数学文化十一

1、1 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战， 危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是学危机。每一次数学危机，都是数学的基本 部分受到质疑。实际上，也恰恰是这受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危 机，引发了数学上的三次思想解放，大大推，大大推 动了数学科学的发展。动了数学科学的发展。 2 一、第一次数学危机一、第一次数学危机 第一次数学危机是由不能写成两 个整数之比引发的，我们以前已经专 门讨论过，现再简要回顾一下。

2、 2 3 这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现不能表为整数比。 其实质是：是无理数，全体整数之比 构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。 2 2 4 2 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危 机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比” 的新说法，回避了是无理数的实质，而是用几 何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几 何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧 几里得的几何原本中也采用了这一说法，以致 在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密 数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在 19世纪，依赖实数 理论的建

3、立。 5 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。当 时的背景是：微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣 时期。数学家们把微积分应用于各个领域，并获得了丰硕 的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷 级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。这一时期被 称为英雄世纪。但微积分在基础理论上存在很多缺陷。第 一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数 学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 6 1危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创

4、新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。 7 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间下落的距离为下落的距离为， 有公式有公式，其中，其中是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我 们要求物体在们要求物体在的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求。 （*） t ) (t S 2 2 1 )(gttS? g 0 t t S ? ? 22 1010 222 000 11 ( )( ) 22 11 ()22() 22 SS tS tgtgt g tttgt tt ? ? ?

5、 ? ? 0 1 () 2 S gtgt t ? ? ? 8 当变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是，这就是物体在时的瞬时速度， 它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。 t?)( 2 1 tg? 0 gt 0 t 9 2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈 攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个 量，究竟是不是0？ 10 0 1 () 2 S gtgt t ? ? ? 如果是0，上式左端当成无穷小后分母为 0，就 没有意义了。如果不是 0，上式右端的就不能 任意去掉。 t? 1

6、 () 2 gt? 在推出上式时，假定了才能做除法，所以 上式的成立是以为前提的。那么，为什么又 可以让而求得瞬时速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以 0，得出5=3一样 的荒谬。 0?t 0?t 0?t 0305? （*） 11 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然和和都变都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂” 了。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，非常击中要害。 S?t? 12 贝克莱的质问是击中要害的 ? 数学家在将

7、近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。 ?直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了 贝克莱的责难。 ?直至魏尔斯特拉斯创立“”语言， 才彻底地反驳了贝克莱的责难。 ? 13 3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无 穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”

8、14 2危机的实质 第一次数学危机的实质是 “不是有 理数，而是无理数”。那么第二次数学危机 的实质是什么？应该说，是极限的概念不清 楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微 积分理论缺乏逻辑基础。 2 15 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓 “最最 终的比终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为 0还不是还不是0

9、时的 比比例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最终的量的最终的量的 比”，而是“比所趋近的极限” 。 他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。 16 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。 17 牛顿 莱布尼茨 18 3危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑 基础上存在的问题是那样明显，这毕竟 是数

10、学家的一块心病。 19 而且，随着时间的推移，研究范围的扩 大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无 穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由 此得到许多错误的结论。由于没有严格的极 限理论作为基础。数学家们在有限与无限之 间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。 20 因此，进入因此，进入 19世纪时，一方面微积世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。误的。 历史要求为微积分学说奠基。历史要求为

11、微积分学说奠基。 21 2）严格的极限理论的建立 到19世纪，一批杰出数学家辛勤、 天才的工作，终于逐步建立了严格的极限 理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立是 逐步的、漫长的。 22 在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但 那是初步的、粗糙的。 达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论年指出，必须用可靠的理论 去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能 提供这样的理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格 的论证引入数学分析，他写

12、的无穷的悖论一书 中包含许多真知灼见。 23 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的 奠基人的是奠基人的是法国数学家柯西 （A.L.Cauchy,1789 1857）。他在）。他在1821 1823年间出版的年间出版的分析教程和无穷小计 算讲义是数学史上划时代的著作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极 限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、 导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性， 已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。 24 柯西波尔查诺波尔查诺 25 3）

