第1章勾股定理 题型全解7 勾股定理与线段最值问题题型-北师大版八年级数学上册

1、 勾股定理题型解读7 勾股定理与线段最值问题题型【知识梳理】一.平面图形中线段和差问题最值的“将军饮马问题”1.基础题型：两条线段出现三个点：两个定点+一个动点 解题方法：先作图再计算解答 作图思路：任选两定点中的一个定点作对称点，动点所在的线段为对称轴，连接对称点与另一个定点，所连的线段即是要求的最小值，所连线段与对称轴的交点为动点所在的位置。2.两条线段出现三个点：一个定点+两个动点作图思路：作定点的对称点，一般两种处理方法：能作两次对称的作两次对称，再连接两个对称点，连接线段即是最小值，与两条对称轴的交点分别是两动点位置；只能做一次对称的作一次对称，再作对称点到另一动点所在线段的垂线段，

2、该垂线段即为最小值，垂线段与对称轴的交点即为一个动点所在位置，垂足为另一动点所在位置。二.空间立体图形中路线最短问题：1.解题思路：图形展开+勾股定理2.长方体中的路线最短问题 若是解答题，需分三种情况一一求解，最后比较确定最短距离；若是填选题，解题技巧是：直接用公式求解，最短距离=(最短+较短)2+(最长)2,3.注意立体图形中的路线的起点、终点在展开图中的位置；三.单独一条线段的最短问题解题方法：作垂线（点到直线的各连线中，垂线段最短）【典型例题】例1.如图，c为线段bd上一点，分别过点b、d作abbd，edbd，连接ac、ec，已知ab=5，de=1，bd=8，设cd=x.（1）用含x的

3、代数式表示ac+ce的长；（2）请问点c满足什么条件时，ac+ce的值最小，并求出它的最小值？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出x2+4+(12-x)2+9代数式的最小值。【思路分析】（1）两次利用勾股定理即可求解；（2）利用“将军饮马问题”总体解题思路“化曲为直”，即可得出：当a、c、e在同一直线上时，ac+ce的值最小；（3）参照（1）及图，把x,2,12-x,3转化成线段长，即可构图，利用（2）的解题思路即要求解；【解题过程】（1）在rtabc中，ab=5，bc=8-x,ac=ab2+bc2=52+(8-x)2, 在rtabc中，de=1，cd=x,ce=cd2+de2=x2+1

4、,ac+ce=52+(8-x)2+x2+1=25+(8-x)2+x2+1（2）如图1，连接ae，由题可得：ac+ceae，当a、c、e三点共线时，ac+ce有最小题，最小题为ae的长.如图2，作efab交ab的延长线于点f，由图可知，四边形bfed是长方形，bf=de=1，ef=bd=8，af=6，在rtafe中，由勾股定理可得：ae=af2+ef2=62+82=10,当c在线段ae上时，ac+ce有最小题，最小值为10；（3）x2+4+(12-x)2+9=x2+22+(12-x)2+32如图，设cd=x，若bd=12，则bc=12-x)在rtabc中，若ab=3，bc=8-x,则ac=ab2

5、+bc2=32+(12-x)2=(12-x)2+9, 在rtabc中，若de=2，cd=x,则ce=cd2+de2=x2+22=x2+4,x2+4+(12-x)2+9=ce+ac，当a、c、e三点共线时，ce+ac有最小值，最小值为ae的长；如图2，作efab交ab的延长线于点f，由图可知，四边形bfed是长方形，bf=de=2，ef=bd=12，af=5，在rtafe中，由勾股定理可得：ae=af2+ef2=52+122=13,x2+4+(12-x)2+9代数式的最小值为13.例2.如图，在等边abc中，ab=6，adbc，e是ac上一点，m是ad上一点，且ae=2，em+mc的最小值是 解

