概率论与数理统计 第八章假设检验

1、第第8章章 假假 设设 检检 验验 8.1 假设检验的思想方法和基本概念假设检验的思想方法和基本概念 8.2 正态总体的参数检验正态总体的参数检验 8.3 总体分布的假设检验总体分布的假设检验 第第8章章 假假 设设 检检 验验 参数常用在人们对总体参数的真值一无所知时参数常用在人们对总体参数的真值一无所知时 在实际应用中，对总体参数的真值预先有所了解，在实际应用中，对总体参数的真值预先有所了解， 或根据经验对总体参数的真值提出了假设，常用假设或根据经验对总体参数的真值提出了假设，常用假设 检验方法解决的问题检验方法解决的问题 假设检验是另一大类统计推断问题，假设检验是另一大类统计推断问题，

2、具体方法是先假设总体具有某种特征具体方法是先假设总体具有某种特征,然后再通过然后再通过 对样本数据的加工，推断出假设的结论是否合理对样本数据的加工，推断出假设的结论是否合理 对样本数据的加工就是构造统计量对样本数据的加工就是构造统计量,并计算统计量并计算统计量 的观测值的观测值. 假设检验方法所依据的一个重要原理假设检验方法所依据的一个重要原理: “小概率原理小概率原理”，或叫做，或叫做“实际推断原理实际推断原理”， 即即“小概率事件在一次试验中几乎是不会发生小概率事件在一次试验中几乎是不会发生 的的” 第第8章章 假假 设设 检检 验验 8.1 假设检验的思想方法和基本概念假设检验的思想方法

3、和基本概念 8.1.1 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 先看一个简单的问题先看一个简单的问题 【例【例8.1】某厂家向一家百货商店长期供应某种货物，某厂家向一家百货商店长期供应某种货物， 双方根据厂家的传统生产水平，定出质量标准，即若双方根据厂家的传统生产水平，定出质量标准，即若 次品率超过次品率超过3%，则百货商店拒收该批货物，则百货商店拒收该批货物. 今有一批今有一批 货物，随机抽货物，随机抽50件检验，发现有次品件检验，发现有次品4件，问应如何件，问应如何 处理这批货物？处理这批货物？ 如果双方商定用点估计方法作为验收方法，显然如果双方商定用点估计方法作为验收方法，显然

4、 4/50 3%，这批货物是要被拒收的，这批货物是要被拒收的 但是厂家可能反对用这种方法验收但是厂家可能反对用这种方法验收 第第8章章 假假 设设 检检 验验 厂家认为，由于抽样是随机的，在这次抽样中，次品的频厂家认为，由于抽样是随机的，在这次抽样中，次品的频 率超过率超过3%，不等于说这批产品的次品率，不等于说这批产品的次品率p（概率）真的超（概率）真的超 过了过了3% 就如同说掷一枚硬币，正反两就如同说掷一枚硬币，正反两 面出现的概率各为面出现的概率各为1/2，但若掷两，但若掷两 次硬币，不见得正、反面正好各次硬币，不见得正、反面正好各 出现一次一样出现一次一样 8.1.1 8.1.1 假

5、设检验的思想方法假设检验的思想方法 如果百货商店也希望在维护自己利益的前提下，不如果百货商店也希望在维护自己利益的前提下，不 轻易地失去一个货源，也会同意采用别的更合理的轻易地失去一个货源，也会同意采用别的更合理的 方法方法 具体来说就是先假设次品率具体来说就是先假设次品率p 3%，然后根据抽样，然后根据抽样 的结果来说明的结果来说明p 3%这一假设是否合理这一假设是否合理 对于这类问题，通常就是采用假设检验的方法对于这类问题，通常就是采用假设检验的方法 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 假设假设p 3%，用，用X表示随机抽取表示随机抽取n件产品中的次品数件产品中的次品数. 则

6、则 XB(n，p) 随机抽随机抽50件检验件检验, 发现有次品发现有次品4件的概率应不超过件的概率应不超过 这说明，这说明，“随机抽随机抽50件检验，发现有次品件检验，发现有次品4件件”是是 一个小概率事件，一个小概率事件， 根据根据“小概率原理小概率原理”，在一次试验中它是不应该，在一次试验中它是不应该 发生的，而现在它却发生了发生的，而现在它却发生了! 原因是原因是p 3%的假设出了问题，应该否定（或拒的假设出了问题，应该否定（或拒 绝）绝）p 3%的假设即有理由认为这批货物的次品率的假设即有理由认为这批货物的次品率 超过超过3%，百货商店可以拒收该批货物，百货商店可以拒收该批货物 046

7、. 0)03. 01(03. 0 4644 50 C 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 根据上例可以看到假设检验的思想方法是：根据上例可以看到假设检验的思想方法是： (1) 提出假设；提出假设； (2) 在假设成立的条件下构造一个小概率事件；在假设成立的条件下构造一个小概率事件； (3) 由样本数据判断小概率事件是否发生了，如果小由样本数据判断小概率事件是否发生了，如果小 概率事件发生了，根据概率事件发生了，根据“小概率原理小概率原理”，作出否定原，作出否定原 假设的推断假设的推断 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 再考察下面的例子再考察下面的例子 【例【例8.

