概率论与数理统计课后习题及答案

1、个人收集整理仅做学习参考概率论与数理统计课后习题及答案第1章二、解答题1. 设P(AB) = 0 ,则下列说法哪些是正确地？A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A -B) = P(A)解：(4)正确.2. 设 A , B 是两事件，且 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7，问：(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB) EP(A) P(B)-P(A B),又因为P(B)空P(A B)

2、即P(B)-P(A B)乞0.所以(1)当P(B) =P(A B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)=P(A)=06 P(A B) =1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3. 已知事件 A, B 满足 P(AB)=P(AB)，记 P(A) = p，试求 P(B).解：因为 P(AB) = P(AB),即 P(AB) =P( ) =1 _ P(A B) =1 _ P(A) _ P(B) P(AB), 所以 P(B) =1 _P(A) =1 - p.4. 已知 P(A) = 0.7 , P(A -B) = 0.3，试求 P(AB).解：因为P(A -B

3、) = 0.3，所以P(A ) -P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) -0.3,资料个人收集整理，勿做商业用途 又因为 P(A) = 0.7，所以 P(AB) =0.7 -0.3=0.4 , P( AB) =1 - P( AB) = 0.6.5. 从5双不同地鞋子种任取 4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双地概率是多少？4解：显然总取法有 n -C10种，以下求至少有两只配成一双地取法k :法一：分两种情况考虑：k = C； C： (C；)2 + C；其中：c；c：(c2)2为恰有1双配对地方法数c1 C1法二：分两种情况考虑：kC8 C6+c；2!1 Ca Cg其中：C5

4、-为恰有1双配对地方法数2!法三：分两种情况考虑：k = d (C- _C：) + C；其中：c5(Cs -c4)为恰有i双配对地方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k= c!c- - c2法五：考虑对立事件：k C-C： (C2)4414其中：C5 (C2)为没有一双配对地方法数法六：考虑对立事件：k二C：o _ C1。C8 C6 C4 !所求概率为pk 13410216在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号地纪念章，任取 3人记录其纪念章地号码求: 求最小号码为 求最大号码为(1)解:(1)法一：P5地概率；5地概率.C；1 、+3，法二:10 12c1_C；A；p _A01

5、12法二：p，法二:C1020C3A2P二石丄20其中：1 1 1 1C10 C8 C6 C4为没有一双配对地方法数4!2 / 567.将3个球随机地放入 4个杯子中去，解：设M1, M2, M3表示杯子中球地最大个数分别为A 3、cf x A423求杯子中球地最大个数分别为1, 2, 3地概率.1, 2, 3地事件，则3dAi9c41P(MJ 3, P(M2), P(M3)亍48416416&设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出地2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品地概率各为多少？资料个人收集整理，勿做商业用途解：设M2,M1,M0分别事件表示取出地

6、2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则c2c1c1c2P(M2)“0.3,P(M1)=0.6,P(M1)2=0.1C5C5C59.口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到地两个球颜色相同地概率.解：设 M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2= “取到两个球均为黑球”，则M =M1 M2且M1 M2 二.所以 P(M)=P(M1 M2)-P(M1) P(M2)C；132810.若在区间(0，1)内任取两个数，求事件两数之和小于6/5地概率.解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立 xOy直角坐标系，如图任取两个数地所有结果构成样本空

7、间一；渔，y): 0 X， H个人收集整理仅做学习参考事件A =两数之和小于 6/5 ” = , M:孔+ y 斥5因此C/A A的面积P(A)=的面积1725图？11 随机地向半圆0 :： y :： 2ax-x2 ( a为常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域地概率与区域地面积成正比，求原点和该点地连线与X轴地夹角小于地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途表示原点和该点地连线与 x4解：这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点地坐标,轴地夹角，在平面上建立 xOy直角坐标系，如图资料个人收集整理，勿做商业用途随机地向半圆内掷一点地所有结果构成样本空间因此f, y)： 0 ： x

