时间序列分析总复习

1、精品王茂林一、选择题1. 已知2000-2006年某银行的年末存款余额，要计算各年平均存款余额，该平均数是：（b ）a.几何序时平均数； b. “首末折半法”序时平均数；c.时期数列的平均数；d.时点数列的平均数。2. 某地区粮食增长量 19901995年为12万吨，1996 2000年也为12万吨。那么，19902000年期间，该地区粮食环比增长速度（d）a.逐年上升 b.逐年下降 c.保持不变 d.不能做结论3.某商业集团2000 2001年各季度销售资料如下：2000 年2001 年123412341.零售额（百万）40423844485040602.季初库存额（百万）202122242

2、52623283.流通费用额（百万）3.83.22.83.23.03.13.14.04.商品流转次数（次/季）1.9519.51.651.81.882.041.632.03上表资料中，是总量时期数列的有（d）a. 1、2、3 b. 1、3、4 c. 2、4 d. 1、34.利用上题资料计算零售额移动平均数（简单，4项移动平均），2001年第二季度移动平均数为（a）a. 47.5 b. 46.5 c. 49.5 d. 48.4二、判断题1. 连续12个月逐期增长量之和等于年距增长量。2. 计算固定资产投资额的年平均发展速度应采用几何平均法。3. 用移动平均法分析企业季度销售额时间序列的长期趋势时

3、，一般应取4项进行移动平均。4. 计算平均发展速度的水平法只适合时点指标时间序列。5. 某公司连续四个季度销售收入增长率分别为9% 12% 20%和18%其环比增长速度为 0.14%。正确答案：（1）错；（2）错；（3）对；（4）错；（5）错。二、计算题:1 .某企业2000年8月几次员工数变动登记如下表:8月1日8月11日8月16日8月31日1 2101 2401 3001 270试计算该企业8月份平均员工数。y来表示，则:解：该题是现象发生变动时登记一次的时点序列求序时平均数，假设员工人数用丫 丫2彳2- ynfny=f1f2 fn1210 10 1240 5 1300 15 127031

4、1260（人）该企业8月份平均员工数为1260人。2.某地区“十五”期间年末居民存款余额如下表:（单位：百万）年份200020012002200320042005存款余额7 0349 11011 54514 74621 51929 662试计算该地区“十五”期间居民年平均存款余额。解：居民存款余额为时点序列，本题是间隔相等的时点序列，运用“首末折半法”计算序时平均数。y=y2- y n-1n-1Yn2703429110 11545 14746 21519296622=15053.60 （百万）该地区“十五”期间居民年平均存款余额为15053.6百万。3. 某企业2007年产品库存量资料如下：单

5、位：件日期库存量日期库存量日期库存量1月1日634月30日509月30日601月31日605月31日5510月31日682月28日886月30日7011月30日543月31日467月31日4812月31日588月31日49试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均库存量。解：产品库存量是时点序列，本题是间隔相等的时点序列，运用“首末折半法”计算平均库存量。为Xn1X2. Xn-17计算公式：2 2 x=n-1x1=63 60 88 46第一季度平均库存量:第二季度平均库存量:46X267.50 （件）50 55 7054.33 （件）63 60 88 46 50 55 70上半年平均

6、库存量：y1=262692（件）6360 . 545870 48 49 60 68 54 58下半年平均库存：y2 =2257.17 （件）659.04 （件）51.41208.94.25%14152全年的平均库存量:4. 某企业20002005年底工人数和管理人员数资料如下:单位：人年份工人数管理人员数年份工人数管理人员数20001 0004020031 2305220011 2024320041 2856020021 1205020051 41564试计算19912005年该企业管理人员数占工人数的平均比重。 解：本题是计算相对数序时平均数。计算公式：y aby ：管理人员占工人数的比重；

