连续时间系统时域分析xin

1、线性连续系统的描述及其响应线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 卷积积分卷积积分 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 元一阶微分方程状态变量描述 阶微分方程一元输入输出描述 : : n n 系统分析方法：系统分析方法：主要有时域分析法和变换域（频域）分析法。 时域分析方法时域分析方法: :不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分 方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各 种变换域方法的基础。 系统分析：系统分析：已知输入信号和系统模型分析输出。 系统模型：系

2、统模型：系统物理特性的数学抽象。数学表达式主要用 于系统计算；系统方框图主要用于系统仿真。 系统描述方法：系统描述方法：连续时间系统的数学模型通常用微分方程 描述。有两种描述方法。 （系统分析简介） 2.1 线性连续系统的描述及其响应线性连续系统的描述及其响应 2.1.1 2.1.1 系统的描述及微分方程的列写系统的描述及微分方程的列写 描述线性时不变连续系统的数学模型是线性常系数描述线性时不变连续系统的数学模型是线性常系数 微分方程。微分方程。 )( )()( )( )()()( 0 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 teb dt ted b dt ted b tya dt tyd a

3、 dt tyd a dt tyd m m m m m m n n n n n n n n 式中式中an-1，a1，a0和和bm， bm-1，b1，b0均为常数均为常数 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 1. 1.根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 2.2.对于电路系统，对于电路系统，列写数学模型的基本依据：列写数学模型的基本依据： 1) 1)元件特性约束特性元件特性约束特性 2)2)网络拓扑约束特性网络拓扑约束特性 元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。：表征元件特性的关系式。 网络拓扑约束网络拓扑约束：由网络结构决定的电压

4、电流约：由网络结构决定的电压电流约 束关系束关系,kcl,kcl，kvlkvl。 (2) (2)电感电感l l， (3)(3)电容电容c c， (4)(4)互感互感( (同、异名端连接同、异名端连接) )、理想变压器等原、副边电压、理想变压器等原、副边电压、 电流关系等。电流关系等。 0 0 ()1 (),( )( ) t l llll t di t u tlii tud dtl 0 0 ( )1 ( ),( )( )( ) t c cccc t dut itcututid dtc 1. 1. 元件约束元件约束varvar 在电流、电压取关联参考方向条件下：在电流、电压取关联参考方向条件下：

5、(1)(1)电阻电阻r ur ur r(t)=r(t)=ri ir r(t (t) )； 2. 2. 结构约束结构约束kclkcl与与kvlkvl 例图所示电路，激励是电流源例图所示电路，激励是电流源i is s(t (t), ),试列出电流试列出电流i il l(t (t) ) 为响为响 应的方程。应的方程。 is(t) ic(t) u1(t) il(t) r2r1 l + uc(t) _ )( )( )()()()( 2 21 tir dt tdi l tirtututu l l llc 解解 由由kvlkvl，列出电压方程，列出电压方程 对上式求导，考虑到对上式求导，考虑到 11 ( )

6、 ( )( )( ) c cc dut itcritu t dt dt tdi r dt tdi l dt tdi r c ti l l cc )()()()( 2 2 2 1 根据根据kclkcl，有，有i ic c(t)=i(t)=is s(t)-i(t)-il l(t (t) )，代入上式，代入上式 2 12 2 2 121 2 ( )( )( )( )1 ( ( )( )() ( )( )( )11 ( )( ) slll sl sll ls di tdi td i tdi t i ti trlr cdtdtdtdt di td i trr di tr i ti t dtldtlcld

7、tlc 结论结论: : 1.lti系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方 程的程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应右侧自由项为激励，左侧为系统响应。 2.求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。 当当r=r=1,l=0.5,c=1时，则有时，则有 2 2 ( )( )( ) 42 ( )22 ( ) sll ls di td i tdi t i ti t dtdtdt 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1

8、 1 10 1 1 1 10 tee t te e t te e t te e trc t tr c t tr c t tr c mm m m m m nn n n n n 激励：激励：excitation 响应：响应：response 常系数的常系数的n阶线性常微分方程阶线性常微分方程: c, e均为常数。 阶次阶次：r(t)的最高阶次减去其最低阶次。 n 阶线性时不变系统的模型阶线性时不变系统的模型 激励：激励：e(t)e(t)响应：响应：r(t)r(t) 系统系统 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 微分方程的解：微分方程的解： 完全解齐次解完全解齐次解 + + 特解特解 )()

