大学解析几何

1、空间解析几何基本知识、向量1已知空间中任意两点Mi(Xi, yi,Zi)和 M2(X2, y2,Z2)，则向量ujuuLurMiM2(X2 Xi,y2 yi,Z2 乙)2、已知向量（1）向量aa (ai ,a2 ,a3)、b(bi,b2,b3)，则QQQ的模为 I a IJaia2a3(2) a b(aibl,a2b2,a3 d)(3) a ( ai, a2, a3)3、向量的内积a ba b | a | | b | cos a, b(2)a ba1b1a2b2a3b3其中a,b 为向量a , b的夹角，且0 a, b注意:4、向量的外积b （遵循右手原则，且a b a、a b b)5、（ 1

2、）a/b(2) a baibia2b2a3b3aibi电b2a3b3aibia2b2a3b30利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。二、平面1平面的点法式方程已知平面过点P(X0，y0，z0)，且法向量为n(A, B, C),则平面方程为A(xX0) B(y y。) C(zZo)0注意：法向量为n(A, B,C)垂直于平面2、平面的一般方程Ax By Cz D 0，其中法向量为 n (A,B,C)3、( 1)平面过原点(0,0,0) Ax By Cz 0(2)平面与X轴平行(与yoz面垂直)法向量n垂直于X轴ByCz(如果D 0，则平面过X轴)平面与y轴平行(

3、与xoz面垂直)法向量n垂直于AxCz(如果D 0，则平面过y轴)平面与z轴平行(与xoy面垂直)法向量n垂直于AxBy(如果D 0，则平面过z轴)(3)平面与xoy面平行法向量 n垂直于 xoy面Cz平面与xoz面平行法向量n垂直于xoz面By平面与yoz面平行法向量n垂直于yoz面Ax注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点P(x0,y0,z0)且方向向量为v (v1,v2,v3)直线方程X X0Viy y。V2z Z0V3注意：方向向量 v (v1, v2, v3)和直线平行2、直线的一般方程AiXBi y CiZDi 0A2XB2 yC2Z D20意该直线为平面xAiXBi

4、y CiZ Di0和 A2XB2y C2Z D20 的交线3、直线的参数方程X0Vity0V2tZ0V3t4、(1 )方向向量(0,v2, v3)，直线垂直于x轴(2)方向向量V(V1,O,V3)，直线垂直于y轴(3)方向向量V(Vi，v2,0)，直线垂直于z轴5、(1 )方向向量(0,0,v3)，直线垂直于xoy面(2)方向向量V(0,v2,0)，直线垂直于xoz面(Vi,0,0), 直线垂直于 yoz面(3)方向向量V应用一、柱面i、设柱面的准线方程为fi(X,y,Z) 0，母线的方向向量V(v1,v2,v3)，求柱面方程f2(x,y,z)0方法：在准线上任取一点M (Xi，yi, Zi)

5、，则过点M (Xi, yi,Zi)的母线为XxiVi又因为在准线上，故yyiV2ZZiV3fi（Xi,yi,Zi）0f2（Xi,yi,Zi） 0（ 2）X Xi yyiViV2zZiV3由(i)、(2)、(3)消去 xi, yi, zi 求出 t，则该方程为所求柱面方程再把t代入求出关于x, y,z的方程F(x,y,z) 0，X2例1:柱面的准线为2x22 2y ZC 222y zi ，而母线的方向为V i,0,i，求这柱面方2程。解：在柱面的准线上任取一点M(xi，yi，Zi)，则过点 M(Xi,yi,Zi)的母线为X X1y y11 o即 X1 X t , y1 y, Z1 z t(z z

6、11(1)2x1又因为在准线上，故由（1）（ 2）（ 3）得 x2 y2 z22、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径 方法：在圆柱面上任取一点 Mo（xo，yo，zo），过Mo（xo,yo,zo）点做一平面垂直于对称轴, 该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点M 4 （为，yj，乙），2xz2yi2 , -2-2 z11( 2)，2X1 2y1则|MoMi|为圆柱的半径2 -Z12( 3)例2:已知圆柱面的轴为X 口 三，点Mj（ 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个1 2 2圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点Mo（xo

