专题四解析几何综合题型分析及解题策略规划

1、专题四：解析几何综合题型分析及解题策略 【命题趋向】 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识 内的综合及与其它知识之间的综合，如08年08年江西理7文7题（5分）是基础题，考查 与向量的交汇、08年天津文7题（5分）是基础题，考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22 题（12分）难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题（12 分）难度中档偏上，考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题（12分）中等难度，考查 直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题（12分）中档偏下题，考查解析几何与三角函 数的交汇，等等预计在09年高考

2、中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同 时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线 方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定 值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等这类问题综合性大，解题 时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确 构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系这体现了考试中心提出的 应 更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的 思想. 【考试要求】 1 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的

3、距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系. 2了解线性规划的意义，并会简单的应用. 3掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程. 4掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 5掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 6 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 【考点透视】 解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分，而直线和圆单独命 为解答题较少，只有极个别的省市高考有出现，而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在 全国及各省市的高考中均出现 主要考查热点： （1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离

4、公式及圆的方程； （2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等； （3）圆锥曲线的定义及标准方程； （4）与圆锥曲线有关的轨迹问题； （5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题； （6） 与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题. 【典例分析】 题型一直线与圆的位置关系 此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运 用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及 轨迹问题 【例1】 若直线3x + 4y+ m= 0=0与圆x2 + y2 2x + 4y + 4 = 0没有公共点，则实数 m 的取值范围是 【分析】利用点到

5、直线的距离来解决 【解】 圆心为（1, 2）,要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得 |3 氷 + 2 X 4） + m|口 d =2 2r = 1,即 |m 5|5, m （,0）U （10,+ ）. #3 + 4 【点评】解答此类题型的思路有：判别式法（即方程法），平面几何法（运用d与r 的关系），数形结合法由于圆的特殊性（既是中心对称图形又是轴对称 ）,因此解答直线与圆 的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的 距离d的求解. 题型二圆锥曲线间相互依存 抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式， 只要对三

6、种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大 2 2 【例2】（2009届大同市高三学情调研测试 ）设双曲线以椭圆x + y = 1长轴的两个端点 259 为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（） A .戈B . C.号D. 【分析】根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双 曲线的准线方程，由此得到关于双曲线关于a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近 线的斜率. 2 【解】由椭圆方程知双曲线的焦点为（5, 0），即c= 5,又同椭圆的焦点得 a = 4,所以 c a= 2 .5,则b = c2 a2 = . 5,故双曲线渐近线的斜率为

7、少=，故选D. a 2 【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互 关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答 时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程，再通过解方程求出 相关基本量值，进而求取相关的问题 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关 系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆 锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利 用判别式与韦达定理

8、来求解. 【例3】（2009届东城区高中示范校高三质量检测题）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2, 0）,实轴长为2Q3. （ I ）求双曲线C的方程；（n ）若直线I: y= kx + J2与双曲线 C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（川）在（n）的条件下，线段 AB的垂直平分线Io 与y轴交于M （0, b）,求b的取值范围. 【分析】第（1）小题利用直接法求解；第 （n ）小题将直线与双曲线方程联立消去y,然 后利用判别式及韦达定理求解；第（川）小题须利用 垂直”与 平分”联系两条直线斜率间的关系 及中点坐标公式建立 b关于斜率k的表达式，结合第（n ）小题k的范围求解. 2 2

9、 【解】（I ）设双曲线方程为X2 y2= i（a0, b0）, a b 2 由已知，得a= 3, c= 2, b2= c2 a2 = 1,故双曲线方程为 号y2= 1. 3 2 （n ）设 A（xa, yA）, B（xb, yB），将 y= kx+ ,2代入育y2= 1, 得（1 3k2）x2-6 2kx 9= 0. 1 3k2M0 = 36（1 k2） 0 由题意知 xa + Xb= 6 2k2 0,解得，二吕 0 当-3 k 1时，i与双曲线左支有两个交点. 3 由（n）得：Xa+ Xb =二，3：2, - Ya+ yB= (kxA+ .2)+ (kxB+ .2) = k(XA+ Xb)