8、2】一台包装机包装洗衣粉，额定标准重量为一台包装机包装洗衣粉，额定标准重量为500， 根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态N( ， 2)， 其中其中 = 15g通常不会变化通常不会变化 为检验包装机工作是否正常，随机抽取为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣袋，称得洗衣 粉净重数据如下（单位：粉净重数据如下（单位：g）：）： 497 506 518 524 488 517 510 515 516 问这台包装机工作是否正常？问这台包装机工作是否正常？ 通过分析知道通过分析知道: 要检验包装机工作是否正常，就是要检验总体均值要检验包装机工作

9、是否正常，就是要检验总体均值 = 500是否成立是否成立 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 具体思路是具体思路是: 首先提出两个对立的假设：首先提出两个对立的假设： H0： = 500 H1： 500 然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设的正然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设的正 确与否作出推断确与否作出推断 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 下面就类似上面问题给出一般方法、步骤和有关概念下面就类似上面问题给出一般方法、步骤和有关概念: 设设XN( , 2), 2已知已知, X1, X2, , Xn为来自为来自X的样的样 本，本，x1, x2, ,

10、 xn为样本观测值为样本观测值 第一步：首先提出两个对立的假设第一步：首先提出两个对立的假设 H0： = 0 H1： 0 然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设作然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设作 出判断，否定出判断，否定(拒绝拒绝)两个假设中的一个，就意味着对两个假设中的一个，就意味着对 另一个的认可另一个的认可(接受接受) 称称H0为原假设为原假设(零假设零假设), H1为备选假设为备选假设(备择假设备择假设) 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 第二步第二步:在原假设成立的情况下，构造一个小概率在原假设成立的情况下，构造一个小概率 事件事件. 多小的概率才算小

11、概率呢？多小的概率才算小概率呢？ 没有一个绝对的标准，只能相对而言，或根据具体没有一个绝对的标准，只能相对而言，或根据具体 问题确定问题确定 一般用一般用 （0 0 或者或者 左边检验：左边检验：H0: 0 H1: 0 由于由于XN( , 2) ，所以，所以 对于给定的小概率对于给定的小概率 , 由图由图8-2易知易知 当原假设成立时，由于当原假设成立时，由于 ， 所以所以 即即 是小概率事件是小概率事件 )1 , 0( / N n X Z z n X P / n X n X / 0 z n X P / 0 z n X / 0 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 由于当原假设成立

12、时，由于当原假设成立时， 是小概率事件是小概率事件, 因此，选择因此，选择 做检验统计量做检验统计量, 得到得到H0的拒绝域为：的拒绝域为： 由于拒绝域在数轴的右端由于拒绝域在数轴的右端, 故称此检验为故称此检验为右边检验右边检验. z n X / 0 n X Z / 0 z n x z / 0 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 (2) 左边检验左边检验：H0: 0 H1: 500 由于由于H0拒绝域为拒绝域为 即即z 1.645，而检验统计量的观测值，而检验统计量的观测值z = 2.02落入了拒落入了拒 绝域，因此，在绝域，因此，在 = 0.05的显著水平下，应拒绝的显著水平

13、下，应拒绝H0， 可以认为袋装洗衣粉的平均重量是大于可以认为袋装洗衣粉的平均重量是大于500. 05. 0 0 / z n x z 8.1.1 假设检验的思想方法假设检验的思想方法 8.1.2 8.1.2 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 假设检验依据假设检验依据“小概率原理小概率原理”决定是接受决定是接受H0或拒绝或拒绝 H0 “小概率原理小概率原理” 只是在概率意义下成立，不能说小只是在概率意义下成立，不能说小 概率事件在一次试验中绝对不可能发生概率事件在一次试验中绝对不可能发生 因此，假设检验问题可能会犯如下两类错误：因此，假设检验问题可能会犯如下两类错误： 第一类错误第一类错误(“

14、弃真弃真”):实际情况是实际情况是H0成立，而检验成立，而检验 的结果表明的结果表明H0不成立，拒绝了不成立，拒绝了H0. 第二类错误第二类错误(“存伪存伪”):实际情况是实际情况是H0不成立，不成立，H1成成 立，而检验的结果表明立，而检验的结果表明H0成立，接受了成立，接受了H0. 下面我们来研究一下犯这两类错误的概率下面我们来研究一下犯这两类错误的概率 犯第一类错误的概率：犯第一类错误的概率： P弃真弃真 = P拒绝了拒绝了H0 | H0为真为真 = P检验统计量落入拒绝域检验统计量落入拒绝域 | H0为真为真 犯第二类错误的概率：犯第二类错误的概率： P存伪存伪 = P接受了接受了H0

