完整2017 2018期末随机过程试题及答案推荐文档

1、随机过程期末考试卷1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) o1.设随机变量X服从参数为 的泊松分布，则X的特征函数为2.设随机过程X(t)=Acos( t+ )，- t 其中为正常数，A和是相互独 立的随机变量，且A和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。4. 设 Wn,n 1是与泊松过程X(t),t 0对应的一个等待时间序列，则 Wn服 从 分布。5. 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回, t对每一个确定

2、的t对应随机变量X(t) 3te ,如果t时取得红球，则这个随机过如果t时取得白球2.设X(t), t 0是独立增量过程,且X(0)=0,证明X(t), t 0是一个马尔科夫 过程。共6页第1页共6页第2页程的状态空间n步转移矩阵P(P(jn)，二者之间6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(Pj)，的关系为07.设Xn,n 0为马氏链，状态空间I，初始概率PiP(X0=i)，绝对概率Pj(n)P Xn j，n步转移概率pjn),三者之间的关系为是泊松过程，且对于任意t2 t10则PX(5)6|X(3)43.设Xn,n 0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n 0,1 l n和 i, j I

3、，n步转移概率p(jn)p(k)py)，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,p(k)p kTk I9.更新方程K t H t证明并说明其意义。得分评卷人10 .记EXn,对一切atK t s dF s解的一般形式为 00,当 t 时，M t+a M t、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32 分)4.设N(t),t 0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,L是一列独立同分布随机变N(t)量，且与 N(t),t 0独立，令X(t)= 丫k,t 0,证明：若E(Y12v )，则k=12.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 客不超过3人的概率。2分钟内到达的顾E X(t) tE 丫

4、1。得分评卷人三、计算题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。 而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为又设今天下雨；规定有雨天气为1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P1/31/302/301/302/3，求其平稳分布。2/3状态0,无雨天气为状态1。设 0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。共6页第4页共6页第4页得分评卷人四、简答题(本题6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。4.设有四个状态1= 0,1,2,3的马氏链，它的一步转移概率矩阵12 P二 %0(1) 画出状态转移图;(2) 对状

5、态进行分类;(3) 对状态空间I进行分解。共6页第5页共6页第6页1.为 e (eit-1)2._1(sin( t+1)-sin t)。3. _-4.It, 2lL;e,e2L 。6 . P(n)Pn。337 . Pj(n)Pi pjn)。i I8.18e6tH t K t sdM s 10.01.证明题P(ABC) P(AB)P(AB) P(A)P(C AB)P(BA)=右边2.证明：当0 t1 t2 Ltn t 时,P(X(t) x X(t1)=X1,X(t 2)=X2,L X(tn)=Xn) =P(X(t)-X(t n) X-Xn X(t1)-X(0)=X 1,X(t 2)-X(0)=x

6、 2,L X(t n)-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t n) X-Xn)，又因为P(X(t) XX(tn)=Xn)= P(X(t)-X(tn)X-Xn X(tn)=Xn )=P(X(t)-X(t n) X-Xn)，故P(X(t)XX(t1)=X1,X(t 2)=X2,L X(tn)=Xn)= P(X(t) XX(tn)=Xn)3.证明:Pj(n)P X(n)=j|x(0)=iP X(n)=j，uX(l)=k|X(0)=ik IP X(n)=j,X(l)=k X(0)=ik I= P X(l)=k X(0)=i gP X(n)=j X(l)=k,X(0)=ik I移概率可以用较低步数的

7、转移概率来表示。4.证明：由条件期望的性质E X(t) E E X(t) N(t)N(t)E X(t)|N(t) n E Yi| N(t) ni=1n=EY N(t) n =Ei=1nYi =nE(Y1)，所以 E X(t)i=1三.计算题(每题10分,1.解：共 50 分)解方程组解得12.解：设PPpT，其意义为n步转tE Y,。N(t),t1，即47，故平稳分布为是顾客到达数的泊松过程,N(2)=k翌 e-4，则k!P N(2)=0 +P N(2)=1 +P N(2)=2 +P N(2)=3e-4 4e-4 8e-4 里e-4371 -4 一 e3共6页第8页共6页第8页3解：由题设条件,得一步转移概率矩阵为P=P10兀7，于是Pii 0.4 0.6PPP二 &0.52,四步转移概率矩阵为P0.48p（2）p（2）0.57490.56680.4251,从0.4332共6页第9页而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为Poo 0.5749 04.解：（1）图略;（2） P331,而P30, P31, P32均为零，所以状态3构成一个闭集,它是吸收态, 记&= 3 ; 0, 1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，