7、a：管理人员数；b：工人数。aia na2an i2 2n 1406443 50526022551.4（人）bn2100012021120 1230 1285251208.9（人）2001 2005年企业管理人员占工人数的平均比重为4.25 %5 .某地区20002005年社会消费品零售总额资料如下：单位：亿元200020012002200320042005社会消费8 2559 38310 98512 23816 05919 710零售总额要求：计算全期平均增长量、平均发展速度和平均增长速度，并列表计算（1）逐期增长量和累积增长量；（2）定基发展速度和环比发展速度；（3）定基增长速度和环比增长

8、速度；（4）增长1%的绝对值。解：单位：亿元年度200020012002200320042005社会消费品零售额（yi）8255938310985122381605919710逐期增长量（yiyi 1)11281602125338213651累积增长量（yiy。）112827303983780411455定基发展速度(yi / y)(%)113.66133.07148.25194.54238.76环比发展速度（yi / yi 1）（%）113.66117.07111.41131.22122.73定基增长速度（yj / y01)13.6633.0748.2594.5438.76(%)环 比 增长

9、速度(yi / yi 11) (%)13.6617.0711.4131.2222.73增长1 %(yi 1/100)的增长量82.5593.83109.85122.38160.5911455平均增长量=2291 （亿元）5平均发展速度=n 5 19710119.01%Vo V 8255平均增长速度=119.01 % 100%= 19.01 %6 .某地区2006年末人口数为2000万人，假定以后每年以9%o的速度增长，又知该地区2006年GDP为1240亿元。要求到 2010年人均GDP达至U 9500元，试问该地区 2010年的GDP应达到多少？ 2007年到 2009年GDP的年均增长速度

10、应达到多少？解：2004 年末该地区人口：2000 （1 0.009）3 = 2054.49 （万人）2005 年末该地区人口：2000 （1 0.009）4 = 2072.98 （万人）2005 年该地区的平均人口为：（2054.49+2072.98 ） /2=2063.76（万人）所以，该地区 2005 年的 GDP 9500 X 2063.76 = 19605625 （万元）精品2002 2004年该地区 GDP勺年均增长速度:4 ”960.5625:124010.121312.13%精品所以，要使2005年的人均 GDP达至U 9500元，2002 2005年GDP勺年均增长速度应达到

11、12.13 %。7.某企业19932007年产品产量资料如表：要求：（1）进行三项中心化移动平均修匀。（2）根据修匀后的数据用最小二乘法配合直线趋势方程，并据以计算各年的趋势值。（3）预测2009年该企业的产品产量。单位：件年份产量年份产量年份产量199334419984682003580199441619994862004569199543520004962005548199644020015222006580199745020025802007629解：（1）三项中心化移动平均修匀:年份19931994199519961997数据344416435440450三项移动平均398.33430

12、.33441.67452.67年份19981999200020012002数据468486496522580三项移动平均468483.33501.33532.67367.33年份20032004200520062007数据580569548580629三项移动平均576.3565.67565.67585.67一（2）直线趋势方程：y? ? 红将修匀后的数据代入最小二乘法求参数的公式:，可得:47122.42 丄 91 6370.97131 28199121347122.42 44596.7913.881826370.971313.88 9113392.93y 392.93 13.88ti最小二

13、乘法计算表年份时间变量t i产量yti2t iyi199419851996199719981999200020012002200320042005200612345678910111213398.33430.33441.67452.67468483.33501.33532.67367.33576.3565.67567.67585.67149162536496481100121144169398.33860.661325.011810.6823402899.983509.314261.363305.9757636222.376812.047613.71合计916370.9781947122.42

14、（件）&某市集市2004-2007年各月猪肉销售量（单位：万公斤）如下表：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月20044050413945536873504843382005435245414865798664604541200640645856677484957668565220075572626070869810887786358试分别用同期平均法和移动平均剔除法计算季节指数。 解：（1）用同期平均法中的比率平均法计算季节指数第一、计算各周期月平均数：1 12yj，得:12 j=1y.|= 49, y2= 55.75 , y3= 65.83 , y4= 74.75第二、计

