(完整版)概率论与数理统计复习提纲

1、第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件 样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示； 样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一. 随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示; 必然事件就等于样本空间；不可能事件()是不包含任何样本点的空集； 基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：A B，事件A发生必有事件 B发生; 等价关系： A B，事件A发生必有事件B发生，且事件 B发生必有事件 A发生; 互不相容(互斥)： AB ，事件A与事件B一定不会同时发生。对立关系(互逆)A，事件A发生事件a必不发生，反之也成

2、立;互逆满足Aa8德摩根(De Morgan)定律：A B AB,UA对于n个事件，有i1nI Ai 1AB AB二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任随机事件 A(A),都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：P(A) 0;(2)规范性：P( ) 1;I A,i 1nUAn注：互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。)3.事件的三大运算 事件的并：A B，事件A与事件B至少有一个发生。若 AB 事件的交： A B或 AB，事件A与事件B都发生； 事件的差： A-B，事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律

3、，则 A B A B ；交换律：ABBA, AB BA结合律：(AB)CA (B C), (A B)C A (B C)分配律：A(BC)(A B) (A C), A(B C) (A B) (A C)nkk 有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件 Aj,A2 ,Ak，有P( A) P(A).i 1i 1则称P(A)为随机事件A的概率.2. 概率的性质 P( ) 1,P( )0 P(A) 1 P(A)若 A B，则 P(A) P(B),且P(B A) P(B) P(A) P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(AB C) P(A) P(B) P(C)P(AB) P(BC) P(A

4、C) P(ABC)注：性质的逆命题不一定成立的如若P(A) P(B),则A Bo (X) 若P(A) 0,则A 。(x)三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：只有有限个样本点，k每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型，P(A) k on典型例题：设一批产品共N件，其中有 M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1) 在放回抽样的方式下，取出的n件样品中恰好有 m件次品(不妨设事件 A)的概率为cnM m(N M)n mP(A) nNn(2) 在不放回抽样的方式下，取出的n件样品中恰好有 m件次品(不妨设事件 A)的概率为P(A2)ANCM cN mcN四、条件

5、概率及其三大公式1.条件概率：P(B|A) PPAB),P(A|B)驚J P(A)P(B)2.乘法公式：P(AB) P(A)P(B|A) P(B)P(A| B)P(AAL An) P(A)P(A2|A1)P(As| AAJL P(AnlAL An1)nn3.全概率公式：若 B1,B2,L ,Bn 满足 U Bj, BiBj,i j,则 P(A)P(Bi)P(A| Bi)。P(B)P(A|BJnii 14.贝叶斯公式：若事件 B1,B2,L ,Bn和A如全概率公式所述，且 P(A) 0,贝V P(Bi | A)P(B)P(A|Bi)i 1五、事件的独立1.定义：若P(AB) P(A)P(B),则

6、称A,B独立2.在 A,B , A,B , A, B ,推广：若 A1, A2,L ,An 相互独立，P(AL An) P(AJL P(An)P(AB)P(A)P(B)3.三个事件 A, B, C 两两独立：P(BC)P(B)P(C)P(AC)P(A)P(C)注:n个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立，反之不成立。)4伯努利概型：Pn(k) C：pkqnk,k 0,1,2,L , n, q 1P.A, B四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。1. 事件的对立与互不相容是等价的。(X)2. 若 P(A) 0,则 A 。 (X)3. 若 P(A) 0.1, P(B) 0.5

7、,则 P(AB) 0.05。 (X)4. A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为ABC ABC ABC。 ( V )5. n个事件若满足i, j, P(AAj) P(A)P(AJ，则n个事件相互独立。(X)6当 A B 时，有 P(B-A)=P(B)-P(A) o (V)第二章随机变量及其分布一、 随机变量的定义：设样本空间为，变量X X()为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量X，对于任意实数 x R，函数F(x) PX x称为随机变量 X的概率分布函数，简称分布函数。注：当 X1 X2时，P(X1

8、 X X2) F(X2)F(X1)(1) X是离散随机变量，并有概率函数p(Xj),i 1,2,则有F(x) p(x).Xj XXX连续随机变量，并有概率密度f (x)，则F(x) P(X x)f (t) dt.2. 分布函数性质：(1F(x)是单调非减函数，即对于任意X1 0;它反映了随机变量 X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2. 方差的性质(1) D(C) 0, (C为常数)(2) D(CX)=C 2D(X)(3) 若X与Y相互独立，则 D(X Y)=D(X)+D(Y)(4) 对于任意实数 C R,有 E ( X-C )2 D( X )当且仅当C =

