工学大学物理机械波

1、波动是一切微观粒子的属性，波动是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为物质波。 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。 机械振动在介质中的传播称为机械波。机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波声波、水波 5-1 机械波的产生和传播 一、机械波产生的条件 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹 性力，则称为弹性波。 弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹 性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切 弹性力。 1、有作机械振动的物体，即 波源 2、有连续的介质 二、纵波和横波二、纵波和横波 横波横波振动方向与传

2、播方向垂直，如电磁波 纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。 0?t 4/T t? 2/T t? 43 /T t? ? T t? ? 45 /T t? ? ? ? 横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体 中传播。中传播。 纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、 液体、气体中传播。液体、气体中传播。 结论结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。的振动状态和能量。 三、波线和波面 波场-波传播到的空间。 波面-波场中同一时刻振动位相相

3、同的点的轨迹。 波前（波阵面） -某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 波线（波射线） -代表波的传播方向的射线。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直 . 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。 波线 波面 波面 波线 平面波 球面波 波面 波线 波线 波 面 四、简谐波四、简谐波 波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。 任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。 * *五、物体的弹性形变五、物体的弹性形变 弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和 体积发生改变，当

4、外力撤去后，物体的形状和体体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体 积能完全恢复原状的形变。积能完全恢复原状的形变。 (1)(1)长变长变 F ? F ? S ll ? F ? F ? S ll ? 称为应变或胁变 l l? 称为应力或胁强 S F 在弹性限度范围内，应力与应变成正比 l l E S F? ?称为杨氏弹性模量E (2) 切变 F ? F ? S b d? S ? 相对面发生相对滑移 切变的应变或胁变? b d arctan ? ? 切变的应力或胁强? S F 在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比 ?G S F ?称为切变弹性模量G (3) 容变

5、容变 容变的应变容变的应变? V V? V V Bp ? ? pp? p pp? p pp? p pp?p 在弹性限度范围内， 压强的改变与容变应变 的大小成正比的大小成正比 称为容变弹性模量B 六、描述波动的几个物理量 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速。 1、波速 u ? G u? ? 在固体媒质中纵波波速为 ? E u / ? G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 ?为介质的密度 在固体媒质中横波波速为 在同一种固体媒质中， 横波波速比纵波波速小些 ? T u? ? T为弦中张力，?为弦的线密度 在弦中传播的横波波速为: 在液体和气体只能传播纵波，其波

6、速为： ? B u / ? B为介质的容变弹性模量 ?为密度 理想气体纵波声速 : mol M RTp u ? ? ? ? ? 为气体的摩尔热容比， Mmol为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数， ?为气体的密度 3、波长? 2、波的周期和频率 ? ?12 ?T ? ? u uT? 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用?表示。 同一波线上相邻的位相差为 2? 的两质点的距离。 介质决定 波源决定 一、平面简谐波的波动方程 平面简谐波 简谐波的波面是平面。 (可当作一维简谐波研究） 5-2

7、平面简谐波的波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿 x轴正向传播， x轴即为某一波线 设原点振动表达式： tcosAy? 0 x y p u ? O x y表示该处质点偏离平衡位置的 位移 x为p点在x轴的坐标 p点的振动方程： ) u x t(cosAy? t 时刻p处质点的振动状态重复 u x t ? 时刻O处质点的振动状态 x y p u ? O x O点振动状态传到 p点需用 u x t ? ? ? 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 u x ? 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 为p点的振动落后与原点振动的时间 沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程 ) u x t(c

8、osAy? )tcos(Ay 00 ?若波源（原点）振动初位相不为零 ) x T t (cosAy 0 2? ? ? ) x tcosAy 0 2 2? ? ? ? )xut(cosAy 0 2 ? ? ? ?)xut(kcosA 0 ? ) u x t (cosAy 0 ? 或 ? ?2 ?k 波矢，表示在2? 长度内所具有的完整波的 数目。 二、波动方程的物理意义 0 ?) u x t (cosAy 1、如果给定x，即x=x0 y O t T T x0处质点的振动初相为 0 0 2 ? ? ? ? x ? ? 0 2 x 为x0处质点落后于原点的位相 为x0处质点的振动方程 则y=y(t)