9、()(trtrtr ph 齐次解齐次解: homogeneous 特解特解: particular 2.1.2 系统微分方程的经典法 1.1.经典解法经典解法 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 (1)(1)齐次解齐次解( (homogeneous) 满足方程：满足方程：0)( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 10 trc t tr c t tr c t tr c hn h n n h n n h n 特征方程：特征方程： 0 1 1 10 nn nn cccc 特征根为：特征根为： n , 21 由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 分

10、三种情况讨论分三种情况讨论（都有n个待定系数ai ）： )sincos(t)r j )()(k )(r 21h 1 2 2 1 1 1 21 2 1 21 tctce eaea eatatatr eaeaeaeat t t n t k t k kk h n i t i t n tt h n in 时：有复数根（成对出现） 次重根时：有 无重根时： 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为012167 23 032 2 3 , 2 21 重重根根 特征根特征根 23 123 ee0 tt h r tataat 对应的齐次解为对应的齐次解为 的齐次解。

11、例：求微分方程tetrtr t tr t tr t 12 d d 16 d d 7 d d 2 2 3 3 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 (2)(2)特解特解( particular) 将将e(t)e(t)代入方程的右端，整理得到代入方程的右端，整理得到自由项自由项; ; 根据根据自由项自由项形式，设特解（形式，设特解（p46p46）；）； 将特解函数式将特解函数式代入原方程代入原方程； 比较系数得出待定系数，从而得到特解。比较系数得出待定系数，从而得到特解。 满足方程：满足方程： )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 1

12、0 1 1 1 10 tee t te e t te e t te e trc t tr c t tr c t tr c mm m m m m pn p n n p n n p n 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此 方程的特解。方程的特解。 ,e 2 ; 1 2t tette te t te tr t tr t tr d d 3 d d 2 d d 2 2 例：给定微分方程式例：给定微分方程式 32 2 1p btbtbtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 1 22 tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将 平衡

13、，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到： 为待定系数。这里 321 , , bbb ttbbbtbbtb2322 343 2 32121 2 1 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 0322 234 13 321 21 1 bbb bb b 联解得到联解得到 27 10 , 9 2 , 3 1 321 bbb 所以，特解为所以，特解为 27 10 9 2 3 1 2 p tttr ttbbbtbbtb2322 343 2 32121 2 1 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 这里，

14、这里，b是待定系数。代入方程后有：是待定系数。代入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当 tt btrtee , ,e ttttt bbbeee3e2e 3 1 b t p et r 3 1 )( 于是，特解为 (2) te t te tr t tr t tr d d 3 d d 2 d d 2 2 相加和特解齐次解方程的完全解：求出的trtr ph tra)t(r)t(rtr n i t ph i p 1 ie 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 微分方程的解与系统响应的关系：微分方程的解与系统响应的关系： 自由响应：自由响应：由系统自身特性决定。rh(t) 强迫响应：强迫响应：

15、与外加激励信号有关。rp(t) 自然频率：自然频率：特征方程的特征根i 自然频率。自由频率也称为系统的固有频率,)21(,n,i i 微分方程的解：完全解微分方程的解：完全解 齐次解齐次解 特解特解 系统的响应：系统的响应： 全响应自由响应强迫响应全响应自由响应强迫响应 问题：问题：要得到完全解，还需要确定系数ai ？ 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例给定系统的微分方程例给定系统的微分方程 )(8)(10)(3)( 2 2 tetyty dt d ty dt d 若激励信号为若激励信号为 , 初始状态为初始状态为 t ete 3 )( 求系统的响应求系统的响应y(t). 4)0(

16、, 1)0( yy 解：1)求对应齐次方程的通解 系统的特征方程为 )(ty h 0103 2 特征根为: 1=5 ,2=-2 对应的齐次解为: tt h eaeaty 2 2 5 1 )( 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2)求特解 )(ty p 将 t ete 3 )( 代入方程右端,得 t etyty dt d ty dt d 3 2 2 8)(10)(3)( 选特解函数式t p bety 3 )( b为待定系数,代入方程后有: tttt ebebebe 3333 81099 1b 特解为: t p ety 3 )( 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 3)求完全解y

