时间序列分析在全国GDP预测中的应用

1、时间序列分析在全国gdp预测中的应用application of time series analysis in forecast gdp of the whole nation摘要：从中国统计年鉴2009选取全国1978年2008年31个年度的gdp的历史数据并画出时序图，再根据时间序列的确定性分析的指数平滑法和随机性分析的取对数法及excel、sas软件对其进行分析与预测，最后得到比较满意的未来5年gdp的预测结果。关键词：gdp 时间序列 指数平滑法 预测abstract：from “china statistical yearbook 2009 select national 1978

2、-2008 31 year of gdp of historical data and draw out plots, again based on time series of deterministic analysis of exponential smoothing, and analysis of the logarithms of randomness and excel, sas software to analyze and forecast, the resulting quite satisfactory for the next 5 years gdp estimates

3、.key words:gdp time series exponential smoothing forecast目 录摘要iabstractii第一章 时间序列分析的概况和基本方法11.1 研究背景及意义11.2 指数平滑法11.3 auto-regressive模型的建模步骤21.3.1 对序列趋势进行auto-regressive拟合21.3.2 残差自相关检验31.3.2.1 检验原理31.3.2.2 durbin-waston检验41.3.2.3 模型拟合51.3.2.4 确定自回归模型的阶数51.3.2.5 参数估计51.3.2.6 模型预测6第二章 实例分析72.1 数据来源72

4、.2 确定性分析-指数平滑法72.3 随机性分析132.3.1 取对数后auto-regressive模型拟合法132.4 未来5年全国gdp的预测17结论18成果声明20参考文献21致谢22第一章 时间序列分析的概况和基本方法1.1 研究背景及意义预测是人们根据事物之间的相互联系，事物发展的历史数据及相关信息，利用己经掌握的科学知识和手段，对客观事物的未来发展状况或趋势进行事前分析和推断的科学与艺术。预测的科学性在于，它有科学基础，包括理论、资料、方法、计算等因素，依赖于对客观经济规律的认识和掌握。预测的艺术特征在于，它依赖于预测者提出假设、选择方法、利用资料的技巧和运用自己的学识、经验、获

5、得的情报进行判断的能力。预测的目的在于为制定计划或进行决策提供客观依据。事物是发展变化的，其结果具有不确定性，与人们的生产活动密切相连。“凡事预则立，不预则废”。社会经济、工程等诸多领域都离不开预测，日常天气的预测、太阳黑子活动的预测、网络流量的预测、企业产品销售量的预测、股票走势预测等等，无一不和我们的生活息息相关。印度洋海啸把人们卷入苦难的深渊，也引发诸多思考。我们现在的预测方法还不够成熟，对一些重大的自然灾害，比如说地震，海啸等，没有形成一种比较合理有效的预测方法。而解决预测问题的最有力的方法是发现、揭示给定动态过程或现象背后的规律。如果其规律能被彻底发现并描述，例如用一组普通的不等式来

6、描述，那么当初始条件已知时就可通过解这组不等式而预测未来，但不幸的是有关事物的信息经常是不完全的，有关理论也是不完善的，人们对事物的了解仅限于观察数据，因此只能利用现有的历史数据构造模型，进而预测未来。时间序列是按照时间顺序取得的一系列观测值。很多数据是以时间序列的形式出现的，如股票市场的每日波动，科学实验，一个工厂装船货物数量的月度序列，公路事故数量的周期序列，某化工生产过程按小时观测的产量等等。人们希望通过对时间序列的分析，从中发现和揭示某一现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多地从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用

7、于预测，以更好地掌握和控制未来行为。从经济到工程技术，从天文地理到气象，几乎在自然科学和社会科学各个领域中都会遇到时间序列，因此对时间序列预测方法进行研究具有重要意义。1.2 指数平滑法 指数平滑法是利用平滑平均数的计算对时间序列进行修匀的一种方法。它对过去的数据分别加以不同的权数，而且更重视近期的数据。即数据越近，权数越大；数据越远，权数越小。与重近轻远原则完全吻合。重近轻远原则所用的权数是按等比级数逐一递减的，这个级数的首项叫平滑常数，用表示，公比为。在指数平滑法中，平滑常数的大小与修匀程度成反比；而在反应最新数据的敏感性方面，与取值大小成正比。如果指数平滑的目的在于用新的指数平滑平均数去