15、 | H0为假为假 = P检验统计量未落入拒绝域检验统计量未落入拒绝域 | H0为假为假 = 所以，假设检验时拒绝原假设具有实际意义，其所以，假设检验时拒绝原假设具有实际意义，其 结果应受到充分的重视；不能拒绝原假设时，必须根结果应受到充分的重视；不能拒绝原假设时，必须根 据其他信息才能作出较为准确的判断据其他信息才能作出较为准确的判断 8.1.2 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 自己先取定自己先取定的的, ,可以可以控制控制! 不容易计算，不能控制不容易计算，不能控制! 进行一个检验，最理想的当然是犯两类错误的概进行一个检验，最理想的当然是犯两类错误的概 率都尽可能的小率都尽可能的小.

16、 但是一般来说，在样本容量但是一般来说，在样本容量n一定的情况下，要一定的情况下，要 使两者都达到最小是不可能的使两者都达到最小是不可能的. 减少犯某一类错误的概率，往往导致犯另一类错减少犯某一类错误的概率，往往导致犯另一类错 误的概率增大误的概率增大 要想使犯两类错误的概率都减小，只有靠要想使犯两类错误的概率都减小，只有靠增加样增加样 本容量本容量才能做到才能做到 8.1.2 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 实际应用中，常将以往的经验性结论作为原假设，实际应用中，常将以往的经验性结论作为原假设， 与其相反的结论作为备选假设与其相反的结论作为备选假设 这样，原假设不会被轻易拒绝，一旦结果

17、为拒绝这样，原假设不会被轻易拒绝，一旦结果为拒绝 原假设，其结果也是可以信赖的，而且我们还知道此原假设，其结果也是可以信赖的，而且我们还知道此 时犯第一类错误的概率不超过时犯第一类错误的概率不超过 ； 如果结果为不能拒绝原假设，考虑到原假设为以如果结果为不能拒绝原假设，考虑到原假设为以 往的经验，做出接受原假设的推断也是比较合理的往的经验，做出接受原假设的推断也是比较合理的 8.1.2 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 8.2 正态总体的参数检验正态总体的参数检验 正态总体正态总体N( , 2)有两个重要参数均值有两个重要参数均值 和方差和方差 2， 在实际应用中常会用到单正态总体均值与方

18、差的在实际应用中常会用到单正态总体均值与方差的 检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题. 第第8章章 假假 设设 检检 验验 8.2.1 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 1. 单正态总体均值的检验单正态总体均值的检验 设设XN( , 2), X1, X2, , Xn为来自为来自X的样本的样本, x1, x2, , xn为样本观测值为样本观测值, 对均值对均值 的检验一般有下面三种形式的检验一般有下面三种形式 (1) 双边检验双边检验 H0: = 0 H1: 0 (2) 右边检验右边检验 H0: 0 H1: 0 (3

19、) 左边检验左边检验 H0: 0 H1: 285 此为右边检验此为右边检验 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 解：解：按题意已知方差按题意已知方差 2 = 16，需检验，需检验 H0: 285 H1: 285 此为右边检验此为右边检验 由于方差已知，应选用由于方差已知，应选用Z检验检验 在显著水平在显著水平 = 0.05下，下，H0的拒绝域为：的拒绝域为： 其中其中 0 = 285 由样本观测值计算得由样本观测值计算得 落入拒绝域中，落入拒绝域中， 故在故在0.05的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝H0,认为折断力显著变大认为折断力显著变大. 645. 1 /

20、 05. 0 0 zzzz n x z n i i x n x 1 6 .287 1 645. 105. 2 104 2856 .287 / 0 n x z 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 【实验【实验8.1】在在Excel中做例中做例8.3中的均值检验中的均值检验 实验准备：实验准备： (1) 函数函数NORMSINV的使用格式：的使用格式： NORMSINV(probability) 功能：返回标准正态分布的分布函数的反函数功能：返回标准正态分布的分布函数的反函数 值其中值其中probabi

21、lity为标准正态分布的概率值为标准正态分布的概率值 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 (2) 函数函数IF的使用格式：的使用格式： IF(logical_test, value_if_true, value_if_false) 功能：执行真假值判断，根据逻辑计算的真假值，功能：执行真假值判断，根据逻辑计算的真假值， 返回不同结果其中返回不同结果其中logical_test表示条件表达表示条件表达 式式value_if_true为当为当logical_test为为TRUE时返回的时返回的 值值value_if_false为当为当logical_test为为FAL