7、，yo，zo），过点Mo（xo,yo,zo）且垂直于轴的平面为(X Xo)2(y yo)2(z轴方程的参数式为 X t , y 1 2t , zZo)12t代入平面方程得t Xo2yo2zo故该平面和轴的交点为（Xo 2yo991 15过点Mj （ 1，-2，1 ）和轴垂直的平面和轴的交点为（，-）3 332xo 4yo 4zo9 2xo 4yo 4Zo)因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得2 2 28x 5y 5z 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 o注意：也可找圆柱面的准线圆处理例3 :求以直线x=y=z为对称轴，半径 R=1的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点 Mo（xo,

8、yo,zo），过点Mo（xo,yo,zo）且垂直于轴的平面为（x Xo）轴方程的参数式为x(y yo) (zt, y t, zZo） ot代入平面方程得tXoyo3Zo故该平面和轴的交点为 M （ Xo yo3Zo XoyoZo XoyoZo)，3，3则M0M1的长等于半径 R=1故利用距离公式得(XoXo yo Zo)2 (yoXoyoZo 2.Xoyo Zo、23)(Zo即所求方程为(2xo yo Zo)2Xo 2yo Zo)2( Xo yo 2zo)29二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1设锥面的准线为fi（x,y,Z）o

9、，顶点为Mo（xo，yo，zo），求锥面方程f2 （X, y, z） o方法：在准线上任取一点Mi（xi, yi, Zi），则过点Mi（ Xi, yi, Zi）的母线为XXoyyoXiXoyiyozZoZiZo又因为Mdiy-Zi）在准线上，故fi（Xi,yi,Zi） 0（ 2）由（i ）、（ 2）、（ 3）消去Xi,yi,Zi求出关于锥面方程f2（xi,yi,zi）0（ 2）X,y,Z的方程F（X,y,Z） 0 ,则该方程为所求2 X 例i锥面的顶点在原点，且准线为02丄b2Z c1，求这锥面方程。解：在准线上任取一点M i（Xi, yi,乙），则过点Mi(Xi,yi,Zi)的母线为A yX

10、iyiZi又因为M（Xi, yi，Zi）在准线上，故2上面三个方程消去Xi, y-i, zi得务a2Xi2 a2 y b22yi .b22 z o c2、圆锥面已知圆锥面的顶点 Mo（xo，yo，zo），对称轴（或轴）的方向向量为 v （Vi,V2,V3），求圆锥面方程方法：在母线上任取一点M (X, y, z)，则过该点的母线的方向向量为n (X X0, y y0,z z。)z2)利用V和n的夹角不变建立关于 x,y,z的方程，该方程为所求 例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。(X y z)2 X2解：在坐标轴上取三点(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)，则过三点的平面为X

11、 y z i故对称轴的方向向量为(i,i,i)，一条母线的方向向量为(i,0,0)，则母线和对称轴的夹角为 i i i 0 i 0 43 i cos ，即cosV33在母线上任取一点M (X, y,z)，则过该点的母线的方向向量为n(X, y, z)X y所以(X y z)2z Jx2 y2 z2 J3cos2 2 2X y z例3圆锥面的顶点为(i,2,3)，轴垂直于平面2X 2y z i 0 ,母线和轴成30，求圆 锥面方程M (X, y, z)，轴的方向向量为 (2,2, i)，母线的方向向量为解：在母线上任取一点n (X 1,y2,z 3)则 2(x1)2(y 2)即 4(2x 2y

12、z三、旋转曲面(z3)23) V(X i)2 (y 2)227(X i)227(y2)2(z 3)2 V9cos30027(z3)2设旋转曲面的母线方程为0,旋转轴为XoXy yoY乙二0，求旋转Z曲面方程方法：在母线上任取一点Mi(Xi,yi,Zi)，所以过 Mi(xi,yi,zi)的纬圆方程X(X Xi) Y(y yi) Z(z 乙)0(Xx。)2(yy。)2(zz0)2(%x。)2(yiy。)2(乙z。)2又因为Mi(Xi,yi,zi)在母线上，有fi(Xi,yi,Zi)0f2(Xi,yi,Zi)0由上述四个方程消去Xi,yi,Zi的方程F（x, y,z） 0为旋转曲面例4求直线X2y