8、反映时间序列中所包含的长期趋势，一般取0.10.3。指数平滑的基本公式是: -时间的平滑值 -时间的实际值 -时间的平滑值 -平滑常数，其取值范围为 1.3 auto-regressive模型的建模步骤 1.3.1 对序列趋势进行auto-regressive拟合auto-regressive模型的构造思想是首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息： 式中，为趋势效应拟合；为季节效应拟合。考虑到因素分解方法对确定性信息的提取可能不够充分，因而需要进一步检验残差序列的自相关性。如果检验结果显示残差序列自相关不显著，说明以上这个确定性回归模型对信息的提取比较充分，可以停止分析了。如果检

9、验结果显示残差序列自相关性显著，说明以上这个确定性回归模型对信息的提取不充分，这时可以考虑对残差序列拟合自回归模型，进一步提取相关信息：这样构造的模型：称为（残差）自回归模型。实践中，对趋势拟合常用如下两种方式：1. 自变量为时间的冥函数 2.自变量为历史观察值 第二种方式和差分方式的原理雷同。对季节效应的拟合也有两种常用的方式：1. 给定季节指数式中，是某个已知的季节指数。2. 建立季节自回归模型假定固定周期为。1.3.2 残差自相关检验1.3.2.1 检验原理确定性模型拟合好之后，我们要对该模型的拟合效果进行检验。如果残差序列显示出纯随机的性质，即就说明确定性模型拟合得非常好，已经能够充分

10、提取序列中的相关信息了，我们不需要再对残差序列进行二次信息提取了，分析结束。反之，如果残差序列显示出显著的自相关性，即那就说明确定性模型拟合得不够精确，序列中的相关信息没有得到充分提取，我们应该对残差序列再次拟合，提取其中残存的相关信息，以提高模型拟合的精度。1.3.2.2 durbin-waston检验durbin-waston检验（简称dw检验）是由j.durbin和g.s.watson于1950年在考虑多元回归模型的残差独立性时提出的一个自相关检验统计量。我们把它借鉴过来进行时间序列残差自相关检验。构造dw检验统计量：在大数场合，有所以dw检验统计量近似等于根据自相关系数的定义，有即 因

11、为，所以。 当时，序列正相关，且时，；时，。根据这个性质，再给定，由n和k的大小查dw分布表，可以确定两个临界值，当时，序列显著正相关，当时，序列显著不相关。当时，现有数据还无法做出肯定判断，需要更多的信息支持。 当时，序列正相关，且时，；时，。同理可以确定两个临界值，当时，序列显著负相关，当时，序列显著不相关。当时，现有数据还无法做出肯定判断，需要更多的信息支持。 根据的对称性，有1.3.2.3 模型拟合1.3.2.4 确定自回归模型的阶数残差序列的自相关图从左到右输出的信息分别是：自相关系数值和自相关图，而它的偏自相关图从左到右输出的信息分别是：偏自相关系数和偏自相关图。从自相关图和偏自相

12、关图可以看出：如果残差自相关系数或偏自相关系数在最初的阶明显大于倍标准差范围，而后几乎95%的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，这时，通常视为自相关系数截尾。截尾阶数为；如果有超过5%的样本相关系数落入倍标准差范围之外，或者是由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续，这时，通常视为相关系数不截尾。为了有效弥补根据自相关图和偏自相关图定阶的主观性，aic准则和sbc准则能够在有限的阶数范围内，帮助我们寻找相对最优拟合模型。之所以称为相对最优模型而不是绝对的最优模型，是因为我们不可能比较所有模型的aic和sbc函数值，再选择

13、其中aic和sbc函数值达到最小的那个模型作为最终的拟合模型，因而这样得到的最优模型就是一个相对最优模型。1.3.2.5 参数估计 单纯根据残差序列的值可以非常容易地确定残差自回归模型的口径： 但是，由于残差序列与序列回归值之间具有相关性，所以按照上述方法将它们分开求解实际上忽略了相关性的影响，这将会降低模型拟合的精度。 所以，参数最优估计应该是在前面分析的基础上，确定回归模型的结构和残差自回归模型的阶数，将所有参数联合求解。1.3.2.6 模型预测根据检验和比较的结果, 选择最后的方程模型,将相应的值带入,就得到原时间序列的将来走势。 第二章 实例分析2.1 数据来源中国统计年鉴2009年中