22、SE时返回的时返回的 值值 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 实验步骤实验步骤： (1) 输入数据及项目名，如下图所示输入数据及项目名，如下图所示 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 (2) 在单元格在单元格D1中输入中输入 0：285 (3) 在单元格在单元格D2中输入标准差中输入标准差 ：4 (4) 在单元格在单元格D3中输入公式计算观测数中输入公式计算观测数n： =COUNT(A2:A11) (5) 在单元格在单元格D4中输入公式计算样本均值中输入公式计算样本均值 ： =AVERAGE(A2:A11) (6) 在单元格在单元格

23、D5中输入显著水平中输入显著水平 ：0.05 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 x (7) 计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值 ，在单元格，在单元格 D6中输入公式：中输入公式：= (D4-D1)/(D2/SQRT(D3) (8) 计算临界点计算临界点z ，在单元格，在单元格D7中输入公式：中输入公式： = - NORMSINV(D5) 9) 判断，在单元格判断，在单元格D8中输入公式：中输入公式： =IF(D6=D7,拒绝拒绝H0,不能拒绝不能拒绝H0) 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 n x z / 0 结果：由于

24、结果：由于z = 2.05548 z0.05 = 1.64485，落入拒，落入拒 绝域中，如下图所示故在绝域中，如下图所示故在0.05的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝 H0，认为折断力显著变大，认为折断力显著变大. 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 【例【例8.4】某元件使用寿命不得低于某元件使用寿命不得低于1000(小时小时)，现，现 从一批元件中随机抽取从一批元件中随机抽取25件，测得其寿命样本均值件，测得其寿命样本均值 为为950，样本标准差为，样本标准差为100已知该种元件的寿命服已知该种元件的寿命服 从正态分布，试问在从正态分布，试问在0.05的显

25、著水平下是否可以认的显著水平下是否可以认 为这批元件合格为这批元件合格? 解：解：按题意需检验按题意需检验 H0: 1000 H1: 1000 由于方差未知由于方差未知, 选用选用t 检验检验, 在显著水平在显著水平 = 0.05下下H0的拒绝域为的拒绝域为 左边检验左边检验 711. 1)125()1( / 05. 0 0 tttnt ns x t 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 解：解：按题意需检验按题意需检验 H0: 1000 H1: 1000 由于方差未知由于方差未知, 选用选用t 检验检验, 在显著水平在显著水平 = 0.05下下 H0的拒绝域为的拒

26、绝域为 现由现由n=25, , s = 100, 得得 可知可知t 落入拒绝域中，落入拒绝域中， 故在故在0.05的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝H0,认为这批元件不合认为这批元件不合 格格 711. 1)125()1( / 05. 0 0 tttnt ns x t 950 x 711. 15 . 2 / 0 ns x t 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 【例【例8.5】某地区某地区100个登记死亡人的样本中，其平均个登记死亡人的样本中，其平均 寿命为寿命为71.8年，标准差为年，标准差为8.9，试问这是否暗示现在，试问这是否暗示现在 这个地区人的平均寿命

27、不低于这个地区人的平均寿命不低于70岁（岁（ = 0.05）？）？ 解：解：按题意需检验按题意需检验 H0: 70 H1: 5000 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 解：解：原假设和备择假设原假设和备择假设: H0: 2 5000, H1: 25000 取检验统计量取检验统计量 ，在显著水平，在显著水平 = 0.01下下 H0的拒绝域为：的拒绝域为： 即即 查表得查表得 在例在例8-6中已计算出中已计算出 落入了落入了H0的拒绝域，应拒绝的拒绝域，应拒绝H0， 即可以认为这批电池寿命的波动性较比以往变大了即可以认为这批电池寿命的波动性较比以往变大了 2 0 2

28、 2 )1( Sn )1( 22 n )25( 2 01. 0 2 314.44)25( 2 01. 0 314.4445 )1( 2 0 2 2 sn 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 【实验【实验8.2】在在Excel中做例中做例8.6、例、例8.7中的方差检验中的方差检验 实验准备：实验准备： (1) 函数函数CHIINV的使用格式：的使用格式： CHIINV(probability, degrees_freedom) 功能：返回功能：返回 2分布的上分布的上 分位点分位点 其中其中 =probability为为 2分布的单尾概率，分布的单尾概率， Deg

29、rees_freedom为自由度为自由度 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 (2) 函数函数IF的使用格式：的使用格式： IF(logical_test, value_if_true, value_if_false) 功能：执行真假值判断，根据逻辑计算的真假值，功能：执行真假值判断，根据逻辑计算的真假值， 返回不同结果其中返回不同结果其中logical_test表示条件表达表示条件表达 式式value_if_true为当为当logical_test为为TRUE时返回的时返回的 值值value_if_false为当为当logical_test为为FALSE时返回的

30、时返回的 值值 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 实验步骤实验步骤： (1) 输入项目名，如图所示输入项目名，如图所示 (2) 在单元格在单元格C1中输入中输入 02：5000 (3) 在单元格在单元格C2中输入样本方差中输入样本方差s2：9000 (4) 在单元格在单元格C3中输入观测数中输入观测数n：26 (5) 在单元格在单元格C4中输入显著水平中输入显著水平 ：0.05 (6) 计算检验统计量计算检验统计量 ，在单元格，在单元格C5中输入中输入 公式：公式：=(C3-1)*C2/C1 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 2