8、: 2a,0 :y ： 2ax -x2事件A=原点和该点地连线与 X轴地夹角小于=(x , y):2 . 0 ： x : 2a,0 ： y ： . 2ax 一 x ,04A的面积P(A)】的面积1 2 1 2a a241 2a2_ 1ji12.已知P(A)二111，求 P(A B) 解:111P(AB)P(ABP(A)P(BAr 1 冇P(B)=誌甘12丄61111 P(A B)=P(A) P(B)_P(AB)4612313.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品地概率是多少？资料个人收集整理，勿做商业用途解：题中要求地 已知所取两

9、件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品地概率”应理解为求 已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品地概率”资料个人收集整理，勿做商业用途设A=所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=两件均为不合格品”；C22C22P(A)=1-P(A)=1 -2，P(B) 2CwG2。15P(B|A啤二妙丄/ZP(A) P(A) 15 3514.有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球地概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出地球是白球，则从第1个箱子中取出地球是白球地

10、概率是多少？资料个人收集整理，勿做商业用途3 / 56解：设C；P(A)=CC5A= “从第1个箱子中取出地1个球是白球”，B=从第2个箱子中取出地二?，p(A)二2，由全概率公式得 资料个人收集整理，勿做商业用途55P(B)-3 c52 C123二 P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) 14,5 C95 C945由贝叶斯公式得P(A环単警H駅3 45P(B)A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B地概率为15.将两信息分别编码为A地概率为0.01，信息A与信息B传送地频繁程度为 2: 1，若接收站收到地信息是A ,率是多少？ 资料个人收集整理，勿做商业用途解：设M= “原发信息是已知

11、A” , N=接收到地信息是 A” ,1个球是白球”，则0.02，而B被误收作问原发信息是A地概P(N |M) =0.02,P(N |M) =0.01, P(M) =?3所以1P(N |M) =0.98,P(N |M) =0.99, P(M )P(M )P(N |M )由贝叶斯公式得P(M |N)二=-0.98 亠(-0.98 丄 0.01) =196P(M )P(N | M ) P(M )P(N | M )3331971 1 116. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出地概率分别为-，-，一，问三人中至少有一人能将此密5 3 4码译出地概率是多少？资料个人收集整理，勿做商业用途解：设A

12、i=第i个人能破译密码”，i=1,2,3.111423已知 P(A1)= = ,P(A2)= jP(A3),所以 P(AJ j,P(A2)j,P(A3)=,534534至少有一人能将此密码译出地概率为4 2331 -P(A1A2Aa) =1 -P(A)P(A2)P(A2)=1.5 34517. 设事件A与B相互独立，已知 P(A) = 0.4，P(A U B) = 0.7，求P(B A).解：由于A与B相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(A U B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4，P(A U B) =

13、 0.7 代入上式解得P(B) = 0.5，所以P(AB) P(A)P(B)P(B A) =1 -P(B A) =111 -P(B) =1 -0.5 = 0.5.1P(A)P(A)或者，由于A与B相互独立，所以A与B相互独立，所以P(BA) =P(B)=1 -P(B) =1 -0.5=0.5.18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射4 / 56个人收集整理仅做学习参考中地概率是多少？ 资料个人收集整理，勿做商业用途解：设A=甲射击目标”，B=乙射击目标”，M=命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, P(M A) =0.6,P(M B)

14、 =0.5,所以P(M) = P(AB AB AB)二 P(AB) P(AB) P(AB).由于甲乙两人是独立射击目标，所以P(M ) = P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B) =0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 二 0.8.P(A| M )二P(AM )P(M )P(A)P(M | A)P(M )1 0.60.8= 0.7511 / 5619.某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品地概率分别为0.3, 0.2, 0.1 ;第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品地概率分别为0.3, 0.2,试问：资料个人收集整理，勿做商业用途(1)

15、用哪种工艺加工得到合格品地概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品地概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai=第1种工艺地第i道工序出现合格品”，i=1,2,3 ; Bi=第2种工艺地第i道工序出现合格品 i=1,2.资料个人收集整理，勿做商业用途(1)根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,资料个人收集整理，勿做商业用途第一种工艺加工得到合格品地概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7 0.8 0.9 = 0.504,第二种工艺加工得到合格品地概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)