14、的1978-2008年共31年的数据。国内生产总值(gdp) 受经济基础、人口增长、资源、科技、环境等诸多因素的影响, 这些因素之间又有着错综复杂的关系, 因此, 运用结构性的因果模型分析和预测gdp 往往比较困难。将历年的gdp 作为时间序列, 根据过去的数据得出其变化规律, 建立预测模型, 用此来预测未来的发展变化, 有着重要的意义。 下面以全国19782006年国内生产总值数据( 见表1) 为例, 介绍用时间序列分析法对数据分析的过程, 并通过其预测2007年、2008年的生产总值与实际的生产总值进行比较，选出合理的预测方法，再对未来5年全国gdp做出预测。 表1 全国1978-2006

15、年国内生产总值（gdp）数据（单位：亿元）年份gdp年份gdp年份gdp19783645.22198815042.82199884402.2819794062.58198916992.32199989677.0519804545.62199018667.82200099214.5519814891.56199121781.52001109655.219825323.35199226923.482002120332.719835962.65199335333.922003135822.819847208.05199448197.862004159878.319859016.04199560793

16、.732005183217.4198610275592006211923.5198712058.62199778973.032.2 确定性分析-指数平滑法 首先对数据进行平稳性与随机性检验绘制原始gdp的时序图如下：图1 序列gdp的时序图由时序图可以看出数据呈现显著的指数递增趋势。图2 原始gdp自相关图从原始自相关图可以看出，自相关系数递减到零的速度相当缓慢，在很长的延迟时期里，自相关系数一直为正，则可以说明该时间序列是非平稳的，由于图检验带有很强的主观色彩，为了客观起见，再用单位根检验其平稳性，其结果如下：图3 原始gdp单位根检验检验结果显示，无论考虑何种类型

17、的模型,tau检验统计量的p值均显著大于,所以可以认为国内生产总值gdp序列显著非平稳。因此选用三次平滑法比较具有合理性。 由于指数平滑存在滞后现象，因此，无论一次指数平滑或二次、三次指数平滑值都不宜直接作为预测值，但可以利用它来修匀时间序列，以获得时间序列的变化趋势，从而建立预测模型。一次指数平滑法的一般表达式为：可以通过整理得：无论取何值，它们的都等于。则分别选取，对原始数据做指数平滑。一次指数平滑法的指数平滑预测值的运算过程如下表所示：表2 一次指数平滑法计算表年度 (亿元）指数平滑预测值-19783645.22-19794062.583645.223645.223645.223645.

18、223645.2219804545.623686.9563707.8243728.6923749.563770.42819814891.563772.8223833.4933892.0783948.5754002.98619825323.353884.6963992.2034091.9744184.3214269.55819835962.654028.5624191.8754338.2494469.0784585.69619847208.054221.974457.4924663.1294842.4714998.78219859016.044520.5784870.0755172.114543

19、3.8665661.562198610275.184970.1255491.975940.8996329.4096667.906198712058.625500.636209.4526807.7557315.8527750.088198815042.826156.4297086.8277857.9288501.5449042.648198916992.327045.0688280.2269294.90610136.8610842.7199018667.828039.7939587.0410834.3911850.7312687.59199121781.59102.59610949.161240

20、1.081355514481.66199226923.4810370.4912574.0114277.1615611.6316671.61199335333.9212025.7914726.4316806.4218439.59197478614356.617817.5520511.9222663.1724423.2199560793.7317740.7322374.626049.1129046.8431555.59199671176.5922046.0328137.4732998.0336983.5740327.04199778973.0326959.0834593.

21、3440633.7545531.8249581.9199884402.2832160.4841250.2948301.653892.1258399.24199989677.0537384.6647723.0955521.7461519.66662005542613.954016.1862352.868559.0173243.222001109655.1748273.9660795.9469725.1576222.8981034.622002120332.6954412.0868124.8277711.1584580.9689620.792003135822.76610

22、04.147595686235.4693518.998834.362004159878.3468486.0184936.0296152.92104094.9109930.92005183217.477625.2496177.37108898118040.7124915.12006211923.588184.45109233.4123761.9134334.9142405.82007-100558.4124636.9141394.2153732163261.1一次指数平滑法只需要较少的数据量和较小的计算量。一次指数平滑的初值的确定有两种方法：方法一是取第一期的实际值为初值，方法二是取最初几期的平

23、均值为初值。因此，本文选用第一种方法来确定初值。分别计算五种预测结果的均方差，也就是平均误差平方。 （1）平滑常数（2）平滑常数（3）平滑常数（4）平滑常数（5）平滑常数最终发现当时所对应的均方差最小，所以选定0.3作为平滑常数。二次指数平滑法是在一次平滑的基础上再做一次平滑,其预测模型适用于时间序列数据呈线性趋势的情况,但二次曲线指数平滑法不仅考虑了线性增长的因素，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。虽然二次曲线指数平滑法的计算方法比前几种指数平滑法略微复杂，但对非平稳时间序列的预测相当有效，它能随着时间序列呈抛物线增长而调整预测值。二次曲线指数平滑法的初始值依赖于两个时期的观察值和，而它的平