31、0 2 2 )1( sn 实验步骤实验步骤： (7) 计算临界点计算临界点 21- /2(n1),在单元格在单元格C6中输入公式：中输入公式： =CHIINV(1-C4/2,C3-1) (8) 计算临界点计算临界点 2 /2(n1),在单元格在单元格C7中输入公式：中输入公式： =CHIINV(C4/2,C3-1) (9) 判断，在单元格判断，在单元格C8中输入公式：中输入公式： =IF(OR(C5=C7),拒绝拒绝H0,不能拒绝不能拒绝H0) 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 结果：由于结果：由于 2 = 45 2 0.025(25) = 40.6464692

32、，落，落 入拒绝域中，如下图所示故在入拒绝域中，如下图所示故在0.05的显著水平下应的显著水平下应 拒绝拒绝H0，电池寿命的波动性较以往有显著变化，电池寿命的波动性较以往有显著变化 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 实验步骤实验步骤： 考虑例考虑例8.7，做单边检验：，做单边检验： (10) 在单元格在单元格C4中修改显著水平中修改显著水平 ：0.01 (11) 修改临界点修改临界点 2 (n1),在单元格在单元格C7中输入公式：中输入公式： = CHIINV(C4,C3-1) (12) 修改单元格修改单元格C8公式公式: =IF(C4=C7, 拒绝拒绝H0,

33、不能拒绝不能拒绝H0) 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 结果如下图所示：结果如下图所示： 2= 45 20.01(25) = 44.3141049 故在故在0.01的显著水平下拒绝的显著水平下拒绝H0，电池寿命的波动性比，电池寿命的波动性比 以往变大了以往变大了 8.2.1 单正态总体均值与方差的检验单正态总体均值与方差的检验 8.2 正态总体的参数检验正态总体的参数检验 8.2.2 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 1. 两独立正态总体均值的比较两独立正态总体均值的比较 设设 为来自总体为来自总体XN( 1, 12)的样本的样

34、本 为来自总体为来自总体YN( 2, 22)的样本的样本, 且两样本且两样本 相互独立，其样本均值分别记为相互独立，其样本均值分别记为 和和 ，其样本方差，其样本方差 分别记为分别记为S12和和S22 两总体均值的比较有下面三种形式：两总体均值的比较有下面三种形式： (1) 双边检验：双边检验： H0: 1 = 2 H1: 1 2 (2) 右边检验：右边检验： H0: 1 2 H1: 1 2 (3) 左边检验：左边检验： H0: 1 2 H1: 1 2 选检验统计量选检验统计量 , 在显著水平在显著水平 = 0.05下下 H0的拒绝域为：的拒绝域为：t t0.05(20) = t 1.725

35、在例在例8.8中已计算出中已计算出t =2.158，可见，可见t落入了落入了H0的拒绝域的拒绝域 中，故在中，故在0.05的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝H0, 可以认为第一种可以认为第一种 方法组装一件产品所需平均时间比第二种方法长方法组装一件产品所需平均时间比第二种方法长 21 11 nn S YX T w 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 在显著水平在显著水平 =0.01下下, H0的拒绝域为的拒绝域为 t t0.01(20) =t 2.528. 由于由于t =2.158D8,拒绝拒绝H0,不能拒绝不能拒绝H0) 结果：由于结果：由于| t | = 2

36、.157645 t 0.025(20) = 2.085963，落，落 入拒绝域中，如下图所示故在入拒绝域中，如下图所示故在0.05的显著水平下应的显著水平下应 拒绝拒绝H0，可以认为两种方法组装一件产品所需平均时，可以认为两种方法组装一件产品所需平均时 间有显著差异间有显著差异 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 考虑例考虑例8.10： (10) 修改临界点修改临界点t (n1 + n2 2)，在单元格，在单元格D8中输入中输入 公式：公式：=TINV(D6*2,D2+E2-2) t = 2.157645 t 0.05(20) = 1.724718 故在故在0.0

37、5的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝H0.如下图所示：如下图所示： 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (11) 在单元格在单元格D6中修改显著水平中修改显著水平 ：0.01，得计算，得计算 结果结果,如下图所示：如下图所示： t = 2.157645 t 0.01(20) = 2.527977 故在故在0.01的显著水平下不能拒绝的显著水平下不能拒绝H0 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 【实验【实验8.3】在在Excel中做例中做例8.8、例、例8.9中两个独立正态中两个独立正态 总体均值的比较总体均值的比较 实验方法实验方法