6、析：点c关于直线ad的对称点是b，连接be，交ad于点m，则be就是me+md最小的值.如图1，过点b作bhac于点h，则eh=ah-ae=3-2=1，bh=62-32=33，在rtbhe中， be=(33)2+12=27 例3.如图，已知aob=45，p是aob内部一点，且op=2，点e、f分别在oa、ob 、上，则pef周长的最小值等于_解析：分别作点p关于射线oa、ob的对称点m、n，连接mn，分别交射线oa、ob于点e、f，pef周长的最小值=pe+pf+ef=mn，mn即为所求。1=2，3=4，1+3=45，mon=90，op=om，op=on，om=on=op=2，mon是等腰直角

7、三角形，mn=2，即pef周长的最小值等于2.例4.如图，在锐角abc，ab=42，bac=45，bac的平分线交bc于点d，m、n分别是ad和ab上的动点，则bm+mn的最小值是_解析：作点关于ad的对称点b，过点b作bnab于点n，交ad于点m，则线段bn的长就是bm+mn的最小值，在等腰rtan b中，根据勾股定理得到，bn=4例5.如图，在棱长为10厘米的正方体顶点a处有一只蚂蚁，现向b处爬行，它以1厘米/秒的速度匀速爬行，问它能否在20秒内爬到b？解析：由于正方形六个面的大小完全相同，故路线只有一种，展开图如图，ab即为路线的最短距离，ac=20，bc=10，由勾股定理可得ab=10

8、5，而蚂蚁20秒可爬行20厘米，由于20=400105，故不能达到。例6.如图,有一个长方体,长、宽、高分别为6，5，3.在a点有只蚂蚁，它想吃到b处的食物，需要爬行的最短路程是多少？解析：若走“前+上”，展开图如图1，则ab=(3+5)2+62=100=10；若走“左+上”，展开图如图2，则ab=(3+6)2+52=106；若走“前+右”，展开图如图3，则ab=(5+6)2+32=130；100106130，需要爬行的最短路程是10.附：从展开图看，长方体的三种情形分别是三种面的两两组合的三种情况；从计算过程看，三种情形是长、宽、高中任两个的各的平方与另一个数的平方和，再开根号；填选题中，直

9、接用公式求解，最短距离=(最短+较短)2+(最长)2,例7.如图是一个圆柱高8cm,底面半径为2cm的圆柱（1）一只蚂蚁从点a爬到点b处吃食,要爬行的最短路程(取3)是多少？解析：将圆柱侧面展开如图，由题可知：ab即为爬行的最短路程，bd=8cm，ad的长为圆柱底面周长的一半，即6cm，由勾股定理可得ab=10cm（2）一只蚂蚁从点a绕壁爬到点c处吃食,要爬行的最短路程(取3)是多少？解析：将圆柱侧面展开如图，由题可知：ac即为爬行的最短路程，bd=8cm，ad的长为圆柱底面周长，即12cm，由勾股定理可得ac=413cm（3）用一条丝带从a到c如图所示缠绕，丝带的最短长度是多少cm？(取3)

10、解析：将圆柱侧面展开如图，由题可知：ac即为爬行的最短路程，cp=8cm，ap的长为圆柱底面周长的1.5倍，即18cm，由勾股定理可得acb=86cm例8. 如图，长方体abcd-a1b1c1d1中，点e是棱b1c1的中点，且b1c1=2，ab=bb1=3,一只蚂蚁从盒底的点a沿盒的表面爬到盒顶的点e处，它爬行的最短路程是（ ） a. 5 b. 7 c. 3+10 d. 32+1解析：简化图形，即沿长是3、宽是1、高是3的长方体表面从a爬到e，依最短路线公式可得最短路程是ae=(1+3)2+32=5,选a例9.如图，圆柱体容器高为18厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底4厘米的点b处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2厘米与蜂蜜相对的点a处，则蚂蚁从外壁a处到达内壁b处的最短距离为多少厘米？解析：题目实质求的是两条线段和的最小值，是“将军饮马问题”，如图，作点a关于ef的对称点a，连接ab，ab即是蚂蚁从外壁a处到达内壁b处的最短距离，作acbc于点c，由题可知：ac即为圆柱底面周长的一半，12cm，bc=18-4+2=16cm，由勾股定理可得：ab=a