10、 + 2,2 (出) 般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答 【例4】(08年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知：是三角形的一个内角，且 sin: + cos := 5，则方程 x tan y cot:= 1 表示() A .焦点在x轴上的双曲线 B .焦点在y轴上的双曲线 C .焦点在x轴上的椭圆 D .焦点在y轴上的椭圆 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体 化圆锥曲线方程，再根据方程进行判断 12243 【解】 由 si not + cosa =匚及 si n。+ cos a = 1,且 0 v otvn 解得

11、 si not =, cost 555 2 2 A. 因此x2 3tan: y2cot := 1就是= 1，表示焦点在x轴上的双曲线，故选 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别解答的关键是求 得sin a与cos a的值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力 题型五圆锥曲线与向量的交汇 圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆 盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力在解题中需要把握 住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等 【例 引(2009届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中， ABC的两个顶点A

12、、B的 坐标分别为A( 1 , 0)、B(1 , 0)，平面内两点G, M同时满足下列条件： GA + GB + GC = 0 : |MA| = |MB| = |MC| : GM / Ab.( I )求 ABC 的顶点 C 的轨迹方程；(n )过点 P(3, 0)的直线l与(n )中轨迹交于E, F两点，求PIQF的取值范围. 【分析】 由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐 标，然后将坐标代入中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(I )小题就 可求解第(n )小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围， 然后利用向量的数量积公式

13、及韦达定理建立PEPF关于k的函数式，最后根据求函数值域的 方法即可求得结果 【解】(I)设 C(x, y), G(x, y0), M(x m , yM), T |诫| = |MB| , M点在线段AB的中垂线上. 由已知 A( 1,0), B(1,0)，xm = 0,又 GM / AB , yM = y0, 又GA + GB + GC = 0 , ( 1 X0,y) + (1 X0, y0) + (x X0,x y0) = (0,0), x0 = 3，y0=3 ,yM = 1)2+ (f- 0)2 = x)2 + (彳-y)2 , (n)设直线 l 方程为：y = k(x 3), Egy”

14、, F(X2,y2), /1 + k213 xi| pi + k213 X2| 2 2 9k2 + 27 18k2+ 9k2 324(k2 + 1)48 =(1 + k )|9 3(x1+ X2)+ X1X2|= (1 + k )1= k2 + 3 = 247+， 由方程知 = (6k2)2 4(k2 + 3)(9k2 3)0, k2v3, 8 2 3227 88 k工0 0v kv k + 3 (3,), PEPF (8,?). 【点评】本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法， 考查设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应 用，

15、同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想 方法应用能力本题解答有两个关键：(1)对条件中的向量关系的转化；(2)建立pE pF关于直线 斜率k的函数解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范 围扩大 题型六圆锥曲线与数列的交汇 此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系 数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等解答时一般须根据解析几何的知识确定数列 的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答 例6 (2009届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线anjy2 anx2= Oi jan的一个焦点为 (0,

16、.cn), 一条渐近线方程为 y= .2x，其中an是以4为首项的正数数列.(I )求数列cn的 通项公式；(n )求数列罟的前n项和Sn. 【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立Cn与an、and的等式，再利用渐 近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列On为等比数列，由此可求得an的表达式，进而求得 cn的通项公式，由此解决第(I)小题；第(n )小题利用第(I )的结果确定数列的通项公 式，根据公式特点选择利用错位相减法求解 2 2 【解】(I ) 双曲线方程y = 1的焦点为(0,Cn),. Cn= an+ a* / , an and 又一条渐近线方程为y=J2x，即彳区=强，- =

17、 2，又a1= 4, ,an -Aan an= 4 2n= 2n+1,即卩 cn= 2n+1 + 2n= 3 2n. (n ) / 才=n 2n,.Sn= 1 2 + 2 22 + 3 23 + + n 2n 3 2Sn= 1 22+ 2 2.现有一块长轴长为10分米，短轴长为 8分米， 面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 A . 10平方分米B . 20平方分米 C. 40平方分米 9 2 2 + 3 24设A(X1,y1), B(4 , 5),C(X2,y2)是右焦点为F的椭圆25+ y= 1上三个不同的点，则 |BF|, |CF|成等差数列”是“x+ X2 = 8”的