38、2( (调用调用ExcelExcel的数据分析功能的数据分析功能) ) (1) 输入数据与图输入数据与图8.9(a)相仿相仿 (2) 在在Excel主菜单中选择主菜单中选择“工具工具”“数据分析数据分析”， 打开打开“数据分析数据分析”对话框，在对话框，在“分析工具分析工具”列表中选列表中选 择择“t-检验：双样本等方差假设检验：双样本等方差假设”选项，单击选项，单击“确定确定” 按钮按钮 (3) 在打开的在打开的“t-检验：双样本等方差假设检验：双样本等方差假设”对话框对话框 中，依次输入中，依次输入“变量变量1的区域的区域”、“变量变量2的区域的区域”和和 “输出区域输出区域”，选中，选中

39、“标志标志”复选框、复选框、“假设平均差假设平均差” 取取0，如图，如图8.11所示，单击所示，单击“确定确定”按钮按钮 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 得到检验结果如图得到检验结果如图8.12所示所示 图图8-11 图图8-12 图中显示，图中显示，t检验的双尾临界值为检验的双尾临界值为2.085963，即双边，即双边 检验的拒绝域为，检验的拒绝域为，t检验的单尾临界值为检验的单尾临界值为1.724718，即，即 右边检验的拒绝域为，而右边检验的拒绝域为，而t的观测值为的观测值为2.157645，可见，可见， 在显著水平在显著水平 = 0.05下，双边检验和

40、右边检验的原假设下，双边检验和右边检验的原假设 均应被拒绝。均应被拒绝。 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 重复步骤重复步骤2）和）和3），并将图），并将图8.11中中 的值改为的值改为0.01，可，可 以得到在显著水平以得到在显著水平 = 0.01下的检验结果（略）下的检验结果（略）. 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 2. 两独立正态总体方差的比较两独立正态总体方差的比较 设设 为来自总体为来自总体XN( 1， 12)的样本的样本 来自总体来自总体YN( 2， 22)的样本的样本, 且两样本相互独立，其样本均值分别记为且两样本

41、相互独立，其样本均值分别记为 和和 ，其，其 样本方差分别记为样本方差分别记为S12和和S22 两总体方差的比法较有下面三种形式：两总体方差的比法较有下面三种形式： (1) 双边检验：双边检验： (2) 右边检验：右边检验： (3) 左边检验：左边检验： 1 , 21n XXX 2 , 21n YYY XY 2 2 2 10 : H 2 2 2 11: H 2 2 2 10 : H 2 2 2 11: H 2 2 2 10 : H 2 2 2 11: H 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 下面分两种情况给出的拒绝域：下面分两种情况给出的拒绝域： (1) 1， 2

42、已知的情况已知的情况 由于由于 所以所以 )( )( 1 2 2 1 1 2 1 1 n X n i i )( )( 2 2 2 2 1 2 2 2 n Y n i i ),( )()( 21 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 21 nnF n Y n X n i i n i i 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 当原假设当原假设H0中的中的“=”成立时成立时 选取检验统计量选取检验统计量 F的观测值仍记为的观测值仍记为 ),( )( )( 21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 nnF nY nX n i i n i i 2 1 2 2 1

43、 1 2 1 2 1 )( )( nY nX F n i i n i i 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 )( )( ny nx F n i i n i i 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 不难得到不难得到 在显著水平在显著水平 下，上面三种下，上面三种F检验的拒绝域分别为：检验的拒绝域分别为： ),(),( 2122121 nnFFnnFF ),( 21 nnFF ),( 211 nnFF 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (2) 1， 2未知的情况未知的情况 由定理由定理6.4知知 当原假设中的当原假设中的“=”成立

44、时，成立时， 选取检验统计量，选取检验统计量， 不难得到，在显著水平不难得到，在显著水平 下，上面三种下，上面三种F检验的拒绝分检验的拒绝分 别为：别为： 两正态总体均值的比较与方差的比较方法汇总于表两正态总体均值的比较与方差的比较方法汇总于表8.2 中中 )1, 1( / / 21 2 2 2 2 2 1 2 1 nnF S S )1, 1(/ 21 2 2 2 1 nnFSS )1, 1()1, 1( 2122121 nnFFnnFF )1, 1( 21 nnFF )1, 1( 211 nnFF 2 2 2 1 / SSF 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较

45、【例【例8.10】为比较不同季节出生的女婴体重的方差，为比较不同季节出生的女婴体重的方差， 从某年从某年12月和月和6月出生的女婴中分别随机地各取月出生的女婴中分别随机地各取10名，名， 测得体重测得体重(单位单位:g)如下所示：如下所示： 设冬、夏季女婴的体重分别服从正态分布设冬、夏季女婴的体重分别服从正态分布 , 试在显著水平试在显著水平 =0.05下检验冬、夏季节出下检验冬、夏季节出 生的女婴体重的方差是否有显著差异、哪个更大一生的女婴体重的方差是否有显著差异、哪个更大一 些？些？ 12月月3520220325602960326040103404350634782894 6月月32203