15、算各指标值的季节比率和季节比率的平均数:季节比率：竺年份19941995199619971998趋势值406.81420.69434.57448.45462.33年份19992000200120022003趋势值476.21490.09503.97517.85531.73年份2004200520062007趋势值545.61559.49573.37587.25根据方程计算各年的趋势值，得到如下数据:（3）根据配合的方程，对 2009年企业的产品产量进 行预测。2002 年时，t = 15,所以预测值为：y 392.93 13.88 15601.13Yi季节比率平均数:A1，结果如下:计算季节比

16、率和季节比率平均数(最后一行是季节比率平均数，其余是季节比率)月年12345678910111219980.821.020.840.80.921.081.391.491.020.980.880.7819990.770.930.810.740.861.171.421.541.151.080.810.7420000.610.970.880.851.021.121.281.441.151.030.850.7920010.740.960.830.80.941.151.311.441.161.040.840.78Sj0.730.970.840.800.931.131.351.481.121.030.84

17、0.77第三，计算季节指数：Q* 12Sj 二 pSjj 112首先计算Sj之和：Sj = 12j 1所以，各时期的季节比率等于其季节指数。(2)用移动平均剔除法计算季节指数猪肉销售中心化移动平均季节比季节比率的平均年月量数率数40200415024133944555366849.131.3841.3677349.331.481.4785049.581.0081.0894849.830.9631104350.040.8590.81113850.670.750.73124351.630.8330.76年月猪肉销售量中心化移动平均数季节比率季节比率的平均数2005. 11.015252.630.9

18、8820.874553.750.83730.824154.830.74840.954855.420.86651.156555.631.1696Si 127955.631.42786561.53686457.041.12296058.211.031104559.630.755114160.790.674124061.380.6522006. 16461.961.03325862.830.92335663.670.8846764.461.03957465.381.13268466.461.26479567.421.40987667.921.11996868.250.996105668.540.81

19、7115269.170.752125570.250.7832007. 17271.381.00926272.380.85736073.250.819457073.960.94668674.51.15479881089871078由于Sj 12，所以，季节指数等于季节平均数。19929.某地区1998年到2007年的GDF如下表，请选择最适合的a值，并用一次指数平滑模型预测年2001年的GDP（单位：亿元）。年份19981999200020012002GDP216266345450577预测值275.67344.31448.94575.72年份20032004200520062007GDP679

20、7488168951036预测值677.97747.3815.31894.21034.58解：本 年份GDP年份GDP19982162003679始值So为1999266200474820003452005816和2000年20014502006895平均数，200257720071 036275.67。按照均方根误差最小的原则选取的值。具体过程略，最后选定题取平滑初1998、 1999GDP的算术S01)=0.99，预测值如下所示:一、随机过程(Stochastic Process)定义 设(Q ,F,P )是概率空间，T是给定的参数集，如果对于任意 t T,都有一定义在(Q ,F ,P )

21、 上的随机变量X(t, 3 )与之对应，则称随机变量 族X(t, 3 ),t T为随机过程。简记为X(t,),t T或Xt,t T 或 Xt离散参数的随机过程也称为随机序列或(随机)时间序列。上述定义可简单理解成：随机过程是一簇随机变量Xt,t T，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=0, 1, 2,时，即时刻t只取整数时，随机过程Xt,t T可写成如下形式，Xt,t=0, 1, 2,。此类随机过程 X是离散时间t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即Xt ,t=0

22、, 1, 2,就是一个离散随机序列。二、时间序列的概率分布和数值特征1、时间序列的概率分布一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量 X=(,X-1,X0,X1,)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。时间序列所有的一维分布是：，F-1( ) , F0( ) , F1( ),所有二维分布是：Fij( , ) , i , j=0, 1, 2,(i 丰 j) 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。2、时间序列的均值函数一个时间序列的均值函数是指：EXtXdFt(X)其中EXt表示在t固