13、严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限 理论的进一步严格化，需要实数理论的严格 化。微积分或者说数学分析，是在实数范围 内研究的。但是，下边两件事，表明极限概 念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依 赖比人们想象的要深奥得多。 26 一件事是，一件事是，1874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯 （K.T.W.Weirstrass ，18151897）构造了一个）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数” 。 “连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断，函数曲线没有间断， 连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函 数曲线在

14、该点有切线”。所以，在直观上“连续” 与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都 可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会 有“点点连续而点点不可导的函数”。 27 魏尔斯特拉斯(18151897) 德国数学家。1815年10月31日 生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德， 1897年2月19日卒于柏林。1834年 入波恩大学学习法律和财政。1838 年转学数学。18421856年，先后 在几所中学任教。1854年3月31日获 得柯尼斯堡大学名誉博士学位。 1856年10月受聘为柏林大学助理教 授，同年成为柏林科

15、学院成员， 1864年升为教授。 28 魏尔斯特拉斯关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是 其中是奇数， 使。 0 ( )cos() nn n f xbax? ? ? ? ? ) 1 , 0(?b ? 2 3 1? ?ab a 29 另一件事是德国数学家黎曼另一件事是德国数学家黎曼 （B.Riemann，18261866）发现， 柯西把定积分限制于连续函数是没有必 要的。黎曼证明了，被积函数不连续， 其定积分也可能存在。 黎曼还造出一个函数，当自变量取黎曼还造出一个函数，当自变量取 无理数时它是连续的，当自变量取有理 数时它是不连续的。数时它是不连续的。 30

16、黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国 北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是 一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上 学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读 哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏 林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、 施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年 重回哥廷根大学攻读博士学位，成为 高斯晚年的学生。 31 这这些些例例子子使使数数学学家家们们越越来来越越明明 白白，在在为为分分析析建建立立一一个个完完善善的的基基础础 方方面面，还还需需要要再再前前进进一一步步：即即需要 理解和阐明实数系的更深刻的性质。 32 魏尔斯特拉斯的贡献 德 国 数 学 家

17、魏 尔 斯 特 拉 斯 （ K a r l We ie rst r as s ，18151897）的努力，终于使 分 析学 从 完全 依 靠 运动 学 、 直 观理 解 和几 何 概 念 中解 放 出来 。 他 的 成功 产 生了 深 远 的影 响 ， 主 要表 现 在两 方 面 ， 一方 面 是建 立 了 实数 系 ， 另一方面是创造了精确的“”语言。 ? 33 柯西的贡献 ?柯西 （A.L.Cauchy,1789- 1857），法国数学家， 在数学分析和置换群 理论方面做了开拓性 的工作，是最伟大的 近代数学家之一。他 在1821-1823年出版 的分析教程和 无穷小计算讲义 是数学史主划

18、时代的 著作。 34 魏尔斯特拉斯的规划 魏尔斯特拉斯提出一个规划： 1)逻辑地构造实数系； 2)从实数系出发去定义极限概念、连 续性、可微性、收敛和发散。 这一规划被称为分析的算术化。 35 魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯的规划 魏尔斯特拉斯规划成功的影响： ?既然分析能从实数系导出，所以，如果实 数系是相容的，那么全部分析是相容的。 ?欧氏几何通过笛卡尔坐标系也能奠基于实 数系上。所以，如果实数系是相容的，那么 欧氏几何也是相容的，几何学的其它分支也 是相容的。 ?实数系可用来解释代数的许多分支，所以 许多代数的相容性也依赖于实数系的相容性。 36 魏尔斯特拉斯的规划魏尔斯特拉斯的规划 总

19、之，第二次数学危机的核心是微积 分的基础不稳固。 柯西的贡献在于将微积分建立在极限 论的基础上，遗留的问题是，任何实 数列的极限存在吗？ 魏尔斯特拉斯的贡献在于，先逻辑地 构造实数系，因而建立分析基础的逻 辑顺序是实数系极限论微积分。 37 从有理数谈起 有理数系是稠密的，并且四则运算封 闭，是我们遇到的第一个比较完美的 数系。但它仍存在严重的缺陷。 ?从几何角度，有理数没有填满整个数 轴。 ?从代数角度，有理数系对开方运算不 封闭。 ?从变量角度考虑，有理数在极限运算 下不封闭。 38 从有理数谈起从有理数谈起 ? ? 1111 1 (1, 2, ) 1!2!3! . n n n S Sn