13、Z 1绕直线1 : X1 0yZ旋转一周所得的旋转曲面的方程。解：在母线上任取一点 M/xLyv；Z1），则过M 1(X1, y1, Z1)的纬圆方程（XX1) (y y1) (zZ1)022 2 222Xy zX1y1Z1又因为M1（X1,y1, Z1）在母线上，有里Z11210由上述方程消去X1, y1, Z1的方程得9X29y2 29z5( XyZ 1)29四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是Xoy平面上的曲线f(x,y)0，则柱面方程为f (X, y)0Z0设柱面的准线是XOZ平面上的曲线g (X, Z)0，则柱面方程为g(X,Z)0y0设柱面的准线是yo

14、Z平面上的曲线h(y,Z)0，则柱面方程为h(y,z)0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母双曲线柱面、（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、抛物线柱面例求柱面方程（1）准线是yX2Z，母线平行于X轴0解：柱面方程为y22z22Xy2（2）准线是49zy3解：柱面方程为X24z2222Xyz（3）准线是499X21，母线平行于Z轴1，母线平行于y轴解：X 22、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面设母线是(，y) ，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x, Jy2 z2) 0 ；旋转轴是y轴z 0的旋转曲面为f( Jx2 z2, y) 0(同理可写出其它形

15、式的旋转曲面方程)注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。2 2例方程 L J X 0是什么曲面，它是由 xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的2 22解：xoy面上的 L x 0绕x轴旋转而成的23、平行于坐标面的平面和曲面f (x, y,z) 0的交线方程例求曲面和三个坐标面的交线16z2x2解:x22yy206464x2 16z2y 064y216z264x 0平行于xoy面的平面zh和曲面f (x, y,z)0的交线为f (x,y,h) z h平行于xoz面的平面yh和曲面f (x, y, z)0的交线为f(x,h,z) y h平行于yoz面的平面xh和曲

16、面f (x, y, z)0的交线为f(h, y,z)4y216z264(2)解：注意在yoz面上无交线(3)x2 9y210z解：在xoy面上交于一点(0,0)五、求投影1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：(1)过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量(2)求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影例5( 1)求点A(3,1, 1)在平面3x y z 200上的投影(2)求点A(1,2, 5)到平面x y z 100的距离，并求该点关于平面的对称点坐标(1)求过直线3x 2y 20且与点M (1,2,1)的距离为1的平面方程x 2y z 602、求

17、点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例6（ 1）求点A（1, 1,0）到直线22L 的距离，该点在直线上的投影0 1（2）求点M （1, 1,0）到直线22 3z 30的距离x y 03、直线在平面上的投影方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面 法向量的外积（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影例7（ 1）求直线2x 4y z3x y 2z在平面4x y Z 10上的投影直线的方程0（2）直线在yoz面上的投

18、影为4y7z 5，在xoz面上的投影为4x 5z 30，求y 0直线在xoy面上的投影4、曲线f（x，y，z） 0在坐标面上的投影柱面及投影g（x, y,z） 0方法：（1）消去z得h1（x, y）0，则z賞y） 0为曲线在xoy面上的投影（2）消去x 得 h2（y,z）h2（y,z）x 00为曲线在yoz面上的投影（3）消去y 得 h3（X, z）h3（x,z） y 00为曲线在xoz面上的投影例（1）求球面x2（2）把曲线y2y2y2z3z24x8x解：消去x得母线平行于投影柱面方程y2 4x9与平面Xz 1的交线在xoy面上的投影柱面及投影4z的方程用母线平行于12zx轴的投影柱面方程

19、y20，因此曲线可表示为X轴和z轴的两个投影柱面方程表z22 y2 y4z ；消去z得母线平行于z轴的z2 4z4x 0五、求平面方程1、过直线A,x B1y C1z D10A2x B2y C2z D2(0的平面方程可设为(A-ix B1 y C1z D1)(A2x B2y C2z D2) 0如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理x y z 40例(1)在过直线y的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。x 2y z 0(2)平面过0Z轴，且与平面y z 0的夹角为60，求该平面方程(两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角)(3)求过点M(1,0, 1)和直线 2乂三的

20、平面方程2 0 1(4)过直线x 2z 40作平面，使它平行于直线3y z 8 0y z过平面2x y 0和4x 2y 3z 6的交线作切于球面2 2y z 4的平面(6)求由平面2x z 120, x3y 170所构成的两面角的平分面方程2、利用点法式求平面方程注意：(1)任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量(2)和平面 Ax By Cz D0平行的平面可设为 Ax By Cz D10(3)如存在两个向量(a1，a2，a3)、b(b1,b2,b3)和平面平行(或在平面内)，则平面的法向量为n aa1b1a2b2a3b3例(1)已知两直线为-_2，求过两直线的平面2方程(2)求过A(8,

