相似三角形复习课

1、 1. 成比例的项：成比例的项： 叫做叫做成比例的项。成比例的项。 那么或若,:cbaddcba d c b a =, , 其中其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项， 线段线段 a、d 叫做比例叫做比例外项外项， 线段线段 b、c 叫做比例叫做比例内项内项， 若若 四条线段四条线段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段，那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段. a c b d = 比例的性质：比例的性质： bcad d c b a = = = = ; 1.若若a, b, c, d

2、成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 6 2、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ） a. 2 , 3, 4, 1 b. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 c. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 d. 1 , 2 , 2 , 4 m n m = n 56 已知 ,求 的值. 解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得： m n 6 5 = 方法(2)因为 ,所以5m=6n m 6 n 5 = 6 m n = 所以 5 3、 4、已知、已知 1) x：(x+1)=(1x)：3，求，求x。 (2)若若 ， 求求 。 (3) 若若 ，

3、求，求 ， . = = -2x3y + y x 1 2 y x a+b b = = 6 5 a b a-b b (),_,_. xyzxyzy xyzxyz -+ = +-+ 1则 37934 4 1 - 19 7 ( )(): ,_ . xxyy xyy xy -+ += + 22 22 23 2 已知，43 则 5 11 5 6 已知已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。数，写出一个比例式。 2.比例中项：比例中项： _.(),() _. cmcm+-+-23， 23两数的比例中项是两线段 2323的 比例中项是 1 cm1 当两个当两个比例内

4、项相等比例内项相等时，时， 即即 a b b c = ， (或或 a：b=b：c)， 那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c 的的比例中项比例中项. 2 acb= = 即：即： 3.黄金分割：黄金分割： 线段黄金分割。 把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（ ）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（ bcab acab ,acab bc acab - = 2 51 即： 2 acb (), _.cabacab=-=是线段的黄金分割点，较长线段251 则 4 1.相似三角形的定义：相似三角形的定义： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应

5、边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似比：相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 2 1 abca/b/c/,如果如果bc=3,b/c/=1.5,那么那么 a/b/c/与与abc的相似比为的相似比为_. 3.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 预备定理预备定理: 相似三角形的传递性相似三角形的传递性. a bc de de a b c 判定定理判定定理1,2,3. 1 2 2 3或或2 3 1 3 debc, adeabc. 直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定. d c b a 求证：求证：acdabccbd.

6、 已知：已知：acb=rt,cdab于于d 相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾： 现在给你一个锐角三形现在给你一个锐角三形abc和和 一条直线一条直线mn 问题：问题：请同学们利用直线请同学们利用直线mn 在在abc上或在边的延上或在边的延 长线作出一个三角形与长线作出一个三角形与 abc相似，并请同学相似，并请同学 们说明理由们说明理由 a bc m n 第一种作法：第一种作法： 理由：理由： （1）debc （2）ade=b 或或aed=c （3）ad：ab=ae：ac 第二种作法：第二种作法： 理由：理由： （1） ade=c 或或aed=b （2）ae：ab=ad：ac

7、 a e b c d a d e bc m 第三种作法：第三种作法： 理由：理由： （1）debc （2）ade=b 或或aed=c （3）ad：ab=ae：ac 第四种作法：第四种作法： 理由：理由： （1） ade=c 或或aed=b （2）ae：ab=ad：ac a bc e d a bc e d m n m n 第五种作法：第五种作法： 理由：理由： （1）debc （2）ade=abc 或或aed=acb （3）ad：ab=ae：ac 第六种作法：第六种作法： 理由：理由： （1） ade=acb 或或aed=abc （2）ae：ab=ad：ac a bc a bc d e m n

8、m d e n 第七种作法第七种作法： （1）acd=b （2）adc=acb （3）ad：ac=ac：ab a b d c m n a d e b a c b a b c d ade绕点a 旋转 d c a d e bc a bc d e b c a d e 点e移到与c点 重合 acb=rt cdab 相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾： 二二.知识应用知识应用: 1.找一找找一找: (1) 如图如图1,已知已知:debc,ef ab,则图中共有则图中共有 _对三角形相似对三角形相似. (2) 如图如图2,已知已知:abc中中, acb=rt ,cd ab于于 d,debc

9、于于e,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和abc 相似相似. a bc de f 如图如图(1) 3 e a bc d 如图如图(2) 4 (3)(3)如图如图3 3，1= 2= 3,则图中相似三角形的组数为则图中相似三角形的组数为 _. a d b e c 1 3 2 如图如图(3)(3) 4 (4)已知已知:四边形四边形abcd内接于内接于 o,连结连结ac和和bd交交 于点于点e,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似. a bc d e o (5)已知已知:四边形四边形abcd内接于内接于 o,连结连结ac和和bd交交 于点于点e,且且ac平分平分bad,则图中共有则图

10、中共有_对三对三 角形相似角形相似. a bc d e o 1 2 3 4 6 2 aedbec aebdec aedbec aebdec abcbec abcaed cedcda beacda 5.练一练练一练: 1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子的样子,假设图形中的所有点假设图形中的所有点,线都在同一平面内线都在同一平面内,试写试写 出一对相似三角形出一对相似三角形(不全等不全等)_. g a bc d e f 1 (3).(3).如图如图,p,p是是abcabc中中abab边上的一点边上的一点, ,要使要使acpacp和和