20、n S ?LL 例 有理数序列 可证的极限不是有理数 39 戴德金分割戴德金分割 戴德金关于分划的定义： ?定义把全体有理数的集合分成两 个集合A和A，满足下面三个条件： ?集合A和A都是非空的（不空）； ?每一个有理数在而且只在A与A两个 集合的一个之中（不漏）； ?集合A中的每一个数a都小于集合A 中 的每一个数a(不乱) 40 戴德金分割戴德金分割 ?命题命题不存在不存在Q的这样的分划的这样的分划A|A，使，使 A 中有最大数，中有最大数，A中有最小数。中有最小数。 分划有三种类型：分划有三种类型： 1)在上类中没有最小数，而在下类中有最 大数大数r； 2)在上类中有最小数r,而在下类中

21、没有最 大数； 3)在上类中没有最小数，在下类中也没有 最大数。 41 戴德金分割戴德金分割 ?定义任何属于类型3）的分划定义 了一个无理数a. 对于每个有理数r，存在两个定义它的分 划，定义其归入上类，则下类A中没最大 数。 42 实数的性质实数的性质 实数有三种基本性质： ?实数的有序性 ?实数的连续性 ?实数的代数结构 43 实数集合的有序化实数集合的有序化 ?定义定义由分划由分划A|A 和 和B|B分别定义的两分别定义的两 个实数个实数 ,当且仅当这两个分划相同 当且仅当这两个分划相同 时才相等。 ?定义定义若若A类完全包含类完全包含B类，且不与类，且不与B 类相同，则称或 ?定理定理

22、1任何两个实数和之间必有下列任何两个实数和之间必有下列 三种关系之一： ? 和 ? ? ? , , ? ? ? ? ? ? ? 其次,蕴含 44 实数集合的有序化实数集合的有序化 ?引理1设是两个任意的实数。若 ?则总可以找到有理数r，使之介 于之间： ?引理2设是两个给定的实数， 如果对无论怎样小的有理数e0，总能使 夹在两个同样的有理数中间： ? 和? ? ? 和 ? , ? ? ? 与 , ,. sas ss sse ? ? ? ? 其中则数 与 一定相等 45 实数集合的连续性 ?定理定理2（戴德金）（戴德金） 对实数集合的任何对实数集合的任何 分划分划A|A，都存在产生这个分划的实数

23、，都存在产生这个分划的实数a， 这个数这个数 或者是下类或者是下类A中的最大数，或者是 上类上类A中的最小数。中的最小数。 这个定理是实数理论的第一个重要定理，这个定理是实数理论的第一个重要定理， 又称为戴德金基本定理。 46 确界存在定理确界存在定理 几个基本概念： ?设E是一个实数集合，如果存在数M， 使得对所有的都有 我们就说集合E是有界集 ?如果E不满足上述条件，即对任意的正 数M，不管它多大，总有，使 得，我们就称E为无界集 xE? ,xMMxM?或 0 xE? 0 xM? 47 确界存在定理确界存在定理 几个基本概念： ?对于集合E来说，如果存在数K（或k）， 使得对所有数都 有，

24、我们就称集合E有上界 （或者有下界）。数K(或k)称为集合E的 一个上界（或下界）。 xE? ()xKxk?或 48 确界存在定理确界存在定理 几个基本概念：几个基本概念： 0 00 ,(): 1),(); 2)0, (),() (). AMm xA xMxm xA MxxmMm A ? ? ? ? ? 考虑数集如果常数或具有下列性质 对于所有的或者 不管是多么小的数 总可以找到 使得或者那么就称数或 是数集 的上确界 或者下确界 49 确界存在定理 ?定理3如果H=x是有上（下）界的集 合，则它一定有上（下）确界。 证明略 50 根的存在性根的存在性 ?单调序列必有极限 ?区间套定理:一定能