23、定时对随机变量 Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft( )有关。3、时间序列的协方差函数与自相关函数与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数 定义为：(t,s) E(Xt t) Xs s(X t) Yss dFt&(X,Y)其中Ft,s(X,Y)为(Xt, Xs)的二维联合分布。类似可以定义时间序列的自相关函数，即：(t,s)(t,s)A (t,t) (s,s)时间序列的自协方差函数有以下性质：(1) 对称性：(t,s)(s, t)(2) 非负定性：对任意正整数m和任意m个整数ki, k 2,。km,方阵k1,k1k1,k2 卅k1 ,k mkzKkzh U1k2,kmm II

24、I III 1Hlkm,k1km,k21km,k为对称非负定矩阵。时间序列的自相关函数同样也具有上述性质且有p (t,t)=1。三、平稳随机过程平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时 间序列的统计分析。(一) 两种不同的平稳性定义：1、严平稳：如果对于时间t的任意n个值ti,t2,|,tn和任意实数，随机过程Xt的n维分布满足关系式:Fn MM |Xn；ti，t2，| 卜Fn ,X2j|Xn；t1,t2，| J则称Xt为严平稳过程。2、宽平稳：若随机过程Xt,t T的均值(一阶矩)和协方差存在，且满足(1) E Xt at T(2) E Xt

25、k a Xt a k t,t k T则称 Xt,t T为宽平稳随机过程。通常说的平稳是指宽平稳。二者的联系：(I) 严宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言二阶矩存在。(n)宽严，这是不言而喻的。(川)严平稳+ 二阶矩存在宽平稳。但反过来一般不成立。(W)对于正态过程来说，有：严平稳宽平稳(二) 平稳时间序列自协方差函数和自相关函数为了叙述方便，常假定平稳时间序列Xt的均值为零，即 E Xt 0。当EXt 0时用以下记号表示平稳序列Xt的自协方差函数，即k E Xt k EXt k XtEXtEXtXt k相应地，Xt的自相关函数用以下记号k k：0平稳序列X

26、t的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质:(1) 对称性：k k, k(2) 非负定性：对于任意正整数m，Rmm-1m-2为非负定对称方阵;(3)k 0， k 1 (三) 平稳序列的样本统计量(1) 样本均值时间序列无法获得多重实现，多数时间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。即Xt上式的估计是无偏的。(2) 样本自协方差函数kxt XXt kXtXt k第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。其它概率性质和偏自相关函数的定义将在以后章节介绍。四、几类特殊的随机过程(序列)：1、纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯

27、随机过程。2、 白噪声序列(White noise ):如果时间序列 Xt满足以下性质：(1)E Xt 0(2)E XtXs2t,s式中，当t丰s时,t,s 0, t,t 1。称此序列为白噪声序列，简称白噪声。白噪声是一种最简单的平稳序列。(3) 独立同分布序列：如果时间序列 Xt,t T中的随机变量 X,t=0, 1, 2,为相互独立的随机变量，而且X具有相同的分布，称这样的时间序列Xt ,t T为独立同分布序列。独立同分布序列是一种最简单的严平稳序列。一般说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，当白噪声序列为正态序列时，它也是独立 同分布序列，此时称之为正态白噪声序列。(4)独立增

28、量随机过程：对于任意正整数n,任意ti T i 1,2, ,n乙t2tn，随机变量Xt2 Xti, Xt3 Xt2,川Xtn Xtn 1相互独立。简单地讲，就是任意两相邻时刻上的随机变量之差(增量)是相互独立的。(5)二阶矩过程：若随机过程Xt，t T对每个t T, Xt的均值和方差存在，则称之为二阶矩过程。(6)正态过程：若Xt ,t T的有限维分布都是正态分布，则称Xt ,t T为正态随机过程。主要介绍三种单变量模型：自回归( AR模型、移动平均(MA模型和自回归移动平均(ARMA模型。第一节自回归模型一、一阶自回归模型 AR(1)如果时间序列独立，就是说事物的后一时刻的行为主要与其前一时