17、(t) ttt ph eeaeatytyty 32 2 5 1 )()()( 由初始条件确定常数a1,a2. 4325)0( 11)0( 21 21 aay aay 1 1 2 1 a a 得 所以,系统响应为ttt eeety 325 )( t0 自由响应自由响应强迫响应强迫响应 暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 根据初始条件根据初始条件: )1, 1 ,0)(0( )( nky k 确定式中常数确定式中常数a. 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2 2、系统的二个状态、系统的二个状态 0 0时刻：激励加入的计时起点定义为时刻：激励加入的计时起点定义为0 0时刻。时刻。 0 0 状

18、态：激励加入之前瞬间的状态。 状态：激励加入之前瞬间的状态。 0 0 状态：激励加入之后 状态：激励加入之后瞬间瞬间的状态。的状态。 o 0 0 t 微分方程的解微分方程的解r(t)的的t域空间：域空间： 0t理解： 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 0 e p 1 i ttratr n i t i 要确定要确定 ai ，需要知道，需要知道r(t)在在0 0 时刻的初始条件 时刻的初始条件 0状态、初始条件 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d ,00 n n k t r t r t r rr 状态、起始状态 0 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d

19、,00 n n k t r t r t r rr 跳变量跳变量 3 3、确定、确定 ai 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电 流不会发生突变（换路定则）流不会发生突变（换路定则） 。 对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的0_状态就是系统中储能状态就是系统中储能 元件的储能情况。元件的储能情况。 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用 于电感，于电感，0_到到0+状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 4、系

20、统状态及说明、系统状态及说明 系统变量的系统变量的0+状态决定微分方程的状态决定微分方程的0+状态，但通常要经过状态，但通常要经过 转换计算转换计算（经典法）（经典法）。 当系统已用微分方程表示时，微分方程的当系统已用微分方程表示时，微分方程的0_状态已知，从状态已知，从 0_状态到状态到 0+状态有没有跳变，取决于微分方程右端自由项是状态有没有跳变，取决于微分方程右端自由项是 否包含否包含 (t)及其各阶导数及其各阶导数（匹配法）（匹配法）。 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2.1.3 初始条件的确定（起始点的跳变初始条件的确定（起始点的跳变从从0-到到0+ ） 一般情况下，换路

21、期间电容两端的电压和流过电感中的电一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电 流不会发生突变（换路定则）流不会发生突变（换路定则） 。 对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的0_状态就是系统中储能状态就是系统中储能 元件的储能情况。元件的储能情况。 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用 于电感，于电感，0_到到0+状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 1 1电容电压或电感电流的跳变电容电压或电感电流的跳变 1 1）电容电压的突变）电容电压的突变 x 由伏安关系由伏安关系 t cc i c tv d)( 1

22、 )( 0 00 11 (0 )( )d( )d t ccc vii cc 0 0 1 0 ,(0 )(0 )( )d ccc tvvi c 令 为有限值为有限值如果如果)(tic ttic 为为如果如果)( )0()0( cc vv此时此时 c vv cc 1 )0()0( 此时此时 当有冲激电流当有冲激电流 或阶跃电压作或阶跃电压作 用于电容时：用于电容时： )0()0( cc vv c )(tvc )(tic x 2）电感电流的突变 t ll v l ti d)( 1 )( 0 0 d)( 1 )0()0( lll v l ii )0()0( ll ii此时此时如果为有限值，如果为有限值

23、， )(tvl ，为为如果如果 )()(ttvl 00 ll ii 此时 冲激电压或阶冲激电压或阶 跃电流作用于跃电流作用于 电感时：电感时： )0()0( ll ii - + vl(t) x 综合综合1)和和2)可得可得: 当电容有当电容有阶跃电压阶跃电压或者或者冲激电流冲激电流加入时加入时, 电容的电压电容的电压v0-到到v0+会出现跳变会出现跳变; 当电感有当电感有冲激电压冲激电压或者或者阶跃电流阶跃电流加入时加入时, 电感的电流电感的电流i0-到到i0+会出现跳变会出现跳变. 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2 2、冲激函数匹配法求跳变量、冲激函数匹配法求跳变量（难点）（难

24、点） 当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从0- 0- 到到0+ 0+ 状态有没有状态有没有 跳变取决于微分方程的跳变取决于微分方程的 0 0时刻方程时刻方程 右端是否包含右端是否包含 及其及其 各阶导数项。各阶导数项。 t 引入函数： 其它0 00 1 )( t tu 相对单位跳变函数 o 0 0 t )(tu 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 ttrtr t 33 d d 0,0rr求求已知已知例例： ttrtr dt d 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 9 3 t =0 时刻时刻: 在在t=0时刻时刻 )(9)(3)(tuttr 在在t=0