25、套住一个点 ?从任何有界的序列中总能选出收敛于有限极限的子序 列. ? ?（柯西准则） ? ? 00, n nm aNmnN aa ? ? ? ? ? ? 收敛的使当时 有 ? ? ? ? ? ? 123 :, , , , . n a b a b ? ? ? ?L 有限覆盖定理 或有闭区间由开区间的 无限集合覆盖 则从中可以取出有限 子集也覆盖 51 “”语言的成功，表现在： 这 一 语 言 给 出 极 限 的 准 确 描 述 ， 消 除 了 历 史 上 各 种 模 糊 的 用 语 ， 诸 如 “ 最 终 比”、“无限地趋近于”，等等。 这 样 一 来 ， 分 析 中 的 所 有 基 本 概

26、念 都 可 以 通 过 实 数 和 它 们 的 基 本 运 算 和 关 系 精 确地表述出来。 ? 52 4）极限的“”定义及“贝克莱 悖 论” 的消除 极限的“”定义 ? ? 53 定义：设函数在的附近都有定 义，如果有一个确定的实数（无论多 么小的正数）。 都（都能找到一个正数，依赖 于），使当时（满足不等式 的所有不等于的），有 （这些对应的函数值 与的差小于预先给定的任意小的）我们就 说“函数在趋近于时，有极限” 。 记为。 1 x ) (x f 1 x ,0a? 0 ? ? ? |0 1 xx ? | 1 xx 1 x x x a ? |)(|axf) (x f ? ) (x fxa

27、 ? axf xx ? ? )(lim 1 54 由极限的这个 “”定义，可以求 出一些基本的极限，并严格地建立一整套 丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等； 两个函数，和的极限等于极限的和。 等等。 由此再建立严格的微积分理论。 ? 55 “ “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（*）式上： （*） 这是在（即）条件下，得到的等式； 它表明时间内物体的平均速度为。 （*）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当趋于0 时的极限，即 物体在时刻的瞬时速度= 。 )0)( 2 1 0 ? ? ? ttggt t S 0?

28、t 01 tt ? t? )( 2 1 0 tggt? 0 tt? 0 t t S t ? ? ?0 lim 56 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取 极限极限，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取 极极 限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度= 再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的 和”，得 然后再求极限得 0?t )( 2 1 (lim 0 0 tggt t ? ? )( 2 1 limlim)( 2 1 (lim 0 0 0 0 0 tggttggt ttt ? ? 00 0gtgt? 57 上述过程所得结论

29、与牛顿原先的结论 是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基 础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 是 不是0？”，在这里给出了明确的回答： 。 这里也没有“最终比”或“无限趋近 于” 0?t t? 58 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础 不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论 的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了 实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理 论的基础。所以，论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分） 基础的“逻辑顺序”是： 实数理论极限理论微积分。 而而“历史顺序历史顺序”则

30、正好相反。则正好相反。 59 知识的知识的逻辑顺序逻辑顺序与与历史顺序历史顺序 有时是有时是不同不同的的. 60 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础”的曙光集合论 到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何 的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和 极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的 理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的 基础在哪里？正在这时， 19世纪末，集合论出现了。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。 61 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分 以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成

31、 的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对 象可说成是“以整数、分数等组成的 集合”；微积 分的对象可说成是“以函数等组成的 集合”；几何 的对象可说成是“以点、线、面等组成的 集合”。 这样一来，都是以集合为对象 了。集合成了更基本 的概念。 62 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光： 可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。 尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多 人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900 年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！” 63 2算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基 础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数

32、 集合加上0现在我国中小学就把这一集合 称为自然数集合。 （算术）非负整数n有理数 实数复数图形 () n m ? 取极限 ? ? ? ?1 1? ba? 解析几何 64 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了， 或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。 这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上， 就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。 法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱 弗雷格 （G.Frege,1848 1925）就做了这样的工作。他

33、写）就做了这样的工作。他写 了一本名叫了一本名叫算术基础的书。的书。 65 弗雷格弗雷格算术基础算术基础 66 2) 弗雷格的算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所 有的非负整数，都需要用集合论的观点和语 言重新定义。 首先从0说起。0是什么？ 应当先回答0是什么，然后才有表示“0” 的符号。 67 为此，先定义为此，先定义“ 空集空集”。空集是。空集是“不含元不含元 素的集合”。例如，“ 方程在实 数集中的根的集合”就是一个空集，再例 如“由最大的正整数组成的集合”也是一个 空集。 2 10 x ? ? 68 所有的空集放在一起，作成一个集合的 集合，（为说话简单我们把“集合的集合”