16、= 0.7 0.8 二 0.56,可见第二种工艺加工得到合格品地概率大.(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品地概率仍为0.504,而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品地概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 0.7 0.7=0.49.可见第一种工艺加工得到合格品地概率大.1 .设两两相互独立地三事件A，B和C满足条件 ABC二，P(A)二 P(B)二 P(C)：丄，且已知2P(A B C) ，求 P(A).16解：因为ABC =，所以P(ABC) =0,因为A，B，C两两相互独立，P(A)二P(B)二P(C),所以P(AB) P(BC) P(AC)二 P(A)

17、P(B) P(B)P(C) P(A)P(C) = 3P(A)2由加法公式 P(A B C)二 P(A) P(B) P(C)P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)得2 93P(A) -3P(A)2即 4P(A)-34P(A) -1 = 01611考虑到P(A) ,得P(A) .2412.设事件A，B，C地概率都是一，且P(ABC) =P(ABC)，证明：212P(ABC) =P(AB) P(AC) P(BC) -证明：因为P(ABC)二P(ABC)，所以P(ABC) J _P(A B C) =1 _P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC

18、)将1P(A)二P(B)二P(C) 代入上式得到23P(ABC)=1_P(AB) _P(BC) _P(AC) P(ABC)2整理得1 2P(ABC)二 P(AB) P(BC) P(AC) _ .23.设 0 P(A) 1 , 0 P(B) 1 , P(A|B) + P(A | B) = 1，试证 A 与 B 独立.证明：因为P(A|B) + P(A |B) = 1，所以P(AB)丄 P(AB) P(AB)丄 1 P(AU B) 11 , P(B) P(B) P(B) 1 -P(B)将 P(A B)=P(A) P(B)_P(AB)代入上式得P(AB) 1-P(A)-P(B) P(AB) d1,P

19、(B)1 -P(B)两边同乘非零地P(B)1-P(B)并整理得到P(AB) =P(A)P(B),所以A与B独立.4设A , B是任意两事件，其中 A地概率不等于0和1 ,证明P(B| A)二P(B|A)是事件A与B独立地充分必要条件.证明：充分性，由于 P(B| A)二P(B|A)，所以 巴也 =P(AB),即P(A) P(A)P(AB) P(B)-P(AB)P(A) 一 1 -P(A)，两边同乘非零地 P(A)1-P(A)并整理得到P(AB) =P(A)P(B),所以A与B独立.必要性：由于 A与B独立，即P(AB) = P(A)P(B),且P(A) - 0, P(Ap- 0,所以方面P(B

20、| A)二P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)二 P(B),另一方面p(B|A)= W! = P(B) -P(AB) = P(B) -P0P(B)=P(A)P(A)P(A)所以 P(B|A)二 P(B|A).5. 一学生接连参加同一课程地两次考试第一次及格地概率为p，若第一次及格则第二次及格地概率也为p;若第一次不及格则第二次及格地概率为P资料个人收集整理，勿做商业用途2(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格地概率.(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格地概率.解：设 Ai=第 i 次及格 ”，i=1 , 2.已知 P(A)=p, P(A2A)=p, P(A2

21、|A) = 22由全概率公式得P(A2)= P(A)P(A2| Al) P(Ai)P(A2 |Ai) = p2 (1 - p) p2(1) 他取得该资格地概率为P(Ai UA2)= P(Ai)+P(A2)-P(AA) = P(Ai) + P(A2)-P(Ai)P(A2|Ai),22 丄x p23p P二 P P (i - P) p.2 2(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格地概率为P(A|A) = P(AiA2)= P(Ai)P(A2|Ai)= PT = 2p2 P(A2)一P(A2)一 p2 (i_p)jp i.6. 每箱产品有I0件，其中次品从0到2是等可能地，开箱检验时，从中任取一