46、22037603000292037403060308029403060 ),( 2 11 N ),( 2 22 N 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 解：解：这是两独立正态总体方差的比较问题这是两独立正态总体方差的比较问题 首先进行双边检验首先进行双边检验 H0：H1： 由于由于 1， 2未知，选取检验统计量未知，选取检验统计量 在显著水平在显著水平 = 0.05下下, H0拒绝域为：拒绝域为： 查表查表 由样本数据计算得到由样本数据计算得到 落入拒绝域中，在落入拒绝域中，在0.05的显著水平下应拒绝的显著水平下应拒绝H0，可以认，可以认 为冬、夏季出生的女婴体

47、重的方差有显著的差异为冬、夏季出生的女婴体重的方差有显著的差异 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 /SSF )1, 1()1, 1( 2122121 nnFFnnFF )9 , 9()9 , 9( 025. 0975. 0 FFFF 248. 0 03. 4 1 )9 , 9( 1 )9 , 9( 025. 0 975. 0 F F 03. 4)9 , 9( 025. 0 F 66. 4 6 .93955 7 .437817 2 2 2 1 s s F 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 【例【例8.10】试在显著水平试在显著水平 =0.05下检验冬

48、、夏季节出生下检验冬、夏季节出生 的女婴体重的方差是否有显著差异，哪个更大一些？的女婴体重的方差是否有显著差异，哪个更大一些？ 解：解：由于由于 比比 大得多，我们猜想大得多，我们猜想 ，为了验证猜想，为了验证猜想, 并使我们犯错误的概率可以控制并使我们犯错误的概率可以控制, 进进 一步做下面的左边检验一步做下面的左边检验 H0： ，H1： 解：解：仍然选取检验统计量仍然选取检验统计量 在显著水平在显著水平 = 0.05 下，下，H0拒绝域为：拒绝域为： 而而F=4.66落入了拒绝域中，所以，在落入了拒绝域中，所以，在0.05的显著水平下的显著水平下 应拒绝应拒绝H0，接受，接受H1. 7 .

49、437817 2 1 s6 .93955 2 2 s 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ,/ 2 2 2 1 SSF 179. 3)9 , 9()1, 1( 05. 021 FFFnnFF 即可以认为冬季出生的女婴比夏季出即可以认为冬季出生的女婴比夏季出 生的女婴体重的方差更大一些生的女婴体重的方差更大一些. 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 【实验【实验8.4】在在Excel中做例中做例8-10中两个正态总体方差的中两个正态总体方差的 比较比较 实验准备：实验准备： (1) 函数函数FINV的使用格式：的使用格式：FINV(probability

50、, degrees_freedom1, degrees_freedom2) 功能：返回功能：返回F分布的上分布的上 分位点，其中分位点，其中 =probability，degrees_freedom1和和degrees_freedom2 为两个自由度为两个自由度 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (2) 函数函数IF的使用格式：的使用格式： IF(logical_test, value_if_true, value_if_false) 功能：执行真假值判断功能：执行真假值判断, 根据逻辑计算的真假值，根据逻辑计算的真假值， 返回不同结果返回不同结果. 其中其中l

51、ogical_test表示条件表达式表示条件表达式; value_if_true为当为当logical_test为为TRUE时返回的值时返回的值; value_if_false为当为当logical_test为为FALSE时返回的值时返回的值 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 实验方法实验方法1 (1) 输入数据及项目名，如图输入数据及项目名，如图8.13左所示左所示 图图8.13 两个独立正态总体方差比较的双边检验两个独立正态总体方差比较的双边检验 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (2) 计算观测数计算观测数n1、n2 在单元

52、格在单元格D2中输入公式：中输入公式：=COUNT(A2:A11) 在单元格在单元格E2中输入公式：中输入公式：=COUNT(B2:B11) (3) 计算样本均值、计算样本均值、 在单元格在单元格D3中输入公式：中输入公式：=AVERAGE(A2:A11) 在单元格在单元格E3中输入公式：中输入公式：=AVERAGE(B2:B11) (4) 计算样本方差、计算样本方差、 在单元格在单元格D4中输入公式：中输入公式：=VAR(A2:A11) 在单元格在单元格E4中输入公式：中输入公式：=VAR(B2:B11) 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (5) 在单元格在单

53、元格D5中输入显著水平中输入显著水平 ：0.05 (6) 计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值 在单元格在单元格D6 中输入公式：中输入公式：=D4/E4 7) 计算临界点计算临界点F1 /2(n1 1，n2 1)，在单元格，在单元格D7中中 输入公式：输入公式：=FINV(1-D5/2,D2-1,E2-1) 8) 计算临界点计算临界点F /2(n1 1，n2 1)，在单元格，在单元格D8中输中输 入公式：入公式： =FINV(D5/2,D2-1,E2-1) ,/ 2 2 2 1 ssF 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (9) 判断，在单元格判断，在单