18、 A 充要条件B 必要不充分条件 C .充分不必要条件D.既非充分也非必要 + + (n 1) 2n+ n 2n+1 由一得一Sn= 2 + 22 + 2n n 2n+1, .s= 2(1 -才)+ n 2 n+1= 2 2 n+1 + n 2 n+1 1 2 【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相 减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力本题是一道与数列相结合的一道综 合题，但难度并不大解答本题注意两点基本知识及方法的应用：(2)通过双曲线的焦点坐标 与渐近线方程建立等式；(2)利用错位相减法求解求和 【专题训练】 一、选择题 1. 设x,y R

19、,且2y是1 + x和1 x的等比中项，则动点(x ,y)的轨迹为除去x轴上点的( ) A .一条直线B .一个圆C.双曲线的一支D .一个椭圆 方程是 2 2 2 2 x A. 9 - 占=1(x 3) B. x- 7 ；=1(x . 7) 2 2 2 2 C J C. 9 专=1(y 3) D.匕- 7 弋=1(yv- 7) 2.已知 ABC 的顶点 A (0, 4), B (0, 4)，且 4(si nB si nA) = 3si nC,则顶点 C的轨迹 ( ) 形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块 ( D . 41平方分米 5直线l: y = k(x 2) + 2与圆C: X2+ y2

20、- 2x 2y = 0相切，则直线I的一个方向向量 弋= ( ) 1 A (2, 2)B (1, 1)C. (-3, 2)D ( 1,空) 6.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1, F2,抛物线C以Fj为顶点，F?为焦点，P为两 曲线的一个交点，若|PFil= e,则e的值为() |PF2| A . #B 拐C.#D 鳥 2 2 7椭圆X2 + y2= 1(a b0)的左、右焦点为F1, F2,过F1的直线I与椭圆相交于A、B两点。 a b 若/ AF1F2= 60，且云F1 AF2 = 0,则椭圆的离心率为() A .3+ 1B .3 1C. 2- , 3D 4 .3 &如图一圆形纸片的圆

21、心为O, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与 F重合，然后抹平纸片，折痕为CD ,设CD与OM交于P,则点P形成的图形是() A 椭圆 B 双曲线 C .抛物线 D 圆 2 2 9.如图，P是椭圆25+舒1上的一点，F是椭圆的左焦点，且OQ = 2(Op+ OF), |OQ|= 4, 则点P到该椭圆左准线的距离为 ) 10 .(理科)设 X1, X2 R, aO,定义运算 “*： X1*X2 = (X1 + X2)2 (X1 X2)2，若 xO,则动 点P(x, ,x*a)的轨迹方程为 2 A . y = 4ax B . y2 = 4ax(y 0) C. y2= 4ax D.

22、y2= 4ax(y 0) 11 .设集合A = (x , y)|x , y, 1 x y是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边 界的阴影部分)是() A. c. B. yj k 0.5 乡 J f o 0.5 x D. 12.在平面直线坐标系 xoy中，已知 ABC 的顶点 (-4, 0) (4, 0),顶点B在椭 2 2 圆 2?+ yT= 1 上, 抽 si nA + sinC 则A晶 二、填空题 2 13 .若抛物线 2px(p 0)的焦点与椭圆x8 + y4 = 14.若点(1, 1)到直线xcos汁ysin a 2的距离为d,贝U d的最大值是 . 的右焦点重合，则P的值为

23、19. (08年泰兴市3月调研)已知O O: x2 + y2= 1和定点A(2 , 1)，由O O外一点P(a, b)向 OO引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(I )求实数a, b间满足的等量关系；(H ) 求线段PQ长的最小值；(川)若以P为圆心所作的O P与O O有公共点，试求半径最小值 时O P的方程. 20. 已知定点A( 2, - 4)，过点A作倾斜角为45的直线I，交抛物线 y2= 2px(p 0)于 B、C 两点，且 |BC|= 2 .10. (I)求抛物线的方程； (H)在(I)中的抛物线上是否存在点D，使得|DB| = |DC|成立？如果存在，求出点 D 的坐