11、abcabc相似相似, , 则需添加一个条件则需添加一个条件: :_ 。 a b c p acp=b;或或apc=acb; 或或ap:ac=ac:ab即即ac2=apab 2.画一画画一画: 如图如图, ,在在abcabc和和defdef中中, a=d=70, a=d=700 0, b=50, b=500 0, , e=30e=300 0, ,画画直线直线a,a,把把abcabc分成两个三角形分成两个三角形, ,画画直线直线 b b ,把把defdef分成两个三角形分成两个三角形, ,使使abcabc分成的两个三分成的两个三 角形和角形和defdef分成的两个三角形分别相似分成的两个三角形分别

12、相似.(.(要求标要求标 注数据注数据) ) 300 300 c a b 700 500 e d f 700 300 a b c a b 700 500 e d f 700 300 a b 200 200 证明：证明：cdab， e为为ac的中点的中点 de=ae eda=a eda=fdb a=fdb acb= rt a=fcd fdb=fcd fdbfcd bd：cd=df：cf bdcf=cddf 例例1 如图，如图，cd是是rtabc斜边上的高，斜边上的高，e为为ac的中点，的中点， ed交交cb的延长线于的延长线于f。 c e a d f b 这个图形中有几个相似三角形的基本图形这个

13、图形中有几个相似三角形的基本图形 求证：求证：bdcf=cddf 如图如图,点点c,d在线段在线段ab上上, pcd是等边三角形是等边三角形. (1)当当ac,cd,db满足什么关系时满足什么关系时, acp pbd. (2)当当acp pbd时时,求求apb的度数的度数. 4.想一想想一想: ab cd p 挑战自我挑战自我 如图，如图，abc是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边 bc=120毫米，高毫米，高ad=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在bc上，其余两个顶点上，其余两个顶点 分别在分别在ab、ac上，这个正

14、方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？ n mq p e d c b a解：解：设正方形设正方形pqmn是符合要求的是符合要求的abc 的高的高ad与与pn相交于点相交于点e。设正方形。设正方形pqmn 的边长为的边长为x毫米。毫米。 因为因为pnbc，所以，所以apn abc 所以所以 ae ad = pn bc 因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。 80 x 80 = x 120 10.10.（1010分）分）( (探究创新题探究创新题) )一块直角三角形木板的一条直角一块直角三角形木板的一条直角 边边abab长为长为1.5 m,1.5 m,面积为面

15、积为1.5 m1.5 m2 2, ,工人师傅要把它加工成一个工人师傅要把它加工成一个 面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方 案，甲设计方案如图案，甲设计方案如图1 1，乙设计方案如图，乙设计方案如图2.2. 你认为哪位同学设计的方案较好你认为哪位同学设计的方案较好? ?试说明理由试说明理由.(.(加工损耗忽加工损耗忽 略不计略不计, ,计算结果中可保留分数计算结果中可保留分数) ) 【解析解析】由由ab=1.5 m,sab=1.5 m,s abcabc=1.5 m =1.5 m2 2, ,可得可得bc=2 m.bc=2 m.

16、由图由图1 1，若设甲设计的正方形桌面边长为，若设甲设计的正方形桌面边长为x m,x m,由由 deab,deab, 得得rtrtcdertcdertcba,cba, (2).已知已知,如图如图,梯形梯形abcd中中,adbc, a=900,对角对角 线线bdcd求证求证:(1) abddcb; (2)bd2=adbc a b c d a bc d e f 顶角为顶角为36的等腰三角形的等腰三角形 叫做黄金三角形叫做黄金三角形 a b cd e f g h n m 找出图中线段的黄金分割点？找出图中线段的黄金分割点？ 把线段把线段ac黄金分割黄金分割,分割点为分割点为b,则以则以 ab、bc为

17、邻边的矩形为邻边的矩形abcd叫做黄叫做黄 金矩形金矩形,即黄金矩形的两条邻边长度即黄金矩形的两条邻边长度 的比值约为的比值约为0.618. a b d c f e 若在黄金矩形若在黄金矩形 abcd中画出正方中画出正方 形形abef,则得到黄则得到黄 金矩形金矩形ecdf 如此继续下去如此继续下去 可得到一连串的可得到一连串的 黄金矩形黄金矩形 o p1 p2 d1d2 c1 c2 b1 b2 桌面桌面 (1).如图如图,在水平桌面上的两个在水平桌面上的两个“e”,当点当点p1,p2,o在一在一 条直线上时条直线上时,在点在点o处用号处用号“e”测得的视力与用测得的视力与用 号号“e”测得的视力相同测得的视力相同. 图中图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系应满足怎样的关系? 若若b1=3.2cm,b2=2cm, 号号“e”测试的距离测试的距离c1=8m, 要使测得的视力相同要使测得的视力相同, 号号“e”测试的距离测试的距