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1、的所有积分因子关于怎么求解一些特殊方程的积分因子的方法非常的多 , 在 求解的过程中我们会很自然地想到这么一个问题 , 如果一个方程 （不同时恒等于 0,以下都这么假定）有积分因子 , 那么它的积分 因子是不是唯一的？如果不唯一 , 那么积分因子之间有什么联 系？怎么去确定其所有的积分因子？1 一阶微分方程的积分因子及其通解之间的关系定理 1: 若、同为（1）的积分因子 ,且不恒为常数 , 则为微分方程 （1） 的通解。定理 2: 若为的积分因子 , 且为其通解 , 则也是其积分因子。定理 3: 若为的积分因子 ,且不恒为常数 , 则为其积分因子当 且仅当为其通解。以上定理常见的微分方程教科书

2、上都有。2 一阶微分方程所有积分因子的刻画 那么要刻画微分方程的所有积分因子 , 实质上就只需要刻画 出它的所有具有“”形式的通解 , 然而通解是个不确定的概念 , 比如,我们可以说的通解为 , 实质上我们取不到为负值的情况 ,为 了避免这种情况 , 我们从方程的解（解集）的角度来考虑这个问 题。微分方程的解还是方程（甚至为函数） , 从和我们就能看出 同一个方程可能有很多种不同的形式 , 相同的方程需要把它们统 一起来 , 简单的称为等价。定义: 如果, 就称方程与方程等价。容易验证 , 该等价具有自反性 , 对称性 , 传递性。假设为的通解 , 容易验证对任意可微的一元函数 , 也是它的

3、通解。反过来说 , 如果已知及都为的通解 , 是否一定存在一元函数 满足呢？也许这个结论是正确的 , 笔者只能证明在某些特定的条 件下这个结论是正确的。定理 4: 如果的元素都满足微分方程（特别地 , 当的时候就是 我们习惯上说的“通解”） , 则存在一元函数 , 满足, 其中满足。证明: 因为, 所以满足与等价 , 且是唯一的 , 否则, 若、同与等 价则由传递性知与等价 , 所以, 故存在映射。断言单: 若, 则、同与等价 ,同上。断言满 : 。因为故满足与等价 , 即。故, 存在为一一映射 , 满足与等价。断言与等价。显然, 取满足 , 若, 则,所以, 由单有 , 所以。即, 故与 等价, 由等价的传递性 , 有与等价 , 或与等价。即。故。即, 将看成关于、的二元函数 ,显然有 ,其中满足。 证毕。定理 5: 若已知方程的两个不成倍数的积分因子、 , 则其所有 的积分因子都具有的形式。定理 6: 若已知为方程的积分因子 , 为其通解 , 则其所有的积 分因子都具有的形式。3 例子例 1: 微分方程以及为积分因子 , 因而它的所有的积分因子都 具有的形式 , 当然要求有一定的光滑性。例2:一阶线性微分方程只含变量的积分因子为

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