21、 3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面 3x 5yz 210的平面(3) 平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程(4)已知球面X2y22xZ 2x 4y 6z 0与一通过球心且与直线y0 垂直的Z 0平面相交，求它们的交线在xoy面上的投影3、轨迹法求方程方法：(1)设平面上任点 M(x,y,z)(2)列出含有x,y,z的方程化简的平面方程例求由平面x y 3z 10和xy 3z0所构成的二面角的平分面的方程六、求直线方程1、把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为A,xB1yA2x B2 yC1zC2zD1D20 ，则该直线的方向向量为0A1

22、A2B1 C1B2 C2(Vi,V2,V3)x在直线上任取一点(X0,y0,z0)，则直线方程为 -XoV1y y。V2Z Z0V32x y Z 5 0例化直线的一般方程y为标准方程2x y 3z 102、根据直线的方向向量求直线方程例(1)过点M (0,1,2)，且平行于两相交平面x y 3z 10 和 xy 3z20的直线方程x(2求过点M (2,4,0)，且与直线y2z3z0平行的直线方程0(3)求过点M (1,0, 2)，且与平面3x4y60平行，又与直线垂直的直线方程注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量3、利用直线和直

23、线的位置关系求直线方程注意：（1）两直线平行，则mim2nin2m3，其中（mi,m2,m3）和（n 1,门2,门3）为直线的方门3102向向量（2）两直线miy ym2zZ0m3niy yin2J空相交，则门3XiX0yiy。乙 Z0m1m2m3nin2n30且mnim2n2m3n3（3）两直线勺yy。z Z0方向向量为Vmim2和m3niXiyyin2mim2m3nin2n3zZin3（v1 ,v2,v3），则两异面直线的距离为异面，其中公垂线的L；公垂线方|V|Zox X0程为miVim2V2m3V3X X1y yizZinin2n3ViV2V3例（I）求通过点M (1,1,1)且与两直

24、线 -1-和 g12323都相交的直线4方程解：设所求直线的方向向量为（a,b,c），已知两直线的方向向量为（1,2,3）、（2,1,4），且分111012则1230，即卩 a 2b c 0 ；214abcabc别过点(0,0,0)、(1,2,3)故a故(a, b,c)0,c 2b，(0,1,2)X 1所求直线为 J(2)已知两异面直线y1，求它们的距离与公垂线方0口平行且与下列两直线相交的直线15x4xz 2x 4z 3y 5求过点P（1, 2,3）与z轴相交,且与已知直线乞二垂直的直线方程21、已知柱面的准线为母线平行于直线x2、已知柱面的准线为习题(x 1)2 (y 3)2(zz 2 0

25、y,z求柱面方程2y2z3、求过三条平行线 x y4、求顶点为原点，准线为x2 2z2)225且母线垂直于准线所在的方程,1,x5、顶点为（3, 1, 2），准线为x2 y26、顶点为（1,2,4），轴垂直于平面2x0,y2z7、求下列旋转曲面方程直线直线直线(4)曲线y32y绕直线-丄1 1 1z绕直线z旋转31, x（1）母线平行于x轴（2）求柱面方程z 2的圆柱面方程0的锥面方程z 0，求锥面方程y0 ,且过点（3,2,1），求该圆锥面的方程z 1旋转2旋转22x2y绕直线z旋转18例求曲面和三个坐标面的交线2 2 2 2 2 2 2 2（1）x 4y 16z64（2）x 9y 10z

26、（3）x 4y 16z00的对称点09( 1)求点P(2,0, 1)关于直线 x y 4z 122x y 2z 3的距离,(2)求点 A(2,3, 1)到直线 2x 2y z 303x 2y 2z 17010求直线 y 在平面x y 2z 10上的投影直线的方程1 1 111求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影2xy2 z 0x 12y 6z 57x3x 2y 10zx2 z2 3yz 2x 3z 3 0y z 102 2 2z x yz2 2yx12( 1)过直线x2y2y0作平面，使它垂直于平面 x 2y z 0(2)求过点M(3,1, 2)和直线-的平面方程1(3)求过两平面3x y 2z 20、x y4z 30交线且与平面x y 2z 10垂直