25、时刻时刻 )(9)(3 )( tt tr 包含 900 rr 900 rr即即 所以，所以， 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 tubtatr ttubtatuctbta333 tuctbtatr t d d 设设 (2)(2)逐次积分，一直到得到逐次积分，一直到得到r(t)r(t) (3)(3)代入原方程代入原方程 03 3 ab a 冲激函数匹配法步骤：冲激函数匹配法步骤： (1)(1)考察方程两边，右边关于考察方程两边，右边关于 的最高阶项肯定由左边的最高阶项肯定由左边r( (t) )的的 最高阶产生，由此先设最高阶产生，由此先设r( (t) )的最高阶项。的最高阶项。 )(t

26、 ttrtr t 33 d d (4)(4)按左右两端各按左右两端各 系数相等求得各待系数相等求得各待 定参量。定参量。 )(t -9 3 b a 即： (5)(5)求跳变量的大小求跳变量的大小： 900 brr 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 。和用冲激函数匹配法求 和如图，已知输入 为：描述系统的微分方程例 0 d d 0 , 00 d d 5 4 0 )( 4 d d 6 d d 10 d d 7 d d 6-2 2 2 2 2 r t r r t rte tete t te t trtr t tr t （1）将e(t)代入微分方程，得 0时刻方程： trtr t tr t

27、10 d d 7 d d 2 2 tutt 8122 te 2 4 ot 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而设 t tuatr tubtatr td d tuctbtatr td d 2 2 tutttrtr td d tr td d 8122107 2 2 代入微分方程 tuatubtatuctbta 107 tutt 8122 (2) 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2, 2, 2 8107 127 2 cba abc ab a 求得 002 dd 002 dd rra rrb tt 因而有 状态为所求的 0 20 d d 20

28、d d 5 14 5 4 2020 r t r t rr tuatr tubtatr t tuctbtatr t d d d d 2 2 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 冲激函数匹配法的关键问题：冲激函数匹配法的关键问题： 准确写出系统从准确写出系统从0 0 到 到0 0+ +时刻满足的微分方程；时刻满足的微分方程； 掌握冲激函数匹配法的各个步骤；掌握冲激函数匹配法的各个步骤； 掌握求跳变量大小的方法。掌握求跳变量大小的方法。 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 ( )( )( ) hp y ty tyt 自由响应强迫响应自由响应强迫响应 零输入响应零状态响应零输入响应零状

29、态响应 暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应 ( )( )( ) zizs y tytyt 2.1.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 系统的完全响应可分为：系统的完全响应可分为： 系统的完全响应也可分为：系统的完全响应也可分为： 零输入响应零输入响应：当激励信号为：当激励信号为0时，仅由起始状态所产生的响应。时，仅由起始状态所产生的响应。 零状态响应零状态响应：当起始状态：当起始状态 时，仅由激励信号所产生的响应。时，仅由激励信号所产生的响应。 0)0 ( )( k y he(t),x(0) e(t) y(t)=yzs(t)+yzi(t) =h e(t)+ h x(0) 信号与系

30、统 第2章 连续时间系统的时域分析 1.零输入及零状态的线性零输入及零状态的线性 1）响应的分解性）响应的分解性 系统响应可分解为零状态响应和零输入响应；系统响应可分解为零状态响应和零输入响应； 2）零状态的线性）零状态的线性 当起始状态为零时，系统的响应当起始状态为零时，系统的响应yzs(t)与与e(t)成线性；成线性； 3) 零输入的线性零输入的线性 当外加激励当外加激励e(t)为零时，系统的响应为零时，系统的响应yzi(t)与起始状态与起始状态 成线性；成线性； he(t),x(0) e(t) y(t)=yzs(t)+yzi(t) =h e(t)+ h x(0) 信号与系统 第2章 连续