29、刻的行为毫无关系。这样的资料所 揭示甲统计规律就是事物独立地随机变动，系统无记忆能力。如果情况不是这样，资料之间有一定的依存 性。后一时刻的行为主要与前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即已知Xt-1 ；X主要与X-1相关。用记忆性来说，就是最短的记忆，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的 数学模型就是一阶自回归模型。即XtiXt i at记作AR( 1)。其中X零均值平稳序列，a t为随机扰动。1、一阶自回归模型的特点X对Xt-1有线性相关关系a t为独立正态同分布序列EgXtj)0, j 1,2,2、AR( 1)与普通一元线性回归的关系精品两个变量，Y为随机变量

30、，X为确定性变量； 一个变量，Xt为随机变量E( i)0 ；COV( Ij)0 i jvar( i)2；cov( X ii)0 ；iN0,2at为白噪声序列，E(aJ 0 ;E(atX)0, j 1,2,.；还可假定at为正态分布。精品主要区别：(1) 普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；AR( 1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2) 普通一无线性回归表示的是一随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR( 1)表示的是一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3) 普通线性回归是在静态的条件下研究的；AR( 1)是在动态的条件下研究的。(4) 二者的假定不同。(5) 普通回

31、归模型实质是一种条件回归，而AR( 1)是无条件回归。主要联系：固定时刻t-1，且观察值Xt-1已知时，AR( 1)就是一个普通的一元线性回归。二、AR (1)模型的特例一随机游动1、随机游动模型Xt Xt 1 at2、模型的特性(1) 系统具有极强的一期记忆性，系统在t-1和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致，差异完全是由扰动引起的。(2) 在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应X-1，即乂 Xt 1。(3) 系统行为是一系列独立随机变量的和，即Xtat jj0三、一般自回归模型 AR(n)XtiXti2Xt2 . nXt n可其中：引为白噪声，丘佝Xt j) 0, j

32、 1,2,。第二节 移动平均模型一、一阶移动平均模型 MA( 1)如果系统的响应 Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动at存在一定的相关关系，则有 MA( 1)模型：Xt atiat i其中：at为白噪声。MA( 1)模型的基本假设为：(1)系统的响应X仅与其前一时刻进入系统的扰动at有一定的依存关系；(2) at 为白噪声。二、一般移动模型ma( m模型的形式：Xt at 1at 1 1at 2 . mat m其中：(1) Xt仅与t 1 , t 2，t m有关，而与 t j (j=m+1,m+2,)无关；(2) t为白噪声。第三节自回归移动平均(ARMA模型一、 ARMA(2， 1)模型1 、

33、ARMA(2， 1 )模型的形式：Xt 1Xt 12 Xt 2 t 1 t 1其中：Xt与Xt 1 Xt 2和t1有相关关系，t白噪声。2、ARMA(2， 1)模型的结构：ARMA( 2， 1)模型是由一个 AR( 2)和一个 MA( 1)两部分构成。3、ARMA( 2, 1)与 AR( 1)的区别从模型形式看，ARM(2, 1)比AR( 1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA(2, 1 )比AR (1)具有更长的记忆；从计算t所需的资料看，ARMA(2, 1)需要用t期以前的t 1， t 2，这需要从初期开始递归地计算出来，0通常取零；从参数估计来看，ARMA(2, 1 )比AR( 1)困

34、难。二、ARMA(n，n-1 )模型Xt1 Xt 1 .n Xt n t 1 t 1 . n 1 t n 1ARMAn,n-1 )模型的基本假设为：t独立于t j (j=n,n+1,),从而t独立于 Xt j (j=n+1,n+2,)三、ARMA(n，n-1) 模型的合理性为什么我们以 ARMA(n，n-1) 模型为一般形式来建立时序模型呢 ?难道一个 ARMA(n，n-1) 模型总可以描 述一个时间序列吗 ?对于平稳系统来说，这是毫无疑问的。之所以以ARMA(n，n-1) 为基本模型是因为下述理由：第一，AR、MA ARMA(n m)模型都是ARMA(n n-1)模型的特殊情形。第二，理论依