9、E(X)时，E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式):设X的数学期望 日X)与方差D(X)存在,对于任意的正数，有P(|X-E(X)| )或 P(|X-E(X)|v ) 1-D. 3. 计算(1)利用方差定义; 常用计算公式D(X) E(X2) E(X)2. (3)方差的性质；(4)常见分布的方差若 X P(),则 E(X) D(X)；1 1若 X e()，则E(X) , D(X)注：常见分布的期望与方差1. 若 X0n, p),则 E( X)=np, D(X) = npq;2.23. 若 X Ufa, b),则 E(X) - b, D(X) (b；4.2 12D(X

10、)5.若 X N( , 2),则E(X)三、原点矩与中心矩(总体)X的k阶原点矩：vk(X) E(Xk)k(总体)X的k阶中心矩：uk(X) EX E(X)1. 只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X )2. 期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(V)3. 方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X )4. 方差的实质是随机变量函数的期望。(V)5. 对于任意的 X,Y，都有D(X Y) DX DY成立。(X )第四章正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布2X N(,)概率密度为f (x) v2,其分布函数为F (x)(t )222 dt注：F(

11、 )!.正态密度函数的几何特性:(1)曲线关于x 对称；1(2当x时，f (x)取得最大值一 ；(3)当 x1时，f (x)0,以x轴为渐近线;(4)=(x )22e 2 dx 1(x )2e 2? dx(5当固定改变|的大小时，f(x)的 图形不变，只是沿着y轴作平移变化.(6)当固定卩，改变(的大小时，f(x)对称轴不变而形状在改变，(越小，图形越高越瘦;越大，图形越矮越胖.2.标准正态分布0,1时，XN(0,1),其密度函数为(x)2x2-且其分布函数为(x)(x)e 2 dt.(0)x21 石e 2 dx 122x2 dxx) 1(x).3.正态分布与标准正态分布的关系定理：若 X N

12、( ,2),则 YN(0, 1).定理：设 X N( , 2),则 P(X1 XX2)二、正态分布的数字特征设 X N( ,2),则1.期望E(X)1E(X) .2(x )2xedx2.方差 D(X)2D(X)(x(x )2)2e 2 $ dx3.标准差 (X)三、正态分布的性质1.线性性设X N(2),则 丫 abX N (a b , b2 2 )，(b 0)2.可加性设X N(2), Y N(：),且X和Y相互独立，则N(3.线性组合性设Xi - N( i,：),1,2, ,n，且相互独立，则ci X i N (i 1Cii 12Cii 1四、中心极限定理i2).10定理解释：若X 1 ,

13、 X 2,Xn满足上述条件,当n充分大时，有(1)YnnX i n 口i 1 AN(0,1);. n(TYnnXii 12 AN (n , n )；1.独立同分布的中心极限定理设随机变量X1,X2, ,Xn,相互独立，服从相同的分布，且E(Xi),D(Xi)2, i 1,2, n,nXi n卩.(t )21 x ,xedt则对于任何实数x，有lim Pi 1n.n(Tv21n141 n 2(3) X XiAN(,)n i 1n(t2)2dt2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设 Yn B(n, p),贝U lim P Jn np_ x 丄 n Jnp(1- p)2定理解释：若Yn B(n, p)

14、,当n充分大时，有(1)_AN(0,1) ;(2) Yn AN (np, np(1 p)、n p(1 p)1. 若 X N(0, 1), Y N(2, 1),则 X Y N( 2, 2).( X )2X12. 若 X N(,),则 P(0)-.( V )3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：X N( , 42), Y N( , 52)而 5 P(X 4); P2P(Y 5),则(B ).A.对任何实数，都有P1P2；B.对任何实数，都有a P2C.只对的个别值，才有p1p2;D.对任何实数，都有p1p2.1x2 2x 11/24. 已知连续随机变量 X的概率密度函数为 f(x) r=e则X的数

15、学期望为_1; X的方差为%第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本1. 总体：把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量，记 X.2. 个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3. 样本：从总体X中，随机地抽取n个个体X1, X2, ,Xn,称为总体X的容量为n的样本。注： 样本(Xi,X2, ,Xn)是一个n维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性:代表性：Xi，X2， ,Xn中每一个与总体 X有相同的分布.独立性：Xi, X2， ,Xn是相互独立的随机变量4. 样本(Xi，X2， ,Xn)的联合分布n设总体X的分布函数为F(x)，则样本