9、 ) x tcos(A)t(y 0 0 2 ? ? ? ? 若x0=? 则 x0处质点落后于原点的位相为 2? ?是波在空间上的周期性的标志 2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) ? ? ? ? ? ?22 12 12 xxx ? ? ? 00 ?) u x t(cosAy 表示给定时刻波线上各质 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形 同一波线上任意两点的振动位相差 X Y O u ? x1 x 2 ? ? ? ?2 1212 T t )tt(? 同一质点在相邻两时刻的振动位相差 T是波在时间上的 周期性的标志 3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 0

10、?) u x t (cosA)x( y x y u ? O x tt?t x? 0 ? ? ? ? ?) u tux tt (cosA)tt ,xx( y t时刻的波形方程 t+?t时刻的波形方程 0 ?) u x tt (cosA)x( y t时刻,x处的某个振动状态经过?t ，传播了?x的距离 0 ?) u x t (cosA ) t , x( y) tt , xx( y? 在时间?t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离?x 行波 ) t , x( y) tt , xx( y? x y u ? O x tt?t x? )(cos 0 2 2 2 ? ? ? ? u x tA t y 2

11、 2 2 0 2 2 2 2 1 )(cos t y uu x t u A x y ? ? ? ? ? ? ? 2 2 22 2 1 t y ux y ? ? ? ? ? 三、平面波的波动微分方程 沿x方向传播的平面 波动微分方程 0 ?) u x t (cosAy 求t 的二阶导数 求x的二阶导数 一、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。 有一平面简谐波 0 ?) u x t (cosAy 质量为 在x处取一体积元 dVdVdm? 质点的振动速度 0 ? ? ? ?) u x t(sinA t y v 5-3 波的能量 * *声强 体积元内媒质质点动能

12、为 dmvdE k 2 2 1 ? dV) u x t(sinA 2 1 0 222 ? 体积元内媒质质点的弹性势能为 dV) u x t (sinAdE p 2 1 0 222 ? 体积元内媒质质点的总能量为： pk dEdEdE? dV) u x t (sinA 0 222 ? 1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能 不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同 时等于零。 说明 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。 能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。 0 222 ?) u x t(sinA dV dE w 平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。 22 2 1 ?A

13、 w ? dt) u x t(sinA T wdt T w T T 11 0 22 0 2 0 ? ? ? T 2sin 0 2 ? ? ? ? d dV) u x t (sinAdE 0 222 ? 能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。 二、波的能流和能流密度 Swup? 平均能流：在一个周期内能流的平均值。 SuwSwup? 能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。 uw S p I? ? uAI 22 2 1 ? 2? ? ?米 单位：瓦 u u S? 例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距 离成

14、反比。 分析平面波和球面波的振幅分析平面波和球面波的振幅 证明： 在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等 , 2211 TSITSI? SSS? 21 TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ? 21 AA ?所以,平面波振幅相等。 对平面波： 2 22 4 rS? 2211 rArA? ;4 2 11 rS? 所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位 距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数： 0 ?) u r t(cos r A y TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1

15、 2 2 1 2 1 ? 对球面波： 三、波的吸收 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。 波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为 -dA AdxdA? x eAA ? ? 0 处的波振幅和分别是、xxxAA? ? 0 0 是介质的吸收系数是介质的吸收系数? 波强的衰减规律： x eII ?2 0 ? ? 处波的强度和分别是、xxxII? ? 0 0 *四、声压、声强和声强级 声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。 平面简谐波，声压振幅为 ?uApm? 22 2 2 1 2 1 ? ? uA u p I m ? 声强：

16、声波的能流密度。 频率越高越容易获得较大的声压和声强 Hz 2000020 2122 1010 ? ?mWmW 0 10 I I logI L ?)Bel(单位：贝尔 引起人听觉的声波有频率范围和声强范围 测定声强的标准测定声强的标准 212 0 10 ? ?mWI 声强级声强级 0 10 10 I I logI L ?)dB(单位：分贝 人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定 5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉 一、惠更斯原理 惠更斯原理： 介质中波阵面（波前） 上的各点，都可以看作 为发射子波的波源，其 后一时刻这些子波的包 迹便是新的波阵面。 平面波 t+?t时刻波面 u?t 波传播

17、方向 t时刻波面 球面波 t t + ?t t时刻波面? t+?t时刻波面? 波的传播方向 如你家在大山后 ,听广播和看电 视哪个更容易 ? (若广播台、电 视台都在山前侧 ) *应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律 i i? MNA 1 A 2 A 3 A B 3 B 2 B 1 B 333 ABBBAA? ABBABA 333 ? ii? i ? MNA 1 A 2 A 3 A B 3 B 2 B 1 B ? 1介质 2介质 isinABtuBA 3133 ? 2 1 2 1 nc nc u u sin isin ? ? ?sinABtuAB 32 ?