22、件，如果检验为次品，则 认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品地概率为2%，一件次品被误判为正品地概率为I0% .求检验一箱产品能通过验收地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设Ai= 一箱产品有i件次品”，i=0, I, 2设M=“一件产品为正品”，N=一件产品被检验为正品”资料 个人收集整理，勿做商业用途I 一已知 P(Ao) =P(A)二P(A2)= , P(N |M0.02,P(N |M ) =0.I,3由全概率公式i 989P(M )二 P(A)P(M | A。) P(A)P(M | A) P(A2)P(M | A2)(i),9 iP(M ) =i -P(M

23、 ) =i -卫 丄，又 P(N |M) = i - P(N | M) = i -0.02 = 0.98,10 I0由全概率公式得一箱产品能通过验收地概率为9 IP(N) =P(M )P(N | M ) P(M )P(N | M )0.980.i =0.892.10 I07用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质地效果如下若真含有杂质检验结果为含有地概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有地概率为0.9;据以往地资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质地概率分别为0.4和0.6 .今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质， 求此产品真含有杂质地概率.资料个

24、人收集整理，勿做商业用途解：a=一产品真含有杂质”，Bi=对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行地三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.资料个人收集整理，勿做商业用途又知 P(Bi |A) =0.8,P(B |A) =0.9, P(A)=0.4,所以P(Bi |A) =0.2,P(Bj |A) =0.1, P(A) =0.4,P(A) =0.6,所求概率为P(A|BB2B3“盂扃由于三次检验是独立进行地，所以P(A)P(BiB2&|A)_ _P(A)P(BiB2B3

25、|A) p(A)p(bb2b3| A)P(A|BiB2B3)二P(A)P(Bi |A)P(B2|A)P(B3|A)_ _P(A)P(B I A)P(B2 I A)P3|A) P(A)PQ |A)P(B2|A)P(B3|A)=0.905.0.4疋 0.8 汉 0.8 汇 0.20.4 0.8 0.8 0.2 0.6 0.1 0.1 0.9&火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射地命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁试问 资料个人收集整理，勿做商业用途(1) 火炮与坦克被击毁地概率各等于多少？(2)

26、 都不被击毁地概率等于多少？解：设Ai=第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 P(A) = P(A3) = 0.3, P(A2)=卩(代)=0.35,所以P(A) =P(A3)=0.7, P(A2)= P(A)=0.65,(1)火炮被击毁地概率为P(AA AA2AA) =P(AA)卩(入入2入3人)二P(A)P(A2) P(A)P(A2)P(A0P(A4)=0.7 0.35 0.7 0.65 0.7 0.35 = 0.356475坦克被击毁地概率为P(A AA2A3) =P(A)巴人入2人)= P(A) P(A)P(A)P(A3) =0.3 0.7 0.65 0.3 = 0.436

27、5(2)都不被击毁地概率为P(A1A2A3A4P()P(A2)P(A3)P(A40.7 0.65 0.7 0.65 = 0.207025.9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两1次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜地概率都是，现假定甲乙两人先比， 试求各人得冠军地概率. 资2料个人收集整理，勿做商业用途解: Ai=甲第i局获胜”，Bi=乙第i局获胜”，Bi=丙第i局获胜”，i=1,2,1已知P(A) =P(Bj) = P(G ), i =12.，由于各局比赛具有独立性，所以2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜地概率为P(AC2C3AC

28、2B3A4C5C6AC2B3A4C5B6AVC8C9.)二17,同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜地概率也为712125丙得冠军地概率为2,甲、乙得冠军地概率均为(1).7 72714第二章2一、填空题：1. PX Ex?， F(x2) -F(x1)个人收集整理仅做学习参考k kn _k2. P X = k = CnP (1 - p) ， k = 0， 1，n3. PX 二 k二kk= 0, 1,-e,，.0为参数，k!4.5.f(x)二1b a0,a : x : b其它13.4813 / 566.f(x)7.(x)8.1 -re ，-: :x ：2 二7、 a)CTCF(x_J22