16、(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为FgK，,xn)F(Xi);i 1n(1)设总体X的概率密度函数为f (x),则样本的联合密度函数为f (x-!, x2, ,xn)f (xi);i 1n 设总体X的概率函数为p(x), (x 0,1,2,),则样本的联合概率函数为P(Xi,X2, ,Xn) p(xj；i 1二、统计量1. 定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数g(X1,X2, ,Xn)称为统计量，gx, ,xn)是g(X1 ,x2, ,Xn)的观测值.注：(1)统计量g(X1,X2,Xn)是随机变量；(2)统计量g(XX 2, ,Xn)不含总体分布中任何未知参数;(3)统计量的分

17、布称为2.常用统计量抽样分布.(1)样本矩：样本均值1 n Xii 1；其观测值nXi .i 1可用于推断：总体均值E(X).样本方差 S2 nn 1 i 1(Xi2X)其观测值s2x)2样本标准差S :. S21 nn 1i1(XiX)2X2inX2);Xi2 nx2可用于推断：总体方差D(X).1 nI2一2 Xi2 nX2 n * 1 i 1其观测值1 n-(XiX)2n 1 i 1样本k阶原点矩vkXik,(k11,2,)其观测值vknkxi1样本k阶中心矩ukn(Xii 1X)k, (k 1,2,其观测值ukn(Xi X)ki 1注：比较样本矩与总体矩,如样本均值X和总体均值E(X)

18、;样本方差S2与总体方差D(X)；样本1,2,)与总体k阶原点矩E(Xk),(k 1,2,);样本k阶中心矩1 nk阶原点矩Vk- Xik,(kn i 1Uk(XiX)k,(k1,2,)与总体k阶原点矩EX E(X)k,(k1,2,).前者是随机变量，后者是常数(2)样本矩的性质设总体X的数学期望和方差分别为 EX , DX 2 , X, S2为样本均值、样本方差，则1o E(X) ；2o D(X) - 2；3o E(S2)2.n3. 抽样分布：统计量的分布称为抽样分布三、3大抽样分布1. 2 分布： 定义.设 X1；X2. ,Xk 相互独立，且 XiN(0,1),i 1,2, ,k，贝U 2

19、 xj X； xj2(k) 注：若 X N(0,1),则 X2 2(1).(2)性质(可加性)设12和夕相互独立，且122(kJ；2(k2),则122 2(k1k2).2. t分布：设 x 与 丫 相互独立,且XN(0,1),Y 2(k),则t,/kt(k).注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).3. F分布：定义.设X与Y相互独立，且X2(k1), 丫2(k2),则FX；k21F(k1,k2).(2)性质.设 XF(k1,k2),则 1/X F(k2,kJ.四、分位点定义：对于总体 X和给定的(01),若存在x，使得P(X x ) 则称x为X

20、分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法(1)2(k)分布的 分位点 2(k);(2) t(k)分布的 分位点t (k),其性质：t1(k) t (k);1(3) F (kk2),分布的 分位点 F (kk2),其性质 F1 (k1,k2);F hK)(4) N(0,1)分布的 分位点 u ,有 P(X u )1 P(X u )1 (u ),第六章参数估计一、点估计：设(X1, X2, ,Xn)为来自总体X的样本，为X中的未知参数，(X1,X2, ,Xn)为样本值，构造某个统计量?(X1,X2,Xn)作为参数的估计，则称?(X1,X2,Xn)为的点估计量，？&1心，冷)为 的估计值.2. 常

21、用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法二、矩估计法1. 基本思想：用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩2. 求总体X的分布中包含的 m个未知参数1, 2, , m的矩估计步骤： 求出总体矩，即E(Xk)或EX E(X)k,k 1,2,: 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：XiE(Xk)或 1(Xin i 1X)EXE(X)k,k 1,2,17解上述方程(或方程组)得到 1 , 2m 的矩估计量为：？ ?i(X1, X2, ,Xn), i 1,2, ,m1, 2, , m 的矩估计值为：？(X1,X2, ,Xn), i 1,2, ,m3. 矩估计法的优缺点：优点：直观、简单；只须知道总体的矩，不须知道总体的分布形式缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率RA)最大,则A出现的可能性就大；如