35、据：用 Hilbert 空间线性算子的基本理论可以证明，对于任何平稳随机系统，我们都可以用一个ARMA(n n-1)模型近似到我们想要达到的程度；用差分方程的理论也可以证明，对于n阶自回归,MA模型的阶数应该是 n-1。第三，从连续系统的离散化过程来看，ARMA(n n 1)也是合理的。在一个 n阶自回归线性微分方程和任意阶的移动平均数的形式下，如果一个连续自回归移动平均过程在一致区间上抽样，那么，这个抽样过 程的结果是 ARMA(n，n-1) 。【章节实验】利用 Eviews软件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。第三章 ARMA模型的特性本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式

36、、 平稳性和可逆性条件、AFC和PAFC的形式 和特点。第一节 线性差分方程一、后移 (Backshift) 算子 :1. 定义：后移算子B定义为BXt Xt 1，从而BmXt Xt m。2. 后移算子的性质：(1) 常数的后移算子为常数： Bc c(2) 分配律： (Bm Bn)Xt BmXt BnXt Xt m Xt n 结合律：BmBnXt Bm(BnXt) BmXtn Xtmn1(4)后移算子B的逆为前移算子 B Xt Xt iX对于 1，无限求和得(1 B2B23B3)Xt 1 B前面的MA(m濮型、AR(n)模型和ARMA(n小模型可分别表示为：Xt(B)at(B)Xt at(B)

37、Xt(B)at其中：(B)11B2B2IIInBn(B) 11B2B2IIImm B二、线性差分方程Xt1Xt 12Xt 2IIInXtnat1at 12at 2 川mat可将写成(B)Xt(B)at这里(B) 11B2B2IIInBn(B) 11B2B2IIIm m B差分方程通解为:Xt C(t) I(t)这里，C (t)是齐次方程解，I (t)是特解。三、齐次方程解的计算无重根考虑齐次差分方程(B)Xt 0其中(B)(1 G1B)(1 G2B)|(1 GnB)假定G, G,，G是互不相同，则在时刻 t的通解:Xt AG； A2G；卅 AnGn其中A为常数（可由初始条件确定）。重根 设（B

38、）0有d个相等的根Go1，可验证通解为Xt （Ao At A?川 Ad ；td ；）G0对一般情形，当 （B）的因式分解为(1 GB)(1 G2B)(1G(B)(1GB)dd 1齐次方程解便是Ck(t) G0Ajtjj 0n/DiG；i 1因此，齐次方程解是由衰减指数项G、多项式tj、衰减正弦项Dsi n(2n f t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。上述过程中计算 Gi并不方便，通常通过解方程nn 11n 22n0得到其根为：i,i 1,2,., n。由于 n1 n 1n22n 0的根与11B2B2 HlnBn 0的根互为倒数，因此i Gi。非齐次方程的特解通常情况下不容易得到，没有一个

39、“万能钥匙”，需要具体问题具体分析，只能对一些具有特殊形式非齐次项的方程进行讨论。此处丛略。第二节 格林函数（Green s function） 和平稳性（Stationary）一、格林函数（Green s function）1、定义：设零均值平稳序列 Xt,t 0, 1, 2,.能够表示为Xt Gjat j（ 1）j 0则称上式为平稳序列 Xt的传递形式，式中的加权系数 Gj称为格林（Green）函数，其中G0 1。2、格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。式（1）可以记为Xt G B at(2)其中G B式(1)表明具有传递形式的平稳序列xt可以由现在时刻以前的白噪声通过系