31、时间系统的时域分析 tuttr t 2sine2)( 3 1 已知一线性时不变系统，在相同起始状态下，当激励为已知一线性时不变系统，在相同起始状态下，当激励为e(t) 时，其全响应为时，其全响应为 ；当激励为；当激励为2e(t)时，时， 其全响应为其全响应为 。求：。求： (1)起始状态不变，当激励为起始状态不变，当激励为e(t-t0) 时的全响应时的全响应r3，为大，为大 于零的实常数。于零的实常数。 (2)起始状态增大起始状态增大1倍，当激励为倍，当激励为0.5e(t)时的全响应。时的全响应。 解：设零输入响应为解：设零输入响应为rzi(t) ，零状态响应为，零状态响应为rzs(t)，则有

32、，则有 )()2sin(e2)()()( 3 zszi1 tuttrtrtr t )( 2sin2e)( 3 2 tuttr t 例题：例题： )()2sin(2e )(2)()( 3 zszi2 tuttrtrtr t 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 )()22sin(e)(e3 )()()( )()2sin(e)( )(e3)( 00 )( 33 0zszi3 3 zs 3 zi 0 ttutttu ttrtrtr tuttr tutr ttt t t tut tuttu trtrtr t tt 2sin5 . 0e5 . 5 2sine5 . 0e32 )(5 . 0)(2)

33、( 3 33 zszi4 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：某例题：某lti系统微分方程为系统微分方程为 ，若激励信，若激励信 号和起始状态为号和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=0,，试求出系统响应，试求出系统响应. t aetr 3 1h )( 齐次通解为： ) () (2) (3) (tetetrtr 0 3 1 )( 3 1 taetr t 全解为： )()(3)( 11 tutrtr解：可令方程右侧为解：可令方程右侧为 u(t)，则有，则有 把把r (0+)= r(0-)= 0代入可得：代入可得：a=-1/3 )()(2)( 11 trtrtr )() 1(

34、 3 1 )( 3 1 tuetr t 可设特解为：可设特解为：r1p(t)=b，则带入方程可得，则带入方程可得b=1/3 因此因此r1(t)为：为： 根据系统的线性及微积分根据系统的线性及微积分 特性可得系统全响应为：特性可得系统全响应为： )() 15( 3 1 3 tue t 结论：结论：系统的零状态响应也可以利用线性及微积分性等性质来求解。系统的零状态响应也可以利用线性及微积分性等性质来求解。 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 ( ) zi yt )0( )(k y 零输入响应零输入响应 ：当激励信号：当激励信号 e(t) = 0时，由起始状时，由起始状 态态 所产生的响应。

35、所产生的响应。 零输入响应为零输入响应为 1 ( ) k n t zizik k yta e 其中待定系数由起始条件其中待定系数由起始条件 来确定。来确定。)0( )(k y 2. 零输入响应与零状态响应经典解法零输入响应与零状态响应经典解法 )0( 1.1 , 0)0()0( 0)( )()()( )()( 0 2 2 2 1 1 1 原因：激励为nkyy tya dt tyd a dt tyd a dt tyd zi k zi k zi n zi n n n zi n n n zi n 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 零状态响应零状态响应 ：当起始状态：当起始状态 时，由激励时

36、，由激励 信号信号e(t) 所产生的响应。所产生的响应。 0)0( )( k y )(tyzs 零状态响应的形式为：零状态响应的形式为： 1 ( )( ) k n t zszskp k yta eyt 其中系数其中系数azsk由由y(k)zs(0+)来确定。来确定。 1.1 , 00)0( )(. )( )( )()( )( 00 1 1 1 nky teb dt ted btya dt tyd a dt tyd k m m m n n n n n 注意注意： y(k)zs(0+)与与 y(k)zs(0-)不一定相同。不一定相同。 当方程右侧有冲激函数或者其各阶导数，会有跳变，当方程右侧有冲激

37、函数或者其各阶导数，会有跳变， 应使用冲激函数平衡法。应使用冲激函数平衡法。 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：某例题：某lti系统微分方程为系统微分方程为 ，若激励信号，若激励信号 和起始状态为和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=1,，试分别求出零输入响应、，试分别求出零输入响应、 零状态响应及全响应零状态响应及全响应. t zi aetr 3 )( 通解为： ( )3 ( )2 ( )r tr te t 0)( 3 tetr t zi 0)(3)(trtr zizi 解：由已知得：解：由已知得：e(t)= u(t),r(0-)=1 ，设，设rzi(t)和和rzs(