34、称作类），这个类，就可以给它一个符号：0， 中国人念“ling” ，英国人念“Zero” 。 空集是空的，但由所有空集组成的类， 它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。 由它再作成一个集合0，则不是空集了。 69 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的 双射双射：既是满射又是：既是满射又是 单射的映射叫作双射，也称单射的映射叫作双射，也称 可逆映射；通俗地说，；通俗地说， 就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回 地映射，所以一般称为地映射，所以一般称为“双射双射”。 弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的“等价” ： ， 能够在其间建

35、立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合 A、B称为称为“等等 价价”。 AB ? ? 可逆映射 70 下边可以定义“1” 了。把与集合0等价 的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。 这个类，就可以给它一个符号：1。 再定义“2” 。把与集合0，1等价的所有 集合放在一起，作成一个集合的集合。这个 类，就叫：2。 然后，把与0，1，2等价的集合作成的 类，叫：3。 71 一般地，在有了0，1，2，n 的 定义后，就把所有与集合0，1，2， n 等 价 的 集 合 放 在 一起 ， 作 成 集 合 的 集 合，这样的类，定义为：n+1。 这种定义概念的方法，叫作“归纳定 义”的方法。 72

36、 这样，弗雷格就 从空集出发，而仅仅 用到集合 及集合等价 的概念 ，把全部非负 整数定义出来了。于是根据上边说的“可 以把全部数学归结为非负整数”，就可以 说，全部数学可以建立在集合论的基础上 了。 73 3 罗素的“集合论悖论”引发危机 1） 悖论引起震憾和危机 正 当 弗 雷 格 即 将 出 版 他 的 算 术 基 础一书的时候，罗素的集合论悖论出来 了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学 已经建立 起来！”之后 刚刚两 年，即 1902 年。 74 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970） Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Rus

37、sell) 出生年月：1872-1970 国籍：英国 学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、 逻辑学家，分析学的主要创始人，世 界和平运动的倡导者和组织者。 所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。 罗素罗素 75 集合论中居然有逻辑上的矛盾！ 倾 刻 之 间 ， 算 术 的 基 础 动 摇 了 ， 整 个 数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇 了 。 这 一 动 摇 所 带 来 的 震 憾 是 空 前 的 。 许 多 原 先 为 集 合 论 兴 高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹 ： 我 们 的 数 学 就 是建立在这样的基础上的吗？ 罗 素 悖 论 引 发 的 危 机 ， 就 称

38、 为 第 三 次 数学危机。 76 罗 素 把 他 发 现 的 悖 论 写 信 告 诉 弗 雷 格。弗雷格在他的算术基础一书的末 尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的 最 不 愉 快 的 事 莫 过 于 ， 当 他 的 工 作 完 成 时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗 素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境 地。” 77 2） 罗素悖论 在叙 述 罗 素 悖论 之 前 , 我 们 先注 意 到 下边的事实：一个集合或者是它本身的成 员(元素),或者不是它本身的成员(元素)， 两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”，把后者称为“正常集合”。 78 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象

39、概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。 即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。 但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合 本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即， 它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但 是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合 本身的元素，所以是“正常集合”。 79 罗素当年的例子罗素当年的例子 ?“异常集合” 1： 不多于29个字母表达的句子所构成的集合 ?“异常集合” 2： 不是麻雀的东西所构成的集合 80 罗素悖论是：罗素悖论是：以表示“是其本身成员的 所有

40、集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于，或者属于，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合是否是它本身的 成员？（集合是否是异常集合？） M M N N N N 81 如果如果是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按及及的的 定定 义，义，是是的成员，而不是的成员，而不是的成员，即的成员，即不不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按及及 的定义，的定义，是是的成员，而不是的成员，而不是的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这

41、又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。 NMN NMNN N NN MN N? NM N N N M N ()NNNNNM? 82 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的：某村的 一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸 的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的 人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这 与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不 给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己 刮脸，这又与假设矛盾。刮脸，这又与假设矛盾。 83 4 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学 家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选 择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基 础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论， 探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同 时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。 84 这种选择的理由是，