正弦定理的几种证明方法

1、正弦定理的几种证明方法1 .利用三角形的高证明正弦定理(1)当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据锐角三角函数的定 义，有 CD = asinB ,CD =b sin A 由此，得 亠=亠 同理可得 亠=厶sinA sinn ,sine sinnsinJ sink sinQ 从而这个结论在锐角三角形中成立.a _ b sinJ sinZASC ,同理可得益*(2)当AABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D, 根据锐角三角函数的定义，有CD = asinZCBD = asinZABC 9 CD =b sinA。山此,故有亠=巳二厶 sinJ sinZABC

2、 sinC.由可知，在AABC中，=- 成立.sinA sinn sine从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即&_ b _ csin月 sin方 sinC .”用知识的最近生长点来证明: 实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A,点B之间的距丨AB|,可测量角A与角B, 需要定位点C,即：在如图AABC中，已知角A,角B, I AB丨=c,求边AC的长b解：过C作CD?AB交AB于D,则DC BP csinA csinAcosCtanC sinC sinCAD = c cos AcosC-AC = AD + DC = ccosA + in 仏。sC/sinCcosA +

3、 sZcZ sinCsinCsinC推论:sinB sinC同理可证：=sin A sinB sinC2利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设 BC = a, CA = b,AB = c,作 AD 丄 BC,垂足为 D 则 Rt AADB中,sinB = ,/ AD=AB-sinB=csinBABS. .abc=6/ AD = acsin B 同理/可证 Sr abc二一dbsin C = bcsm A.2 2 2 2/. Saabc= tvZ?sinC = bcsin A =acsin B absinc=bcsinA二acsinB2 2 2在等式两端同除以ABC,可得哑=沁=泌 = =

4、cabsin A sin 3 sinC3 向量法证明正弦定理（l）ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于疋，则j与AB的夹角为由分配律可得AC+jCB = jAB.|AB|cos(90S).90,j与CB的夹角为9CT-C.由向量的加法原则可得 AC + CB = AB, 为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量 j的数量积运算，得到j（ACCB） = jAB|j|Cos90+|j| |cs|cos(90-C)=|j|: asin C=csi nA. =sin A sinC另外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90。+6与AB的夹角 为 9

5、0+B,可得二一=.sinC sinB（此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC的夹角为与的夹角为沁）佥r丽厂鴉(2)A4BC为钝角三角形，不妨设人90。,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A-90,j与CB的夹角为90-C.由 AC + CB = AB /得 j AC +j-CB=j-AB,A a c即 a-Cos(90-C)=c-Cos(A-90),/. asinC=csinA. /.=sin A sinCa _ b _ csimA sin B sin C53外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90+cj与AB夹角为 90+B.同理，可得=sin 3 sinC 4外接圆证明正弦定理/ABC中启知BC=azAC=bzAB=C/作ABC的外接圆Q为圆心，连结BO并延长交圆于/设BBJ2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对 的圆周角相等可以得到ZBABO ZC = ZB sinC二sinB=sinC = sinF =丄:- = 2R 2R siiiC同理，可得一-=27?, - = 2R ./.