38、t)分别为分别为 零输入响应和零状态响应。零输入响应和零状态响应。 1）零输入响应）零输入响应rzi(t)，则有，则有rzi (0-)= rzi (0+)= 1,且输入为零，且输入为零， 即方程右侧为零。即方程右侧为零。 把把rzi (0+)=1代入可得：代入可得：a=1 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 (0 )(0 )0 zizi rr -3 a t e齐次解为： 2 3b=2b= 3 () 3 () 2 () zszs r tr tut 2）零状态响应）零状态响应rzs(t)，则有，则有rzs (0-)= 0,且输入为且输入为:e(t)=u(t),因此 通解为：通解为： 设特解

39、为设特解为b： 3 2 ( ) 3 t zs r tae 方程右侧没有冲激函数及其导数，因此有：方程右侧没有冲激函数及其导数，因此有： 3 22 ( )0 33 t r tet 3 22 ( )t0 33 t zi rte 通解为： 因此全响应为因此全响应为 22 (0 )0 33 zs raa 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：某例题：某lti系统微分方程为系统微分方程为 ，若激励信号，若激励信号 和起始状态为和起始状态为:e(t)= (t),r(0-)=1,，试分别求出零输入响应、，试分别求出零输入响应、 零状态响应及全响应零状态响应及全响应. t zi aetr 3 )(

40、 通解为： ( )3 ( )2 ( )r tr te t 0)( 3 tetr t zi 0)(3)(trtr zizi 解：由已知得：解：由已知得：e(t)= (t),r(0-)=1 ，设，设rzi(t)和和rzs(t)分别为分别为 零输入响应和零状态响应。零输入响应和零状态响应。 1）零输入响应）零输入响应rzi(t)，则有，则有rzi (0-)= rzi (0+)= 1,且输入为零，且输入为零， 即方程右侧为零。即方程右侧为零。 把把rzi (0+)=1代入可得：代入可得：a=1 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2)0(2)0()0( zizizi rrr 3 ( ) t z

41、s rtbe 通解为： )()( )()()( tuatr tubtatr zi zi ) t ( ) t (r) t (r zszs 2=3+ 2）零状态响应）零状态响应rzs(t)，则有，则有rzs (0-)= 0,且输入为且输入为:e(t)= (t),因此 代入微分方程可得：代入微分方程可得： 注意：方程右侧含有冲激函数，因此注意：方程右侧含有冲激函数，因此0-到到0+有跳变。有跳变。 03 2 ab a )(2)(3)()(ttuatubta 根据左右两侧冲激函数匹配可得：根据左右两侧冲激函数匹配可得： 03)( 3 tetr t 0t2)( 3 t zi etr通解为： 因此全响应为

42、因此全响应为 由冲激函数匹配法，在由冲激函数匹配法，在t=0时刻可以设：时刻可以设： 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 冲激响应冲激响应:系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 (t)的的激励激励下产生的零状下产生的零状 态响应态响应.记作记作h(t). 阶跃响应阶跃响应:系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号u(t)的的激励激励下产生的零状下产生的零状 态响应态响应.记作记作g(t). h (t)h(t)=h (t) h u(t)g(t)=h u (t) 对于对于lti系统系统,h(t)与与g(t)之间关系之间关系: t dhtg tg dt d th )()( )()( 2.2 冲激

43、响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 对于线性系统对于线性系统,冲激响应冲激响应h(t) 满足方程满足方程 )()()()( )()()()( 1 )1( 1 )( 0 1 1 1 1 tetetete thcth dt d cth dt d cth dt d mm mm nn n n n n 及起始状态及起始状态 ) 1,.,1 , 0(0)0( )( nkh k 2.2.1 冲激响应冲激响应 x 例 解：解： 0)0()0( )(2)()(3)(4)( hh ttththth 求特征根求特征根3, 1034 21 2 通解为：通解为： )()ee()

44、( 3 21 tuaath tt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2)()(3)(4)(tetetrtrtr 由已知可得由已知可得 x 求0+定系数 )()( )()()( )()()()( tuath tubtath tuctbtath 设 )(2 d )(d )(3 d )(d 4 d )(d 2 2 t t t th t th t th tt aath 3 21 ee)( 20,10 hh 代入代入h(t),得得 2 1 2 1 230 10 2 1 21 21 a a aah aah )( 2 1 )( 3 tueeth tt 5 2 1 034 24 1 c b a ab