40、统“G BGjBj ”j 000精品的作用而生成，Gj是j个单位时间以前加入系统的干扰项 at j对现实响应Xt的权，亦即系统对at j的“记忆”。AR( 1)系统的格林函数由AR (1)模型XtXt 1atXt1Xt1(a t 1)at即: Xt1at j则AR(1)模型的格林函数 Gj。如右11，则Gj随着j的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；相反，若 10，则Gj随着j的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR( 1)系统对扰动 t的记忆情况(三个序列由同一正态白噪声序列模拟生成)：-22030VI*60570W80Xt 0.9Xt iatX

41、t 0.1Xt 1 atXt 0.9Xt 1 at比较前后三个不同参数的图，可以看出:(1) 1取正值时，响应波动较平坦。(2) i取负值时，响应波动较大。(3) i越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。由于 Xt1jatj at1at 1:at2.at1at 12at 2.其中1jj ,因此 AR( 1)模j 0型可用一个无限阶 MA来逼近，这说明 AR模型是一种长效记忆模型。三、AR系统的平稳性1、由平稳性的定义求 AR(1)系统的平稳性条件将AR ( 1)模型Xt1Xt 1 at两边平方再取数学期望，得到E(Xt2) E( 1Xt1 at)212E(Xt21) E(at2) 2

42、 1E(Xat)12e(x：)a如果序列Xt是平稳的，则有E(Xt2) E(X：)，由上式可得(112)E(Xt2)2E(Xt2)a(112)由于E(Xt2)是非负的，所以a12)0，从而11，这就是AR( 1)模型的平稳性条件。利用滞后算子B, AR( 1)模型可以写为(B)Xt at式中(B)1 iB ,那么平稳性条件,1就等价于(B)0的根在单位圆外(或()i 0的根落在单位圆内)。上述平稳条件可以推广到 AR(n)模型，即(B)Xt at其中：(B) 1 iB 2B2川nBn的平稳性条件为：(B) 0的根在单位圆外(或()n 1 n 12 n2川n 0的根在单位圆内)。2、由格林函数求

43、 AR(1)模型的平稳性条件对于AR(1)系统来说，其平稳性条件也可以由格林函数得出。如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着j fa,扰动的权数 Gj 0，由于Gj = 1故必有j T8, 10 ,显然，这就是AR(1)系统平稳性条件。反过来，若1，则称AR(1)为渐近稳定的，也必是平稳的。1 时，Gj =1；当 1 =1 时,Gj =(-1) J1 =-1 时这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的,这时系统为临界稳定的，系统可能存在某种趋势例:解:或季节性。1时，j *, Gj fa,

44、任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。求AR( 2)模型的平稳域120的根1根据AR模型的平稳性的条件1(i1,2)2)由于因此1,2是实数,2必同为实数或共轭复数,精品1*1-1 、fl/ /由于1( 1,2),特征方程()故AR( 2)模型的平稳域为四、格林函数与 Wold 分解(Wold s Decomposition)所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和。由于这一思想是由Wold引入(1938年)到时序分析中的，故叫做 Wold分解。他认为可以用线性空间来解释

45、 ARMA莫型 的解。在n维线性空间Ln中，n个线性无关的向量 a1,a2,.an称为空间的一组 基。设 可由线性表示:k?a2 kn a精品其中ki由向量 和ai唯一确定，ki称为向量关于基ai的坐标。如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解Xt1 at jj 0由于at j是相互独立的，可看作线性空间的基j (或无限维坐标轴)，显然Xt可由at j线性表示，其系数Gj就是Xt对于at j的坐标，Xt就是Gj at j的正交向量的和。因而上式也叫做Wold分解式，其系数叫Wold系数。Wold系数是线性空间格林函数和 Wold系数是同一客体从不同角度观察的结果，二者是完全一致的。解释，格林函数是系统解释。五、ARMA模型格林函数的通用解法ARMA (n ,m模型(B)Xt(B)且Xt G(B)at则(B)G(B)(B)