18、1 2 n n sin isin ? ? 二二、波的叠加波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性 （频率、波长、振动方向、传播方向等）不便， 与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振 动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。 波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理： 说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上 能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不

19、同的声音正是这个原因 两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的 位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点 的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵 消），这种现象称为 波的干涉波的干涉。 相干条件 具有恒定的相位差 振动方向相同 两波源具有相同的频率 满足相干条件的波源称为 相干波源。 三、波的干涉 传播到p点引起的振动分别为： )tcos(Ay 101010 ? )tcos(Ay 202020 ? 在p点的振动为同 方向同频率振动 的合成。 设有两个相干波源 S1和S2 发出的简谐波在空间 p点相遇。 合成振动为： )tcos(Ayyy 021 ? )rtcos(Ay 1101

20、1 2 ? ? ? )rtcos(Ay 22022 2 ? ? ? ?cos2 21 2 2 2 1 2 AAAAA 其中： )rr()( 121020 2 ? ? ? ? 由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为： ?cos2 2121 IIIII? )tcos(Ay 0 ? 对空间不同的位置，都有恒定的?，因而合强 度在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象。 ) r sin(A) r cos(A ) r sin(A) r sin(A tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 202 1 101 2 202 1 101 0 22 22 ? ? ? 其中： ,.,kk r

21、r 3210 22 12 1020 ? ? ? ? ?）（ 21max AAAA? 2121max 2IIIIII? ,.,k)k()rr()(321012 2 121020 ? ? ? ? | 21min AAAA? 2121min 2IIIIII? 相长干涉的条件： 相消干涉的条件： ?cos2 21 2 2 2 1 2 AAAAA?cos2 2121 IIIII? 当两相干波源为同相波源 时，相干条件写为 ,.3 , 2 , 1 , 0, 12 ?kkrr? ,.3 , 2 , 1 , 0, 2 ) 12( 12 ?kkrr ? ? 相长干涉 相消干涉 ? 称为波程差 波的非相干叠加 2

22、1 III? 例题例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频 率都是率都是100赫兹，相位差为 ? ?，其，其A、B相距30米， 波速为波速为400米米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而 静止的各点的位置。 解：如图所示，取解：如图所示，取 A点为坐标原点， A、B联线为X轴， 取取A点的振动方程点的振动方程 : )cos(?tAyA 在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程： ) 2 cos( ? ? ? x tAyA? B点的振动方程 : ) 0cos(?tAy B ? B A X x m30 x?30 O ) 2 cos( ? ? ? x tAy

23、 A ? B点的振动方程 : )0cos(?tAy B ? 在X轴上B点发出的行波方程： )30(2 0 cos ? ? ? x tAyB ? ? 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干 为静止的点满足： ? ? ? ? ? ?)( )( 12 3022 ? ? ?k xx ,.2, 1, 0?k B A X x m30 x?30 O 相干相消的点需满足： ?k x? ?230 m u 4? ? ? 因为： ,.2, 1, 0 215 ? ? k kx mx29,27,25,.9 ,7 , 5 , 3 , 1? ? ? ? ? ? ?)12( )30(22 ? ? ?k xx ,.2,

24、1, 0?k B A X x m30 x?30 O 5-5 驻波 一、驻波方程 ) x tcos(Ay ? ? ? 2 1 ? ) x tcos(Ay ? ? ? 2 2 ? tcos x cosAyyy? ? ?22 21 ? tcos)x(Ay? ? ? x AxA2cos2)(? 驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反 的简谐波的叠加。 )x, t ( y)tux, tt ( y?函数不满足函数不满足 它不是行波 它表示各点都在作它表示各点都在作 简谐振动，各点振动的频，各点振动的频 率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的 不同而不同。不同

25、而不同。 驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质 点都作稳定的振动。点都作稳定的振动。 tcos)x(Ay? ? 12cos? ? ? x ? ? x AxA2cos2)(? 振幅最大，波腹AxA2)(? ? ? ?k x ?2 ? , ,kkx210 2 ? ? 02cos? ? ? x 振幅最小，波节0)(?xA ? ? ?)k( x 2 1 2? ? , ,k)k(x210 22 1 ? ? 1、波腹与波节 驻波振幅分布特点 二、驻波的特点 相邻波腹间的距离为： 22 1 ? ? ? ?k |kx 相邻波节间的距离为： 2? ?x 相邻波腹与波节间的距离为： 4? 因此可用测量波腹间