54、元格C8中输入公式：中输入公式： =IF(OR(D6=D8),拒绝拒绝H0,不能拒绝不能拒绝H0) 结果：由于结果：由于F = 4.6598 F 0.025(9，9) = 4.026，落入拒，落入拒 绝域中，如图绝域中，如图8.13右所示故在右所示故在0.05的显著水平下拒的显著水平下拒 绝绝H0，可以认为冬、夏季出生的女婴体重的方差有显，可以认为冬、夏季出生的女婴体重的方差有显 著的差异著的差异 图图8.13右右 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 (10) 为了检验为了检验 H0： ， H1： 在单元格在单元格D12输入公式：输入公式：=FINV(D5,D2-

55、1,E2-1) 在单元格在单元格D13输入公式：输入公式：=IF(D6=D12,拒绝拒绝H0, 不能拒绝不能拒绝H0) 检验结果如图检验结果如图8.14所示所示 图图8.14 两个独立正态总体方差的比较两个独立正态总体方差的比较 2 2 2 1 2 2 2 1 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 【实验【实验8.4】在在Excel中做例中做例8.10中两个正态总体方差的中两个正态总体方差的 比较比较 实验方法实验方法2 (1) 输入数据与图输入数据与图8.13左相仿左相仿 (2) 在在Excel主菜单中选择主菜单中选择“工具工具”“数据分析数据分析”， 打开打开“

56、数据分析数据分析”对话框，在对话框，在“分析工具分析工具”列表中选列表中选 择择“F-检验：双样本方差检验：双样本方差”选项，单击选项，单击“确定确定”按按 钮钮 (3) 在打开的在打开的“F-检验：双样本方差检验：双样本方差”对话框中，依对话框中，依 次输入次输入“变量变量1的区域的区域”、“变量变量2的区域的区域”和和“输出输出 区域区域”，选中，选中“标志标志”复选框，如图复选框，如图8.15所示，单击所示，单击 “确定确定”按钮按钮 得到检验结果如图得到检验结果如图8.16所示所示 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 图图8.15 图图8.16 图中显示，

57、图中显示，F检验的单尾临界值为检验的单尾临界值为3.178993，即拒绝域，即拒绝域 为为F 3.178993，F检验统计量的观测值为检验统计量的观测值为4.659839 落入了拒绝域，因此，应拒绝原假设落入了拒绝域，因此，应拒绝原假设. 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 【例【例8.11】两台车床生产同一种滚珠两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径服从正态分滚珠直径服从正态分 布布)，从中分别抽取，从中分别抽取8个和个和7个成品，比较两台车床生产的个成品，比较两台车床生产的 滚珠直径是否有显著差异（滚珠直径是否有显著差异（ = 0.05） 解：解：设第一台车床生产的

58、滚珠直径设第一台车床生产的滚珠直径 第二台车床生产的滚珠直径第二台车床生产的滚珠直径 根据题意，需进行两总体的均值比较根据题意，需进行两总体的均值比较. 由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即 检验检验 和和 是否有显著差异，然后再检验是否有显著差异，然后再检验 1和和 2是否有显是否有显 著差异著差异 T1:85.685.985.785.885.786.085.585.4 T2:86.785.786.585.785.886.386.0 ),( 2 11 NX ),( 2 22 NY 2 1 2 2 8.2.2 两正态总体均值与方差

59、的比较两正态总体均值与方差的比较 (1) 检验假设检验假设 由于由于 1, 2未知，选取统计量未知，选取统计量 在显著水平在显著水平 = 0.05下，拒绝域为：下，拒绝域为： 拒绝域为：拒绝域为： 查表查表 H0的拒绝域为的拒绝域为 2 2 2 10 : H 2 2 2 11: H 2 2 2 1 /SSF )6 , 7()6 , 7( )1, 1()1, 1( 025. 0975. 0 2122121 FFFF nnFFnnFF )6 , 7()6 , 7( 025. 0975. 0 FFFF 195. 0 12. 5 1 )7 , 6( 1 )6 , 7( 025. 0 975. 0 F

60、F70. 5)6 , 7( 025. 0 F 70. 5195. 0 FF 8.2.2 两正态总体均值与方差的比较两正态总体均值与方差的比较 由观测数据得由观测数据得: n1=8, n2=7, 未落入拒绝域中未落入拒绝域中, 不能拒绝不能拒绝H0 在在0.05的显著水平下，可以认为两台车床生产的滚珠的显著水平下，可以认为两台车床生产的滚珠 直径的方差无显著差异直径的方差无显著差异 7 .85 1 1 1 1 n i x n x1 .86 1 2 1 2 n i y n y 04. 0 1 1 2 1 2 1 2 1 n i xx n s 163. 0 1 1 2 1 2 2 2 2 n i y