托勒密定理及圆的其它定理

1、Fdtae托勒密定理定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等 于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于 共圆性的基本性质.定理提出定理的内容 。摘出并完善后的托勒密 (Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对 边乘积的和等于两条对角线的乘积。定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的

2、和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理内容指圆内接 凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)在任意凸四边形 ABCD中(如右图)，作 ABE使/BAE CADZ ABE2 ACD,连接 DE.则厶 AB0A ACD所以 BE/CD二AB/AC,即 BE- AC=AB CD (1)由厶AB0AACD 得 AD/AC=AE/AB，又/ BACM EAD,所以 ABSA AED.BC/ED=AC/AD即卩 ED- AC=BC AD (2)+，得AC(BE+ED)=ABCD+AD BC又因为BE+EDB

3、D(仅在四边形 ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定 理”)复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点 A、B、C、D的复数，贝U AB CD AD BC AC BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数恒等式：(a - b)( c - d) + ( a - d)( b - c) = ( a - c)( b -d)，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d) 与 (a-d)(b-c) 的辐角相等，这与 A B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形

4、式。二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角/ BAC = / BDC而在 AB上，/ ADB= / ACB 在 AC上取一点 K,使得/ ABK = / CBD 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD 所以/ CBK = / ABD因此 ABK 与 DBC相似，同理也有厶 ABD KBC 因此 AK/AB = CD/BD 且 CK/BC= DA/BD; 因此 AK- BD = AB- CD 且 CK- BD = BC- DA 两式相加，得(AK+CK- BD = AB- CD + BC- DA 但 AK+CK = AC,因此 AC- BD =

5、 AB - CD + BC- DA 证 毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包 矩形的面积)等于两组对边乘积之和 (一组对边所包矩形的面积与另一组对边所 包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形 ABCD求证：AC- BD=AB CD+AD BC证明：如图1,过C作CP交BD于P,使/仁/2,又/ 3=74， ACEA BCP 得 AC: BC=AD BP, AC- BP=AD BC 。又7 ACB7 DCP/ 5=Z 6,山 ACBA DCP 得 AC: CD=AB DP, AC- DP=AB CD 。 + 得 AC(BP+DP)=ABCD+AD BC 即 AC- B

6、D=AB CD+AD BC四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：mA2* nA2=aA2*Z2+bA2*dA2-2abcd*cos(A+C)推论1. 任意凸四边形 ABCD必有 AC- BDC AB- CD+AD BC,当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。2. 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等 于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积， 取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)

7、(b-d)，两边取模，得不等式 AC- BEX |(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a- d)|=AB - CD+BC AD运用要点1. 等号成立的条件是(a-b)(c-d) 与(a-d)(b-c) 的辐角相等，这与 A、B、 C、D四点共圆等价。2. 四点不限于同一平面。欧拉定理：在一条线段上 AD上，顺次标有 B、C两点，则AD- BC+AB CD=AC BD弦切角定理弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另II图示一边和圆相切的角叫做弦切角。（弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆0于点C，BC、AC为圆0的弦，/ TCB，/ TCA ,/ PCA，/ PCB都为弦切角

8、。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为0,连接 0C, 0B,。/ TCB=90- / 0CB/ BOC=180-2 / 0CB , / B0C=2 / TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数 的一半）/ B0C=2 / CAB （圆心角等于圆周角的两倍）/ TCB= / CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC是O 0的弦，AB是O 0的切线，A为切点，弧是弦切角/BAC所夹的弧求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1 ） 圆心0在/ BAC的一边AC上/ AC为直径，AB切

9、O O于A ,弧 CmA=弧 CA为半圆，/ CAB=90=弦CA所对的圆周角图 7-113D）ABB点应在A点左侧(2) 圆心O在/ BAC的内部. 过A作直径AD交O O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接 EC、ED、EA则有：/ CED= / CAD、/ DEA= / DAB/ CEA= / CAB(弦切角定理)BAC的外部过A作直径AD交O O于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90/ CDA= / CAB（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图，在 Rt ABC中，/ C=90，以AB为弦

10、的O O与AC相切于点 A，/ CBA=60, AB=a 求 BC 长.解：连结OA , OB.在 Rt ABC 中，/ C=90/ BAC=30 BC=1/2a（RT 中30角所对边等于斜边的一半）例2:如图，AD是 ABC中/ BAC的平分线，经过点 A的O O与BC切于点 D , 与AB , AC分别相交于 E, F.求证：EF / BC.证明：连 DF.AD 是/ BAC 的平分线 / BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DACO O 切 BC 于 D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF / BC例3:如图， ABC内接于O O, AB是O

11、O直径，CD丄AB于D , MN切O O于C,求证：AC平分/ MCD , BC平分/ NCD.证明： AB是O O直径/ ACB=90/ CD 丄 AB/ ACD= / B ,/ MN 切O O 于 C/ MCA= / B ,/ MCA= / ACD ,即AC平分/ MCD , 同理：BC平分/ NCD.相交弦定理遵I概念相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PAPB=PC PD （相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何

12、语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PCA2=PA PB （相交弦定理推论）如何证明证明：连结 AC , BD，由圆周角定理 的推论，得/ A= / D，/ C= / B。（圆周角推论 2:同（等）弧所对圆周角相等.） PAC PDB , PA : PD=PC : PB ,PAPB=PC PD注：其 逆定理 可作为证明圆的内接四边形的方法 P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。凶为 ZA= ZD，ZC=ZB所以:APACAG/PF=W 仁/ 2A.G.C.P 共圆=/ 2=7 3PEL AC,PF丄 BC=P.E.F.C 共圆=7 3=7 4=/ 仁/ 4PF丄