26、的距离，来确定波长。 ? , ,kkx210 2 ? ? 波腹 ? , ,k)k(x210 22 1 ? ? 波节 txAy? ? ? cos 2 cos2? 2、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的， 而空间变化带来的相位是不同的。 在波节两侧点的振动相位相反 。同时达到反向最大或 同时达到反向最小。速度方向相反。 两个波节之间的点其振动相位相同 。同时达到最大或 同时达到最小。速度方向相同。 *3、驻波能量 驻波振动中无位相传播，也无能量的传播 一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。 当波从波疏媒质垂直入射到 波

27、密媒质界面上反射时，有 半波损失，形成的驻波在界，形成的驻波在界 面处是波节。面处是波节。 三、半波损失三、半波损失 入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。 折射率较大的媒质称为折射率较大的媒质称为 波密媒质； 折射率较小的媒质称为 波疏媒质. 有半波损失有半波损失 无半波损失无半波损失 当波从波密媒质垂直入射到波 疏媒质界面上反射时，界面上反射时，无半波 损失损失，界面处出现波腹。 ? ? T u,.,n, l u n?321 2 ,.,n, n lu 321 2 ? ? ? ,.,n,nl321 2 ? ? 在绳长为l 的绳上形成驻波的波长必须

28、满足下列条件： *四、简正模式（或本征振动） 即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些 频率称为弦振动的 本征频率，对应的振动方式称为该 系统的简正模式（Normal mode). 对应k=2,3,的频率为谐频，产生的音称为谐音(泛音)。 最低的频率(k=1)称为基频，产生的一个音称为基音； 两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该 点为波节的那些模式（对应于 k 次，2 k 次.谐 频)就不出现，使演奏的音色更优美。 当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有 频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频 率振动的振幅最大。可用 共振法测量空气中声速。 系统究竟按那种模式振动，取决

29、于初始条件。 一般是各种简正模式的叠加。 5-6 多普勒效应 *冲击波 一、多普勒效应 观察者接受到的频率有赖于 波源或观察者 运动的现象，称为 多普勒效应。 vS 表示波源相对于介质的运动速度。 vB表示观察者相对于介质的运动速度。 ?S波源的频率 u波在介质中的速度 ?B 观察者接受到的频率 选介质为参考系 波源和观察者的运动在两者的连线上 规定规定 “趋近为正，背离为负” 的符号为、 SB vv 的符号为波速u “恒为正” 若观察者以速度v B远离波源运动，观察者接受到 的频率为波源频率的 倍。 ) u vB ?1（ 若观察者以速度v B迎着波运动时，观察者接受到 的频率为波源频率的 倍

30、。 ) u vB ?1（ 00? BS v,v 1、波源不动，观察者以速度vB 相对于介质运动 频率升高 频率降低 ? ? ? u vu u vu uT vuu BBB B ? ? ? ? ? ? ? ? 2、观察者不动，波源以速度v S 相对于介质运动 ? ? ? SSS vu u TvuT u Tv uu ? ? ? ? ? ? ? ? 若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率 为波源频率的 倍。 s vu u ? 若波源远离观察者运时v s0，观察者接受到的频 率小于波源的振动频率。 频率升高 频率降低 00? BS v,v 3、波源和观察者同时相对于介质运动 ? ? ? S B vu

31、 vuu ? ? ? ? ? ? 波源和观察者接近时， ? 波源和观察者背离时， ? 00? BS v,v 相对于观察者，波速 B vuu? 相对于观察者，波长 TvS ? 电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应 光源和观察者在同一直线上运动 ? 2 1) c v (? 横横 ? cv cv ? ? ? 1 1 远离 横向多普勒效应 ? cv cv ? ? ? 1 1 接 近 红移 *二、冲击波二、冲击波 波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，波源的运动速度大于波在介质中的传播速度， 波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。 ? uT S v S TvS 1 S P 冲击波的包络面成圆锥状，冲击波的包络面成圆锥状， 称作称作马赫堆马赫堆。 S v u sin?马赫角 S v u M ? 马赫数 若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能 听见声音。听见声音。 *5-7 色散 波包 群速度 一、色散 凡波速与频率有关的现象均称为 色散。 色散介质 非色散介质 二、波包 不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随 质元位置时大时小变化，显