24、滑常数由一次指数平滑法的平滑常数来确定。已知和，假设：那么：，。为了预测全国和年的国内生产总值，取，分别取。由指数平滑数值可计算出： ， ， 故得二次曲线指数平滑预测模型为： 计算过程列在表3中。表3 二次曲线指数平滑法预测全国国内生产总值年度19783645.223645.223645.223645.22-19794062.583770.433682.783656.493919.4357.4711.27-19804545.624002.993778.843693.204365.62136.4925.443982.5319814891.564269.563926.063763.054793.5

25、5191.1033.154514.8319825323.354585.704123.953871.325256.56237.8138.415001.2319835962.654998.784386.404025.855862.99300.8646.255513.5719847208.055661.564768.954248.786926.62441.5968.416186.9819859016.046667.915338.644575.738563.55664.30104.037402.42198610275.187750.096062.075021.6410085.69802.79118.9

26、49279.85198712058.629042.656956.245602.0211861.23953.40134.4810947.94198815042.8210842.708122.186358.0714519.621244.13175.6712881.87198916992.3212687.599491.807298.1916885.541392.40184.0715851.58199018667.8214481.6610988.768405.3618884.051416.03167.0518369.97199121781.5016671.6112693.619691.8421625.

27、821578.76179.3120383.61199226923.4819747.1714809.6811227.1926039.662041.16248.8823294.23199335333.9224423.2017693.7313167.1533355.532984.72404.6128205.26199448197.8631555.5921852.2915772.6944882.604558.43665.5836542.56199560793.7340327.0427394.7219259.3058056.266056.75881.0649773.82199671176.5949581

28、.9034050.8723696.7770289.866941.37950.8664553.54199778973.0358399.2441355.3828994.3680125.937049.05860.1177706.67199884402.2866200.1548808.8134938.6987112.716477.00646.7587605.04199989677.0573243.2256139.1441298.8392611.085687.16415.8093913.08200099214.5581034.6263607.7847991.51100272.035512.10332.5

29、598506.142001109655.1789620.7971411.6855017.56109644.875715.77333.36105950.412002120332.6998834.3679638.4862403.84119991.466052.78360.23115527.322003135822.76109930.8888726.2070300.55133914.577034.97510.43126224.352004159878.34124915.1299582.8879085.25155081.979266.77887.99141204.762005183217.401424

30、05.80112429.7589088.60179016.7411485.951218.65164792.732006211923.50163261.11127679.16100665.77207411.6214028.481573.82191112.022007-222227.00由表中的得预测结果为： 表4 指数平滑法07、08预测结果与实际结果比较年份 预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差2007222227257305.6-13.633%2008238616.2300670-20.639%其中，相对误差=|(估计值-实际值)/实际值|。 由表4中可以看到，预测2007年的相对误差为-1

31、3.633%，但是预测2008年的相对误差却为-20.639%，说明预测的精确度随时间的递增却大幅度地降低。2.3 随机性分析2.3.1 取对数后auto-regressive模型拟合法 对于含有指数趋势的时间序列，可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势，则对原始数据先取对数后画出时序图并检验平稳性如下：图4 原始数据取对数后时序图图5 原始数据取对数后自相关图从原始数据取对数后自相关图可以看出，自相关系数递减到零的速度相当缓慢，在很长的延迟时期里，自相关系数一直为正，则可以说明该时间序列是非平稳的，由于图检验带有很强的主观色彩，为了客观起见，再用单位根检验其平稳性，其结果如下：图6 原始数据

32、取对数后单位根检验检验结果显示，无论考虑何种类型的模型,tau检验统计量的p值均显著大于,所以可以认为取对数后的gdp序列显著非平稳，又加上时序图显示序列lngdp有一个明显的随时间线性递增的趋势，所以不妨考虑使用auto-regressive模型拟合该序列的发展。 序列lngdp关于变量year的线性回归模型最小二乘估计输出结果如图所示：图7 序列lngdp关于变量year的线性回归模型最小二乘估计结果输出结果显示dw统计量的值等于0.2064，输出概率显示残差序列显著正相关。所以应该考虑对残差序列拟合自相关模型，修改autoreg程序得到最终拟合模型图形如下：图8 原始数据取对数后最终拟合