24、标；如果不存在，请说明理由. 21 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1 , 2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲 线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(I)求这三条曲线的方程；(n)已知动 直线I过点P(3, 0)，交抛物线于 A、B两点，是否存在垂直于 x轴的直线I被以AP为 直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由 2 2 22.椭圆C:乍+ y2= 1(a b 0)的两个焦点为F1、F?，短轴两端点 B1、B2,已知F1、F2、 a b B1、B2四点共圆，且点 N (0, 3)到椭圆上的点最远距离为5 2.( I )求此时椭圆C的方 程；(n

25、)设斜率为k ( k工0的直线m与椭圆C相交于不同的两点 E、F, Q为EF的中 点，问E、F两点能否关于过点 P (0,二Q的直线对称？若能，求出 k的取值范围； 3 若不能，请说明理由. 【专题训练】参考答案 、选择题 1. D【解析】由题意得(2y)2= (1 + x)(1 x)，即 x2 + 4y2= 1. 2. C【解析】由条件 c=|AB| = 8由正弦定理：4(b a)= 3c= 24, b a= 6,即|CA| |CB| 2 2 =6点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支， a = 3, c = 4, b = 7,其方程y x-= 9 i(y 3). 2 2 3. C【解析】设椭圆

26、方程为 命 + 士 = 1, P(5cosv, 4sinr), Q( 5cosr, 4sinr), R(5cosv 2516 4sin 巧是矩形的三顶点，则S 矩形 = |10cos和8sinr|= 40|sin2 彳 0). x + y 1 x y 2x + 2y 1 11. A 【解析】 由构成三角形的条件知 x + 1 x yy，即” 2y v 1，易知选A. i- y + 1 x y x 2xv 1 12. C 【解析】 si nA + sinC 由双曲线方程及定义|BC|+ |AB| = 10 , |AC| = 8,根据正弦定理知sinB _ |BC|+ |AB| = 5 =|AC|

27、= 4. 、填空题 13. 4【解析】抛物线的焦点为(p，0)，椭圆的右焦点为(2，0)，则由p = 2，得p = 4. 14. 2 + V2【解析】d= |cos dxysin =|/2sin(七；)一2|,当 sin( a：) = 1 时，d 的最大 值是2a 2. 15. .3 1 【解析】 天F1 云F2 = 0，二 AFA2F,vZ AF1F2= 60 , 尸仆2 = 2|AF1|, |AF2=W|AF1|,. 2a=|AF1|+ 呼|, 2c=|RF2|, e=：=討：爲=肩 16. 2cos2 0+ 2cos a 1,灰(才,|)【解析】根据条件知/ COA = 1802 0,且

28、(彳, 2)，则点 C(cos(180 2 0 ) sin (180 2 0 )即 C( cos2 0 si n2 0)则 |AC| + |CD| = (1 + cos2 0+ sin2 0一 cos2 = 2cos 0+ 2cos + 1, 0 (4,刁. 三、解答题 17. 【解析】(I )依题知圆O的半径r等于原点O到直线x V3y= 4的距离，即r = i-4 V1 + 3 =2, 圆O的方程为x2 + y2= 4. (n )不妨设 A(X1 , 0), B(X2, 0), X1V X2,由 x2 = 4 即得 A( 2, 0), B(2 , 0), 设P(x, y)，由|PA|, |

29、PO|, |PB|成等比数列，得 .(x + 2)2+ y2 (x 2)2+ y2= x2+ y2, 即卩 x2 y2= 2, - 2 2 2 PAPB= ( 2 x, y) ( x, y) = x 4+ y = 2(y 1), 1 由于点P在圆0内，故0 X2 + y2v 4 2 2 x y = 2 ，由此得y20所以PAPB的取值范围为2, 18. 2 【解析】(1)设相邻两圆心为 Ck(xk, Xk), Ck+1(Xk, Xk+1)，相应的半径为rk , rk+1，则 19. 2 2 rk = xk, rk+1 = Xk+1 , rk rk+1 , 如图，作 Ck+1Bk丄AkCk于 B