45、c ab a 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：某例题：某lti系统微分方程为系统微分方程为 ，试求出系，试求出系 统的冲激响应统的冲激响应. 0)( 3 taeth t 齐次通解为： ) () (2) (3) (tetetrtr )()()( )()()()( tubtath tuctbtath 0)0 ( )()(2)(3)( h ttthth 解：由已知可得，则有解：由已知可得，则有 代入微分方程可得：代入微分方程可得： )()(2)()()( 3)()()(ttttubtatuctbta 确定确定h(0+),可用冲激函数平衡法，在可用冲激函数平衡法，在t=0时可设时可设

46、 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：某例题：某lti系统微分方程为系统微分方程为 ，试求出系，试求出系 统的冲激响应统的冲激响应. ) () (2) (3) (tetetrtr 代入微分方程可得：代入微分方程可得： 15 5 2 03 13 2 c b a bc ab a 因此有：因此有： )(2)(5)( 3 ttueth t 5)0(5)0( rr 因此有：因此有：a=-5系统冲激响应为系统冲激响应为 x 总结 冲激响应的求解至关重要冲激响应的求解至关重要。 冲激响应的定义冲激响应的定义 零状态；零状态； 单位冲激信号单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。作用下，系统的

47、响应为冲激响应。 冲激响应说明：冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况在时域，对于不同系统，零状态情况 下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其 系统特性不同，系统特性不同，冲激响应冲激响应可以衡量系统的可以衡量系统的特性特性。 t )(th)(th 用用变换域变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简冲激响应和阶跃响应简 捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。 如果描述系统的微分方程是式如果描述系统的微分方程是式 g(n)(t)+a n-1 g(n-1)(t)+a1g(1)(t)

48、+a0g(t)= bmu(m)(t)+bm-1 u (m-1)(t) +b1u(1)(t)+b0u(t) ， 法一）法一）经典解法经典解法 可可求得其特解求得其特解 特征根特征根i(i=1i(i=1，2 2，n)n)均为单根，则系统的阶跃响应的均为单根，则系统的阶跃响应的 一般形式一般形式(nm)(nm)为为 法二）法二） 0 0 ( ) b u t a 0 1 0 ( )() ( ) i n t i i b g tceu t a 2.2.2 2.2.2 阶跃响应阶跃响应 由于 ( )( ) t u td t dhtg)()( 反之 dt tdg th )( )( 信号与系统 第2章 连续时间

49、系统的时域分析 2.3.12.3.1卷积定义卷积定义 在信号分析与系统分析时，常常需要将在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解信号分解 为基本信号为基本信号的形式。的形式。 2.3 2.3 卷积积分卷积积分 当当0时时 上式变为上式变为 dtf tf tutu ftf )()( )()(lim ()( )(lim)( 0 0 ） 我们定义我们定义 )()()()(ttfdtf )()(ttf 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 d 21 tfftf 卷积定义：卷积定义： 设两个函数设两个函数f1(t)、 f2(t)，则称如下运算为函数，则称如下运算为函数f1(t)与与 f2(t)卷

50、积。卷积。 1. 1.解析计算解析计算 例：已知例：已知f1(t)(t)=e-3t u(t)u(t)，f f2(t)=(t)=e-5t u(t)u(t)，试计算两信号的卷积，试计算两信号的卷积 f f1 1(t)(t)* *f f2 2(t)(t)。 解：解： 2.3.2 卷积积分的计算 dtfftftf )()()()( 2121 dtueue t )()( )(53 00 0 0 )(53 t tdee t t 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 deedee t t t t 0 25 0 )( 53 )( 2 1 ) 1( 2 1 5325tttt eeee )()( 2 1 )

51、()( 53 21 tueetftf tt 2. 2. 图解计算图解计算 d 21 tfftf )(tf)(f(f2. 2 时延 2 倒置 2 ) )()(. 3 21 tff相乘： d)(. )(. 4 21 tff积分： )()()()(, . 1 2211 ftfftf其中积分变量改为 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例：例： 已知已知 分别如下图分别如下图(a)(a)，(b)(b)所示。试用图解法求两信号的卷积所示。试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)y(t)=f(t)* *h(t)h(t)。 t0 01 )(h t0 20 )( 其他 ， 其他 tt t ttt

52、tf 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t dthfthtf )()()()( 0) 1t 0 0 ) 2 tt t 0)()( thtf dthtf t 0 1)()( 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t 0 2 ) 3 tt tt ttt tt 2 2 ) 4 dthtf t tt 1)()( dthtf