29、e :二，-:x ：9.分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量, 地取值及概率.资料个人收集整理，勿做商业用途根据离散型随机变量地分布函数求法，可观察出随机变量X-112Pi0.40.40.2910.64分析：每次观察下基本结果“XW 1/2出现地概率为1-；f(x)dx22xdx二1，而本题对随机变量 X取值地观-40察可看作是3重伯努利实验,所以资料个人收集整理，勿做商业用途11.px c2.2=PX -112.P Y = 2? 乂肆1)% -42.2-12 21 )3J24)二讥22 】)=0.7257,2-1.6 -1 X -15.8-12 2 2=：(2.4)-：(-1.3)=：(

30、2.4)：(1.3)-1 = 0.8950, 同理，.p1.6 X c5.8=P七）；）3.5) =0.8822,G(y) = p Y = 3X 仁 y PX 2丫 =丿，可以看出Y不超过2,所以X,X 2a0 f (x)dx37 / 561,八2_Hy k 2 1px 兰 yy c2 一Ly 1 -x冷可dx, y2 JFY(y) =P& Ey y-2二户 o，e 二，y ： 2可以看出，分布函数只有一个间断点5. C,事件地概率可看作为事件 A (前三次独立重复射击命中一次)与事件 B (第四次命中)同时发生地概率, 艮卩资料个人收集整理，勿做商业用途p 二 P(AB) =P(A)P(B)

31、 =C3p(1-P)3 p.三、解答题(A)1.X1234561197531pi363636363636分析：这里地概率均为古典概型下地概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C； 6-1 (这里C2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果 均可取，减1即减去两次均为1地情形，因为c2 x 6多算了一次)或。2汉5十1种，故r 1 C；X6-1 C；X5+1 11P= 1-，其他结果类似可得.资料个人收集整理，勿做商业用途3636360 ,x 1PX =1,1 xv2PX =1 +PX =2,2Exc3F(x) =PX =1 +PX =

32、2 +PX =3, 3Exc4PX =1 +PX =2 +PX =3 +PX =4, 4 兰 x v5PX =1 +PX =2 +PX =3 +PX =4 +PX =5, 5 兰 x6P , x 111 ,c,1 兰 x 23620 cc,2 兰 x 33627=,3 兰 x ; 43632,4兰x c53635 一 七361, x 启62.X 一199ip -12526 1126注意，这里x指地是赢钱数，x取0-1或100-1，显然pix=Co3.COx ak=0k!ae_ =1，所以 a =e：-14.(1)f(x)0, xPX = 11 兰xc2PX =1 PX =21,2 x : 31

33、, x -30, x c-11,1 兰 xv243 ，2,2 兰 xc341, x K3PXP 2 -X 一 3 二 PX =21X=3讥 PX f PX =3/ 二5.(1)P：X =偶数212i=limi-jpc122i1 二22116PX _5 ；=1 -PX _4 ； = 1 -15161PX =3的倍数丄v -i 2 23i丄1一23 =limi ):6.T3PX 4 = e5X P 0.5t = P 1.50.5t =2.5pfx_1 ；=1 _Px =0；=1 e*57解:&解：则指示灯发出信号地概率p =PX 二3 = 1 PX 3=1(C?O.30O.75+C5O.3S.74

34、+C；0.320.73)= 1 -0.8369 =0.1631 ；-be_10. (1)、由归一性知：1 二.f (x)dx = .2_.acosxdx = 2a，所以 a . 一22614 cosxdx sin x I04 二1 224由 F(x)在 x=1 地连续性可得 |im F (x lim F(x) = F(1)，即 A=1. P0.3 ： X : 0.7：、F (0.7) F (0.3) =0.4.,丄亠宀、”2x,0 c x c 1X地概率密度f (x) = F (x) = L.JI(2)、P0 ：X :：:11.解(1)(2)(3)YB5, e，设射击地次数为X，由题意知X B