33、模型输出结果从以上结果可以看出:sbc函数值等于-88.651723，aic函数值等于-94.120906，它们都是通过在选定范围内的模型当中选出最小的两个值，还有拟合残差自回归模型的总体等于0.9991，拟合误差mse等于0.00180，表明误差很小，所以考虑残差自相关后,不但提高模型预测精度,而且模拟的曲线更符合数据变化的实际趋势(图7)。得到最终拟合模型为：同时我们可以根据下表得到残差预测值，表如下：表5 残差输出结果xptrendlngdpyear8.1107510.0263788.1107518.219788.343781-0.022718.2636178.3119798.42291

34、9-0.002928.4164838.4219808.540513-0.040518.569358.519818.611214-0.031218.7222168.5819828.704122-0.014128.8750828.6919838.8439230.0360779.0279488.8819849.0865620.0234389.1808149.1119859.332507-0.092519.333689.2419869.3925350.0074659.4865479.419879.5734780.0465229.6394139.6219889.825999-0.0869.7922799

35、.7419899.877799-0.04789.9451459.8319909.9567290.03327110.098019.99199110.167280.03271910.2508810.2199210.404170.06582910.4037410.47199310.697830.08216610.5566110.78199411.009610.01039310.7094811.02199511.18236-0.0123610.8623411.17199611.266240.01375711.0152111.28199711.35423-0.0142311.1680711.341998

36、11.393670.00633211.3209411.4199911.470120.03988111.4738111.51200011.62472-0.0147211.6266711.61200111.72669-0.0266911.7795411.7200211.82042-0.0004211.932411.82200311.968450.0115512.0852711.98200412.1568-0.036812.2381412.12200512.28427-0.0242712.39112.262006表6 残差预测与对数预测值年份20072008残差预测值-0.0107 0.0012 对

37、数值预测值12.7540 12.7659 则可得gdp预测值为： 表7 07、08年预测结果与实际结果比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差2007 296884.7265 257305.60 15.38% 2008 350087.8787 300670.00 16.44 %为了得到直观的拟合效果，还可以利用output命令将拟合结果存入sas数据集中，并对输出结果作图，输出图形如下：图9 原始数据取对数后拟合效果图2.4 未来5年全国gdp的预测 通过上面两种方法对全国gdp 的分析及对2007、 2008 年 gdp 预测值与原始值的比较，可以发现第二种方法的预测结果比较好。因此，选

38、择第二种方法对全国未来 5年 gdp 做出预测。 表8 未来 5 年全国 gdp 的预测值年份20092010201120122013gdp预测值（亿元）411430.7481629.4561661.5653146.4758171由此结果可以看出全国gdp 在未来 5 年中将会继续呈逐年上升的趋势。 结论本文使用了时间序列分析的方法对全国生产总值的年度数据序列分别进行了确定性分析和随机性分析，并运用两种分析方法中的指数平滑法和auto-regressive模型预测方法对全国的国内生产总值进行了小规模的预测。 通过对论文中涉及的两种方法得到的结果进行比较： 表9 指数平滑法07、08预测结果与实

39、际结果比较年份 预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差2007222227257305.6-13.633%2008238616.2300670-20.639%表10 auto-regressive模型07、08年预测结果与实际结果比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差2007 296884.7265257305.60 15.38%2008 350087.8787300670.00 16.44 %由比较结果可以看出第二种方法的预测值与实际值最为接近，即该种方法比较好，故最后选取第二种方法对全国未来5年的gdp做出预测。 从该论文分别采取确定性和随机性分析的方法对时间序列做出分析和预测的结果中

40、可以看出，随机性分析要远好于确定性分析。auto-regressive模型是一种拟合非平稳时间序列的方法,它既能提取序列的确定性信息,又能提取其随机性信息,不仅提高了模型的拟合精度,还使结果符合实际,变得更易解释,兼具了时间序列确定性分析和随机性分析的优点。当一个时间序列具有明显的确定性趋势或季节效应时,可考虑应用此模型。本文采用的我国19782008年间国内生产总值的案例中,原始数据取对数后的时间序列呈明显的线性上升趋势,若仅用一般线性回归进行拟合，残差序列会存在自相关性,提示对序列信息的提取不充分,进一步应用auto-regressive模型拟合后发现信息提取充分,大大降低了拟合(模型)误差、提高了模型的精度。auto-regressive模型的计算虽然复杂,但借助计算机