53、 t tt 2 1)()( -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t ttt2) 5 0)()(thtf 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 综合各段结果，有：综合各段结果，有： 2 2 23 0(0) 1 (0) 2 1 ( )( )( )(2 ) 2 13 (23 ) 22 0(3 ) t ttt y tf th ttttttt ttttttt tt 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 x(t) 0 t 1 2 h(t) -1/210 t 1 例例 已知信号已知信号x(t)与与h(t)如下图所示，求如下图所示，求)()()(thtxty 解：解： 0 1 -2 )(h

54、-1/2 1 1 tt-2 )(th )(x 0)(ty 1）当 时， 2 1 t )2()( 2 )(tutu t th )2()()( 2 1 )(tututth ( )( ) ()y txh td 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 2）当 时， 1 2 1 t -1/21 1 tt-2 )(x )(th t dtty 2 1 )( 2 1 1)( 2 1 4416 tt -1/21 1 tt-2 )(th)(x 3）当 ，即当 时 2 1 2, 1tt 2 3 1 t 1 2 1 )( 2 1 1)(dtty 16 3 4 3 t 4）当 ，即当 时， 12 2 1 t3 2

55、3 t 1 2 )( 2 1 1)( t dtty -1/2 1 1 tt-2 )(th )(x 4 3 24 2 tt 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 -1/2 1 1 tt-2 )(x )(th 5）当 ，即 时，12 t3t 0)(ty 30 3 2 3 4 3 24 2 3 1 16 3 4 3 1 2 1 16 1 44 2 1 0 )( 2 2 t t tt tt t tt t ty -1/21 3/2 23t 0 )()()(thtxty 16 15 16 9 0 ( )( )()lim()() k f tf ttdf ktk 2.3.3 卷积积分法求解零状态响应卷积

56、积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号时，将任意信号f(t) 都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性时不变系都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性时不变系 统的特性，从而解得系统在任意信号统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状激励下的零状 态响应态响应yf(t)。 系统的零状态响应系统的零状态响应y yf(t (t) )为输入激励为输入激励f(t)f(t)与系与系 统的冲激响应统的冲激响应h(t)h(t)的卷积积分，为的卷积积分，为 ( )( )()( )( ) f ytf t h tdf th t 0 0 ( )( ) ()(

57、) ()()()() ()()()() ( )lim() ()( ) () ( )lim() () kk k f k th t tkh tk f ktkf kh tk f ktkf kh tk f tf ktkf ttd ytf kh tk ( ) ()f t h td 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例：已知某线性时不变系统的冲激响应为例：已知某线性时不变系统的冲激响应为h h (t)(t)= e-5t u(t)u(t)，求，求 当激励为当激励为f(tf(t)= )= e-3t u(tu(t) ) 时系统的响应。时系统的响应。 解：系统的响应为解：系统的响应为 dthfthtf

58、)()()()( dtueue t )()( )(53 00 0 0 )(53 t tdee t t deedee t t t t 0 25 0 )( 53 )( 2 1 ) 1( 2 1 5325tttt eeee )()( 2 1 )()( 53 21 tueetftf tt 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 h2(t) h1(t) x(t)()()()( 21 ththtxty )()( 1 thtx )()( 2 thtx h2(t)h1(t) x(t)()()( )()()()( 21 21 ththtx ththtxty )()( 1 thtx 例：求下列两个串并系统的冲

59、激响应。例：求下列两个串并系统的冲激响应。 )()()( 21 ththth )()()( 21 ththth 并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。 串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 例题：图例题：图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统系统由三个子系统构成，已知各子系统 的冲激响应如图的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应所示。求复合系统的冲激响应 ， 并画出它的波形。并画

60、出它的波形。 th t th1 o1 1 t th2 o1 1 2 t th o1 1 23 (a) (b) 解：解： thththth 211 如图（如图（c）所示）所示 th1 th1 th2 tf ty x(c) 2.3.4 2.3.4卷积积分的性质卷积积分的性质 代数性质代数性质 时移性质时移性质 微分积分性质微分积分性质 信号与系统 第2章 连续时间系统的时域分析 1. 代数性质代数性质 （1）交换律）交换律) () () () ( 1221 tftftftf （2）分配律）分配律 1231213 () ()()()()() ()f t f t f tf t f t f t f t