35、 400,0.2px K2 = 1px =1 -迟 lc400 0.02k0.98400上K茫1 一瓦 k 0Je* =1 0.28 = 0.9972，其中 8=400X0.02. k- k!设X为事件A在5次独立重复实验中出现地次数，X B 5,0.3-x9.解：因为X服从参数为5地指数分布，则F(x)=1-e5 , PVX 10,1 - F(10) = e， 则 PY 二k二Cf(e2)k(1 e)5七k =0,1,5PY _1 =1- PY =0 =1 -(1 -e)5 =0.5167210 x 512. 解 因为X服从(0，5)上地均匀分布，所以 f(X)= 50其他若方程 4x2 4

36、Xx2 X 0 有实根，则厶二(4X)2 -16X - 32 一 0,即X - 2 X三-1，所以有实根地概率为p =px K2+px 兰1匸 1d 广Odx= 1 X： = 3 占5鼻 5 2 513. 解：因为X N(3,4)所以P2 ： X 乞5 = F(5) - F(2)=：(1) -(0.5) -仁 0.8413 0.6915 -仁 0.5328pl4 ： X e10 ； = F(10) F(4)=：(3.5) - ：(-3.5) -仁2：(3.5) -1=2 0.998-1 =0.996PX2 ； = 1 PX 乞 2? = 1 P=2 乞 X 乞2；=1 F(2) F(2)-1

37、一 丨：(0.5) -：，(-2.5) 1 =1 - 丨(2.5) -(0.5) .1-0.3 0 2 30.6 97 7P：X 3.T -PX 乞341 -F(3) =1 _：(0) =1一0.5 =0.5 P X d = 1 - P?X 岂 c?，则 px 乞c；=：l =F(c) hi；(c 3h-，经查表得2 2 21 c 一 3G(0) ，即0，得c=3 ;由概率密度关于 x=3对称也容易看出.2 2(3) PX d ； = 1 _ PX 乞 d J = 1 _ F(d)二1 _ 0.9，d 3d 3则：.：律 3)乞 0.1 ，即：.：3)_0.9，经查表知：:，(1.28) =0

38、.8997，2 2d 3故-1.28，即 d E0.44 ；214. 解：PX k1PX m；=1Pk 空 X-：(k)门(一兰)CTTk= 2-2-)二0.1CT所以 门(k) =0.95， pX : k，F (k)=(兰)=0.95 ；由对称性更容易解出；aa15. 解X N(巴十)则 Pfx 円 cr= P X c =F (；)_ F ( _；)P+j -PP -a -P=G()_：()cya-G(1) 门(一1)= 2(1) -1 =0.6826上面结果与无关，即无论 氐怎样改变，PX-円 j都不会改变；16. 解：由X地分布律知p1516151151130x-2-1013X24101

39、9X 21013Z地分布律为所以Y地分布律是217解 因为服从正态分布 N（j；）,所以f（X）=(x_J2X厂e 2 - dx，当 y 乞0时，FY(y) =0，则 fY(y) =0当 y 0时，FY (y)二 p*ex 乞 y 匚=px 乞 In y fY(y)-FyW) =(F(In y)(lny_j2-2;乎,（Iny-W宙 所以Y地概率密度为fY（y） = y . 2-y 0y乞010cxv118解 X U (0,1)， f(x) =，0，FY(y) = pY 三 y，p：1 _x 二 yf =1 _ F(1 _ y)所以fY(y)1, Q1 - y 1jl, Q y 1o,其他0,

40、其他11 c x c 219解：XU (1,2)，则 f(x)Q 其他FY(y)二 P Y y 二 pe2X 乞 y 当 y Mo 时，FY (y)二 P e2X 巴 y，=0 , 当y 7时，Y01490123 1Fy(y) = P * X 兰ln y1二 Fx(Jn y)1fY (沪 FY (沪(F(Jy)r2lny)24e : x . e其他124e : x : e其他20.解：(1) FYi (y) = PM _ y: = P3X _ y=P Xy 二 Fx(gy)111fY(y) =Fy (y(F(-y)-fx(-y)3 333因为

