布林代数之基本定理

1、.1 第 4 章 布林代數及第摩根定理 4-1 布林代數之特質 4-2 布林代數之基本運算 4-3 布林代數之基本定理 4-4 第摩根定理 4-5 邏輯閘之互換 .2 節目錄節目錄 . 4-1布林代數之特質 基本的布林代數式可簡單的表示成：Ff （A，B，C ），下圖為其示意圖。F的輸出 是輸入變數 A、B、C等的函數，亦即 F 的 值是由輸入變數的值所決定。 .3 . 4-2布林代數之基本運算 布林代數雖然只有 0 與 1 兩種數值，但其 基本運算有三種，分別為 OR 運算，又稱邏輯 的加法運算；AND 運算，又稱邏輯的乘法運 算；NOT 運算，又稱邏輯的補數運算，現針 對這三種基本運算之特

2、性說明如下： 1. OR 運算 (1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以 OR 加法組合時，其輸出 F表示為 FAB。 節目錄節目錄 .4 (2) FAB 之運算結果為只要 A 或 B 是1， 其結果 F 就是 1。 除了 AB1 情形外，OR 運算與二進制加 法運算相同。 2. AND 運算 (1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以 AND 乘法組合時，其輸出 F表示為 FAB。 (2) FAB 之運算結果為只有 A是1且且B也是 1，其結果 F才是 1。 AND運算與二進制乘法運算相同。 節目錄節目錄 .5 3. NOT 運算 (1) 若 A 為一個

3、輸入變數，則當A做NOT補數運 算時，其輸出 。 (2) 之運算結果為將變數A反轉，即為其 結果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則 F=1。 (3) NOT運算與二進制取1的補數運算相同。 F = A F = A 節目錄節目錄 .6 節目錄節目錄 . 4-3布林代數之基本定理 一、布林代數之假設一、布林代數之假設 1. 封閉性 (1) (2) 2. 單位元素 (1) (2) X+YB X+0 = X X YB X 1= X .7 3. 交換律 (1) (2) 4. 分配律 (1) (2) X+Y = Y+X X+ Y ZX+YX+Z X Y = Y X XY+ZX YX Z 節目錄節目錄

4、.8 5. 補數元素 (1) (2) 6. 結合律 (1) (2) X+X =1 X+ YZX+YZ X X = 0 XY ZX YZ 節目錄節目錄 .9 對偶性 任何布林代數式，必有其相對的對偶 式，對偶性之互換原則為 (1)將+運算改為，運算改為 +。 (2)將常數項0改為1，1改為 0。 (3)變數符號不加以改變。 節目錄節目錄 .10 二、布林代數之基本定理二、布林代數之基本定理 有了布林代數的假設，我們可以以此假設 為基礎，發展出下列之基本定理： 全等性 (1) X+X=X (2) XX=X 同一性 (1) X+1=1 (2) X0=0 自補性 消去性 (1) X+XY=X (2)

5、X(X+Y)=X X = X 節目錄節目錄 .11 節目錄節目錄 . 4-4第摩根定理 一、第摩根第一定理一、第摩根第一定理 各變數 OR 運算後之反相，等於各變數 先反相後再做 AND 之運算， 即 。 接著，我們將第摩根第一定理應用在兩輸 入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視 為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸 入端有多少之邏輯閘，此定理均成立， A+B+CN = A B CN .12 如下圖所示，故第摩根第一定理可將OR運 算轉換成AND運算。若將下圖之左右兩邊 邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下 圖之等效或閘。 節目錄節目錄 .13 二、第摩根第二定理二、第摩根第二定理

6、 第摩根第二定理也就是在表示這個功能性， 定理敘述如下： 各變數 AND 運算後之反相，等於各變 數先反相後再做 OR 之運算， 即 。 A B CN = A+B+C+ N 節目錄節目錄 .14 接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯 閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反 相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定 理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將AND 運算轉換成OR運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之 輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。 節目錄節目錄 .15 . 4-5邏輯閘之互換 在許多布林代數化簡中，第摩根定理常被應 用到，而且常是第一定理與第

7、二定理相互搭配使 用，是化簡布林代數不可或缺的工具，在練習例 題之前，我們再將第摩根第一定理與第二定理陳 述一遍。 第摩根第一定理 第摩根第二定理 A+B+CN = A B CN A B CN = ABCN 節目錄節目錄 .16 應用上述之第摩根定理，很容易將布林代數 轉換成完全由通用閘（NAND Gate 或 NOR Gate） 所組成的邏輯電路，具有容易設計、製造成本低 （因使用的 IC 數較少）之優點。下列為針對全部 由 NANDGate 或 NOR Gate 的邏輯電路化簡方法。 節目錄節目錄 .17 1. 多層 NAND Gate 邏輯電路分析 邏輯電路若是由多層的 NAND Gate 所組成， 則將標示為奇數層的 NAND Gate，全部轉換成具 反相輸入的 OR Gate；而標示為偶數層的 NAND Gate，則保持不變。 2. 多層 NOR Gate 邏輯電路分析 簡化的方法與多層的 NAND Gate 邏輯電路分 析類似，所不同的，只是將標為奇數