30、k,则 |CkCk+1|2|CkBkf = |AkAk+1|2, 即(r k+ rk+1)2 (rk rk+1 )2= (Xk Xk+1)2, = 2, Xk Xk+1 1 1 - *是首项为4，且公差为2的等差数列， Xk =1 Xk2(k + 1) Ck+1 O Ak+1 AkX 1 (2) (k+ 1)2 k(k + 1) k k+ 1 22211111111. X1+ X2+ Xn = 4?+ ?+ R 1(1 1+ 2 3 + n 不 1 戸 2(1 1 1 n + 1 ) |OP 1,且 RW |OP+ 1. 而 |OP|= a2 + b2= a2+ ( 2a+ 3)2=5(a |

31、)2+ 9, 故当 a= 5 时,|PQ|min=討5,此时 b = 2a+ 3 = 5 , R min =菲一1, 得半径取最小值O P的方程为(x |)2+ (y 3)2 =(3 . 5 1)2. 555 20.【解析】(I )直线I方程为y= x 2，将其代入y2 = 2px，并整理，得 X2 2(2 + p)x + 4 = 0， / p0,.山=4(2 + p)2 16 0, 设 B(X1,y1)、C(X2,y2),. X1+ X2= 4+ 2p, X1 X2= 4 , / |BC| = 2 10,而 |BC|= , 1 + k2|x1 X2|, 2.2.p2+ 4p= 2.10,解得

32、 p= 1,.抛物线方程 y2 = 2x . (H )假设在抛物线y2= 2X上存在点D(X3,y3),使得|DB| = |DC|成立， 记线段 BC 中点为 E(Xo,yo),则 |DB| =|DC|=DE丄BCu kDE = 1， k i _ _| NX 当 p= 1 时，式成为 X2 6x + 4= 0,.Xo= 2= 3, yo= x 2 = 1, X3= 8 3= 4 X3= 2 $3= 2 点D(X3,y3)应满足 込3 1 今2 = 2x3 ,，解得* 3= 1 LX3 3 存在点 D(2 , 2)或(8, 4)，使得 |DB| = |DC|成立. 21. 【解析】(I )设抛物

33、线方程为y2= 2px(p0)，将点M(1 , 2)坐标代入方程得 p= 2, 所以抛物线方程为 y2= 4. 由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1 ( 1, 0), F2 (1, 0),所以c= 1, c = 1 , 对于椭圆，2a=|MF1|+ |MF2|= . (1 + 1)2+ 22 + (1 1)2+ 22 = 2 2+ 2,所以 a= 1+ 2 , 2 所以 a2= (1+迄)2= 3+ 22,所以 b2= a2 c2 = 2+ 22,所以椭圆方程为 3+ 2+ =1, 对于双曲线，2a = |MF1|MF2|= 2 2 2，所以 a = 2 1，所以 a2= 3 2 2, 2 2 所

34、以b = c2 a2= 2 2 2,所以双曲线方程为 一X一 y一 = 1, y3 2磁 2p2 2 (n )设AP的中点为G , l的方程为X = t,以AP为直径的圆交I于D、E两点，DE中点 为H , 令 A(1, y”，所以 G(X1尹 y1),所以 |DG|=AP|=刃(X1 3)2+ y/, x1+ 31 |GH |= | 2 1| = 2l(X1 2t) + 3|, 1 1 所以 |DH |2= |DG |2 |GH |2= (XL3)2+ y/ /(xl 2t) + 32= (t 2)1 t2 + 3t , 当t= 2时，|DH|2= 4 + 6= 2为定值，所以|DE|= 2|DH |= 2辽为定值，此时I的方程为 x= 2. 22. 【解析】(I)根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心