个方程： 边界条件：边界条件： 0y, 0 x 11 0y, lx 22 连续条件：连续条件： 2 121 yy, axx 2121 yy, axx 将边界条件和连续条件代入挠度、转角方程得：将边界条件和连续条件代入挠度、转角方程得： 22 2121 bl l 6 Fb CC, 0DD 材料力学第7章梁变形 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 CBCB段：段： ACAC段：段： ax0 x)xbl ( lEI6 Fb y ax0)x3bl ( lEI6 Fb y 11 2 1 22 Z 1 1 2 1 22 Z 11 lxaax 6 1 )xbl

13、( l 6 b EI F y lxaax 2 1 )x3bl ( l 6 b EI F y 2 3 2 2 2 22 Z 2 2 2 2 2 2 22 Z 22 C C截面的挠度为：截面的挠度为：x x1 1=a=a代入代入ACAC段挠度方程式段挠度方程式 222 Z C abl lEI6 Fab y A A截面转角：截面转角：x x1 1=0=0代入代入ACAC段转角方程式：段转角方程式： 22 Z A bl lEI6 Fb 材料力学第7章梁变形 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 积分法求位移步骤积分法求位移步骤 （1 1）建坐标系，先列弯矩方程）建坐标系，先列弯矩方程

14、（2 2）建立挠曲线的近似微分方程）建立挠曲线的近似微分方程 )x(MyEI z （3 3）对微分方程积分得转角、挠度积分方程）对微分方程积分得转角、挠度积分方程 Cdx)x(MEI dx dy EI zz DxCdxdx)x(MyEI z 转角积分方程转角积分方程 挠度积分方程挠度积分方程 （4 4）列边界条件或连续条件求积分常数，得转角、挠度方程）列边界条件或连续条件求积分常数，得转角、挠度方程 注意：弯矩方程为注意：弯矩方程为n n个时，有个时，有2n2n个积分常数，需列个积分常数，需列2n2n个条件方程。个条件方程。 材料力学第7章梁变形 讨讨 论论 积分法求位移有什么优缺点？积分法求

15、位移有什么优缺点？ 7-3 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 为了实用上的方便，总结了各种常见荷为了实用上的方便，总结了各种常见荷 载作用下转角、挠度方程：载作用下转角、挠度方程： P131P131表表7-17-1 材料力学第7章梁变形 叠加法：叠加法： 梁在若干个简单载荷共同作用时的挠度或转梁在若干个简单载荷共同作用时的挠度或转 角，等于在各个简单载荷单独作用时的挠度或转角，等于在各个简单载荷单独作用时的挠度或转 角的角的代数和代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 材料力学第7章梁变形 例例 已

16、知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、 EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C ； A A截面的转角截面的转角 B B 1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解 2C1CC yyy 2A1AA 2 2）查表）查表7-17-1得得2 2种情形下种情形下C C截面截面 的挠度和的挠度和B B截面的转角截面的转角。 EI24 ql3 1A EI16 Fl2 2A EI384 ql5 y 4 1C EI48 ql y 3 2C 解解 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 X=l/2 X=0 X=l/2 X=0 材料力学第7章梁变形 3

17、 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和作用时的结果求和 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 Z 3 Z 4 2C1CC EI48 Fl EI384 ql5 yyy Z 2 Z 3 2A1AA EI16 Fl EI24 ql 叠加法适用范围：小变形，材叠加法适用范围：小变形，材 料处于弹性阶段且符合胡克定料处于弹性阶段且符合胡克定 律（线弹性范围内）。律（线弹性范围内）。 材料力学第7章梁变形 例例7-4 7-4 一悬臂梁，一悬臂梁，q q、 l、EIEI均为已知。求均为已知。求 自由端转角和挠度。自由端转角和挠度。 梁在荷载作用下挠曲线如虚线所

18、示，其中梁在荷载作用下挠曲线如虚线所示，其中B BC C为直线，所以为直线，所以C C、 B B两截面转角相同。两截面转角相同。 C C截面挠度可视为两部分组成：截面挠度可视为两部分组成：y yB B、y ya a(B(BC C绕绕B B点转动点转动B B） 解解 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 Z 3 BC EI6 ql 因小变形，因小变形，ya可用可用aB B来表示。所以：来表示。所以：C C截面挠度为：截面挠度为： 3 a 4 l EI2 ql EI6 ql a EI8 ql ayy Z 3 Z 3 Z 4 BBC 材料力学第7章梁变形 例例7-5 7-5 已知：悬

19、臂梁受力如已知：悬臂梁受力如 图示，图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求 C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效 果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载 荷。荷。 C y 解解 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁

20、的位移 材料力学第7章梁变形 C y 2C y 1C y 2B y , EI8 ql y 4 1C Z 434 2B2B2C EI384 ql7 2 l EI48 ql EI128 ql 2 l yy EI6 ql3 1C EI48 ql3 2C EI384 ql41 EI384 ql7 EI8 ql yyy 4 Z 4 Z 4 2C1CC 3 3）将结果叠加）将结果叠加 48 ql7 EI48 ql EI6 ql 3 Z 3 Z 3 2C1CC 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截 面的挠度和转角。面的挠度和转

21、角。 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 材料力学第7章梁变形 讨讨 论论 叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？ 7-4 7-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 材料力学第7章梁变形 在建筑工程中，一般只校核挠度在建筑工程中，一般只校核挠度 7-5 7-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 l f l ymax 刚度条件：刚度条件： 式中：式中： max y 最大挠度；最大挠度；l l梁的梁的 跨度；跨度； l f 挠度容许值与跨长比值，根据不同工挠度容许值与跨长比值，根据不同工 程用途，规范值不同，一般给定或可查程用途，规范值不同，一般给定或可查 材料力学第7

22、章梁变形 7-5 7-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 例例7-7一承受均布荷载的简支梁如图，已知一承受均布荷载的简支梁如图，已知l=6m，q=4kN/m, 400 1 l f ,梁采用梁采用22a号工字钢，号工字钢，E=2105MPa。试校核梁的刚度。试校核梁的刚度。 解：查得工字钢的惯性矩为：解：查得工字钢的惯性矩为： 44 Z m1034. 0I 梁跨中的最大挠度为：梁跨中的最大挠度为：m01. 0 m1034. 0Pa102384 m6m/N1045 EI384 ql5 y 4411 443 Z 4 max 400 1 600 1 m6 m01. 0 l ymax 满足刚度要求。满足刚度要求。 材料力学第7章梁变形 7-67-6简单超静定梁简单超静定梁 1.1.基本概念：基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言多余约束：从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束 超静