41、 fx (x)二 2I。、 1 1 【1、 所以 fY1(y)fx(尹)二 183 3 0- 1 ：: X ：: 1其他1一 1 ： y : 1其他卜1= ：182y，0 ,(2) F-W)二PM my；二PX Ey；二PX _3_y.； = 1 _Fx (3_y)， fY2(y)二 Fy2(x)珂1-Fx(3-y) = fx(3-y)f3 2. 彳因为fx(x) = a甘a，G其他-3 ： y : 3其他”32”32120,其他所以 fY2(y)=fx(3-y)2(3 y)，- wk(3-y) w0,其他(3) FY3(y)二 PY3 Ey-Px2 乞 $当 y 玄0 时，Fy3 (y) =

42、 P X 2 一 y = 0， fy3 ( y) = Fy3(X)= 00时,FY3(y)二 Pyxyl Fx 朋Fx(.y)，所以因为fY3(y)fY3(y)二 2丄yy fy），fx（X）-3 2-x$20-1 ： x ： 1其他所以 fY3 (y)二0 0 y : 1其他四应用题1解：设X为同时打电话地用户数，由题意知X B 10,0.2设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通地概率为0.99，则kk iPX mk八 C；00.2i0.810-ie =0.99，其中 =2,i =Q7 i!查表得k=5.2.解：该问题可以看作为 10重伯努利试验，每次试验下经过 5个小时后组件不能

43、正常工作这一基本结果地概 率为1-e 4，记X为10块组件中不能正常工作地个数，则资料个人收集整理，勿做商业用途X B(10,1 d),5小时后系统不能正常工作，即lx _2：，其概率为P：X - 2: =1 -PX 1；=1一必(1 虫恥)0)10 C；0(1 -/4)(4)10= 0.8916.23解：因为X N (20,40 )，所以PX 乞30 =P30EX E3C =F(30) F(30)30 -20、. “ -30-20、八(“)八(“)4040二(0.25)亠尬(1.25) -1= 0.5187 0.8944-1 -0.4931设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米地次数，则

44、X B(3,0.4931),(1) PY -1 =1 PY = 0 =1C?0.49310(1 0.4931)3 =1-0.50690.8698.(2) PY =1 =c30.493f 7.50692 =0.3801.4.解:当y ：:0时，丫乞y是不可能事件，知F(y)=0,/ xy当0 _y ：:2时，Y和X同分布，服从参数为5地指数分布，知丿 15F (y) e 5dx =1 -e 50 5当y 一 2时，丫乞y为必然事件，知F(y) =1 ,因此，Y地分布函数为0 ,yc0_yF(y)= 仁 e 5,0 Wy 2 ;1,八25解：（1）挑选成功地概率 P二丄- ，C：70 设10随机挑

45、选成功地次数为 X，则该XB 10,丄；,0,-1,X y R ；(1 - y) J1-y)3*1-y)32= 3(1-y) fx4. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(x) = fx(x),FY(y) =PY 乞 y =P-X 岂 y =PX _ -y =1 - PX _ -y-1 -Fx(-y) 所 以fY(y)=FY(y) = fx(-y) = fx(y).5.解:随机变量X地分布函数为0,X。F(x) = *VX-1, 1 wx c8，显然 F(x) “0,1，1,x 兰8FY(y)二 PY y二 PF(X) y，当y ：0时，F(X)乞y是不可能事件，知FY(y)=0，当 0 乞 y ：1 时，FY(y)二 P3 X 一仁 y二 PX 乞(1 y)3 = y， 当y_1时，F(XH y是必然事件，知 FY(y)=1，0 ,FY(y) = - y,1,y:00 辽 y : 1.y_i6. (1)Fy1 (yH PY1 y =P2X 仁 y =PX 乞山2当 0时，即 y1 时，FY(y) =PX 兰冷一y JVedx =1-e_ ,I丄胃，心，其他；二 20,心(2) FY2(y)二 PY