13、 BC=PR=RQBHL AC,AHL BC=2 5=Z 6 A.B.G.C 共圆=/ 6=Z 7=/ 5=Z 7AGL BC=BC垂直平分 GH=/ 8=Z 2=Z 4/ 8+/ 9=90, Z 10+/ 4=90=/ 9二/ 10=HQ/DF=pm=mh第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H分别为三角形 ABC的外心，重心和垂心。则O是，确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而 G还是它的重心。那么三角形 XYZ的外心O1，也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2所以 O1 是 OH的中点。三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的 圆心都在 OH上，

14、并且两圆半径比为1:2所以G是三角形ABC外接圆和三角形 XYZ外接圆（九点圆）的反位似 中心（相似点在位似中心的两边 ）,H是正位似中心（相似点在位似中心的 同一边）。所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上。垂径定理E求助编辑百科名片垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 如图DC为直径AB垂直于DC则AE=EB弧AC等于弧BC定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）或平分弧的直径垂直于弦。证明如图，在O O中，DC为直径，AB是弦，AB丄DC , AB、CD交于 E，求证:AE=BE，弧 AC=弧 BC,

15、弧 AD=弧 BDg)垂径定理证明图连 OA、OB/ OA、OB是半径 OA=OB OAB是等腰三角形/ AB 丄 DC AE=BE，/ AOE= / BOE （等腰三角形三线合一）弧 AD=弧 BD，/ AOC= / BOC弧 AC=弧 BC推论推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等（证明时的理论依据就是上面的五条定理）但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：一条

16、直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论1. 平分弦所对的优弧2. 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3. 平分弦（不是直径）4. 垂直于弦5. 经过圆心圆的有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角 形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、 圆内接四边形的性质大纲要求1. 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；2. 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直

17、线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直 径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称 轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论； 圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；4. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等） 弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90 勺圆周角所对的弦是直径；5. 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解 决有关问题；6.

18、 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦在过圆心” 垂直于另一条 弦”平分这另一条弦”平分这另一条弦所对的劣弧”“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条件时 要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2 ）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角

19、，要想到应用圆内接四边形的性质。考查重点与常见题型1 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）（A）相等的圆心角所对的弧相等（B）平分弦的直径垂直于弦（C）长度相等的两条弧是等弧（D）弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴2论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的 证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的 性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。二，知识点相交弦定理、切割线定理及其推论大纲要求1 正误相交弦定理、切割线定

20、理及其推论；2 了解圆幕定理的内在联系；3熟练地应用定理解决有关问题；4. 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幕定理，圆幕定理是圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割 线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点 和圆心连线为对称轴的对称图形。考查重点与常见题型证明

21、等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有 一些出现在选择题或填空割线定理定义割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LALB=LCLD。如下图所示。（LT是切线）相关及证明概述割线定理为圆幂定理之一，其他二为:切割线定理相交弦定理证明如图直线 ABP和CDP是自点 P引的O O的两条割线，则 PAPB=PC PD证明：连接AD、BCAB0p-fD J 一C/ A和/ C都对弧BD由圆周角定理，得 / A=

22、/ C又/ APD= / CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是 APBP=CP DP比较害熾定理与相交弦定理，切割线定理通称为圆幂定理。切线长定理从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连 线，平分两条切线的夹角。如图中，切线长 AC=ABvZ ABOH ACO=90BO=CC半径AO=AO公共边 Rt AB Rt ACO（ H丄） AB=ACZ AOBZ AOCZ OABZ OAC切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等（一）观察、猜想、证明，形成定理1、 切线长的概念.如图，P是。0外一点，PA PB是。0的两条切线， 我们把线段PA PB叫做

23、点P到。0的切线长.引导学生理解：切线和切线 长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2、观察 利用电脑变动点 P的位置，观察图形的特征和各量之间的关 系.3、 猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.4、 证明猜想，形成定理.猜想是否正确。需要证明.组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA OB要证明PA=PB想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？Z OPAZ OPB如图）等.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心 和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线

24、的 5条性质与切线长定理一起归纳切线 的性质6、切线长定理的基本图形研究如图，PA, PB是。0的两条切线，A, B为切点直线 0P交。0于点D, E,交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的相似 三角形；(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活 应用知识的基础。推广：连接BC, BCLAO圆的内接多边形如果所有的边长都相等，那么它是否是正多边形 ？圆的内接多边形如果所有的内角都相等，那么它是否是正多边形 ？圆的外切多边形如果所有的边长都相等，那么它是否是正多边形？圆的外切多边形如果所有的内角都相等，那么它是否是正多边形 ？以上说法正确的有：(1.4)1.4.正确，解析：各边相等的圆内接多边形是正多边形；各角相等的圆内接多边形不是正多边形.各边相等的圆外切多边形不是正多边形。考点：正多边形和圆.分析：根据在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弦相等即可证明.解答：解：圆内接多边形的各边相等，各边所对的圆周角必然相等，各边相等的圆内接多边形是正多边形；圆内接多边形的各角相等，各角所对的弦必然相等，但是有一种情况比较特殊，当四个角都是直角时，这