（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习 专题8 立体几何 8.2 空间点、线、面的位置关系课件

1、高考数学（浙江专用）高考数学（浙江专用） 8.2空间点、线、面的位置关系 考点考点 空间点、线、面的位置关空间点、线、面的位置关 系系 考点清单考点清单 考向基础考向基础 一、空间点、线、面的位置关系一、空间点、线、面的位置关系 1.公理公理1、公理、公理2及其推论、公理及其推论、公理3 2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 3.平行直线平行直线 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这就是公理4.用符号表示如下: 设a、b、c为三条不同的直线,ab且bc,则ac. 4.等角定理等角定理 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的 锐角(或直角)相等. 位置关系公

2、共点的个数 共面 直线 相交直线有且仅有一个公共点 平行直线没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点 二、异面直线及所成角的计算二、异面直线及所成角的计算 1.异面直线异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)性质:两条异面直线既不相交又不平行. 2.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐角(或直角)叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角 为,则.0, 2 考向突破考向突破 考向一考向一 空间点、线、面位置关系的判定空间点、线、面位置关系的判定 例例1(2018浙江浙东北联盟期中,16)

3、正四面体ABCD的棱长为6,其中AB 平面,E,F分别为线段AD,BC的中点,当正四面体以AB为轴旋转时,线 段EF在平面上的射影长的取值范围是. 解析解析如图,设AC中点为G,连接GF,GE,结合已知可得GFAB,在正四 面体中,有ABCD,又GECD,GEGF,EF2=GE2+GF2,当四面体以 AB为轴旋转时,GF平面,GE与GF的垂直关系保持不变,当CD与 平面垂直时,GE在平面上的射影长最短,为0,此时EF在平面上的射 影E1F1的长取得最小值3,当CD与平面平行时,GE在平面上的射影长 取得最大值3,E1F1取得最大值3,所以线段EF在平面上的射影长的取 值范围是3,3. 2 2

4、答案答案3,3 2 考向二考向二 异面直线所成的角异面直线所成的角 例例2(2018浙江9+1高中联盟期中,9)已知PABC是正四面体(所有棱长 都相等的四面体),E是PA中点,F是BC上靠近点B的三等分点,设EF与 PA、PB、PC所成角分别为、,则() A.B. C.D. 解析解析分别取AB中点G,AC中点H,连接GE,GF,EH,FH,AF,如图所示,设 正四面体PABC的棱长为a,则=FEA,=FEG,=FEH,EH=,EG= . 根据余弦定理可得AF2=a2,GF2=a2,FH2=a2, 2 a 2 a 7 9 7 36 13 36 cos=,cos=,cos =, coscos.故

5、选D. 2 22 7 49 2 2 a EFa a EF 2 2 19 36 a EF aEF 2 22 7 436 2 2 a EFa a EF 2 2 18 a EF aEF 2 22 13 436 2 2 a EFa a EF 22 1 9 EFa aEF 答案答案D 方法方法 求异面直线所成角的方法求异面直线所成角的方法 1.定义法 利用定义求异面直线所成的角常采用“平移法”,“平移法”求异面直 线所成的角的步骤: (1)平移找角(作角); (2)证明:推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成的角; (3)求解:利用解三角形求出角的大小,注意异面直线所成的角的范围. 平移的方法一般

6、有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点 (线段的端点或中点)作平行线平移;利用异面直线所在几何体的特点,补 方法技巧方法技巧 形平移.计算异面直线所成的角通常在三角形中进行. 2.向量法 建立空间直角坐标系,转化为求两个向量的夹角(注意角的范围的区别). 例例(2017浙江温州2月模拟,8)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC平面 BCD,BAC与BCD均为等腰直角三角形,且BAC=BCD=90,BC= 2,点P是线段AB上的动点(不含端点),若线段CD上存在点Q(不含端点), 使得异面直线PQ与AC成30的角,则线段PA的长度的取值范围是( ) A.B. C.D. 2 0, 2

7、6 0, 3 2 , 2 2 6 , 2 3 解析解析解法一:如图,将题图中的三棱锥补全为一个长方体,在平面ABC 内,过点P作AB的垂线交CE于点R.因为ACAB,PRAB,所以ACPR, 因而RPQ即为异面直线PQ与AC所成的角,所以RPQ=.设AP=x,则 CR=x,在直角三角形PQR中,易求PR=,所以RQ=.在直角三角形 CRQ中,CQ=(0,2),故0 x2,解得x,故选B. 6 2 2 3 2 2 3 x 2 3 6 0, 3 解法二:以C为原点,CD,CB分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系(图略),则 A(0,1,1),B(0,2,0),D(2,0,0).设Q(y,0,0),=x=x(0,1,-1)=(0,x,-x),其中0 x 1,0y2.故P(0,1+x,1-x),则=(y,-1-x,-1+x), 所以=|cos|=, AP AB PQ 3 2 AC PQ 222 |2| 2(1)(1)yxx 即=在y(0,2)上有解,即y2=-2x2(0,4),所以0 x2, 所以|=x|=,即|.故选B. 6 4 22 1