一元二次方程复习资料演示教学

1、一元二次方程复习资料一元二次方程复习资料一、知识结构：解与解法一元二次方程根的判别韦达定理二、考点精析考点一、概念(1) 定义： 只含有一个未知数 ，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方 程就是一元二次方程。(2) 一般表达式： ax2 bx c 0(a 0)难点 ：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A3 x22 x1B1101x 22xC ax 2bx c 0D x22x x21变式：当 k时，关于 x 的方

2、程 kx 22xx23 是一元二次方程。例 2、方程 m2 xm1 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值3mx为。针对练习： 1、方程 8x 27 的一次项系数是，常数项是。 2、若方程 m2x m 10是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2m ? x 1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是。 4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用 ：利用根的概念

3、求代数式的值；典型例题：例 1、已知 2 y2y 3 的值为 2，则 4y 22 y1 的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x2xa 240 的一个根为 0，则 a 的值为。例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc0 a0的系数满足 a cb ，则此方程必有一根为。例 4、已知 a, b 是方程 x24x m 0 的两个根， b,c 是方程 y28y 5m0 的两个根，则 m 的值为 。针对练习： 1、已知方程 x 2kx 100 的一根是 2，则 k 为，另一根是。 2、已知关于 x 的方程 x 2kx 2 0 的一个解与方程 x13 的解相同。x1求 k 的值；方

4、程的另一个解。 3、已知 m 是方程x 2x1 0 的一个根，则代数式 m2m。 4、已知 a 是 x 23x10 的根，则 2a 26a。 5、方程 ab x 2bc xca0 的一个根为（）A 1B 1CbcDa 6、若 2x5y30, 则 4x ? 32 y。考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法： x2m m0 ,xm对于 x a 2m ， axm 2bxn 2 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： 1 2x 280;2 2516x 2 =0;3 1 x 29 0;例 2、若 9 x1 216 x 2 2 ，则 x 的值为

5、。针对练习： 下列方程无解的是（）A. x23 2x 21 B. x 2 20C.2 x 3 1 x D. x 29 0类型二、因式分解法 : xx1xx20xx1 ,或 xx2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如axm 2bxn 2 ， xaxbxa xc，x22axa 20典型例题：例 1、 2x x35 x3 的根为（）A x5B x 3C x15, x2 3222D x5例 2、若 4xy 23 4xy40 ，则 4x+y 的值为。变式 1： a 2b2 2a 2b 260, 则a2b2。变式 2：若 xy 2 xy30 ，则 x+y 的值为。变式 3：

6、若 x2xyy14 ， y 2xyx28 ，则 x+y 的值为。例 3、方程 x2x60 的解为（）A. x13，x2B. x13，x2C. x13，x3D. x12，x 22222例 4、解方程：x223 1x2 340例 5、已知 2x 23xy2 y 20,则 xy 的值为。xy变式：已知 2x23xy2y 20 ,且 x0, y0 ,则 xy 的值为。xy针对练习： 1、下列说法中：方程 x2pxq0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x2pxq( x x1 )( x x2 ) x26x 8 (x 2)( x 4) . a 25ab6b2(a2)(a3) x2y 2( xy)(xy )(

7、xy )方程 (3x 1)270 可变形为 (3x1 7)(3x17 )0正确的有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、以 17 与 17 为根的一元二次方程是（）A x22x 60B x22x 6 0C y 22 y60D y 22 y60 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 xy3 x y2 0 ，则 x+y 的值为（）A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1或 25、方程： x212 的解是。x2 6、已知 6x2xy6 y20，且 x0 ， y

8、0，求 2x6y 的值。3xy 7、方程 1999 x 2 1998 2000 x 1 0 的较大根为 r，方程2007 x22008x 10 的较小根为 s，则 s-r 的值为。2b2类型三、配方法 ax2bx c 0 a 0xb4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、 试用配方法说明 x22 x3 的值恒大于 0。例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式x 2y 22x4y7 的最小值。例 3、 已知 x 2y 24 x6 y130， x、y为实数，求 x y 的值。例 4、 分解因式： 4x212x3针对练习： 1、试用

9、配方法说明10x 27 x4 的值恒小于 0。 2、已知 x21x140 ，则 x1.x 2xx 3、若 t23x 212x9，则 t 的最大值为，最小值为。 4、如果 abc114a 22 b14 ,那么 a 2b 3c的值为 。类型四、公式法条件： a 0,且 b24ac0公式： xbb 24ac ,a0, 且 b24ac02a典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： 3 1x 26. x3 x68. x24x10 3x 24x10 3 x1 3x1x1 2x5例 2、在实数范围内分解因式：（ 1） x222x3；（2）4x28x1. 2x24xy5y 2说明：对于二次三项式ax 2bx

10、c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，2一般情况要用求根公式，这种方法首先令axbxc =0，求出两根，再写成ax 2bxc = a( xx1 )( xx2 ) .分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：3x21 的值。例 1、 已知 x 23x 20 ，求代数式 x 1x1例 2、如果x2x 1 0 ，那么代数式 x32x2 7 的值。例 3、已知a是一元二次方程20的一根，求 a32a 25a 1 的值。x 3x 1a 21例 4、用两种不同的方法解方程组2xy6,(1)x25xy6y20

11、.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题 .考点四、根的判别式b24ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它 。典型例题：例 1、若关于 x 的方程 x22k x 10有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程 m1 x 22mxm0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( )A. m0且m 1B. m0C. m1D. m 1例 3、已知关于 x 的方程 x2k 2 x2k 0(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰AB

12、C 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式 9x 2( m6)xm2 是一个完全平方式，试求m 的值 .例 5、 m 为何值时，方程组 x2 2 y 2 6, 有两个不同的实数解？有两个相同的 mx y 3.实数解？针对练习： 1、当 k时，关于 x 的二次三项式 x2kx9 是完全平方式。 2、当 k 取何值时，多项式 3x2 4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程 mx 2mx 20 有两个不相等的实数根，则m 的值是. 4、 k 为何值时，方程组ykx2,y24x2 y 1 0.（ 1）有两组相等的实数解，并求此解

13、；（ 2）有两组不相等的实数解；（ 3）没有实数解 . 5、当 k 取何值时，方程x24mx4x3m 22m4k0 的根与 m 均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于x 的方程m1 x22mx30有两个实数根，则m 为,只有一个根，则m 为。例 2、 不解方程，判断关于x 的方程 x 22 xkk 23根的情况。例 3、如果关于 x 的方程 x2kx20及方程 x2x2k0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题

14、：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600 万元，第二年比第一年减少1 ，第三年比第二年减少1 ，该产品第一年收入资金约400 万元，公司计划三32年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利1 ，要实现这一目标，该产品3收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1， 133.61 ）4、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50

15、 元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（ 1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（ 2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（ 1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（ 2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（ 3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B 两地间的路程为

16、36 千米 .甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度 .考点七、根与系数的关系前提：对于 ax 2bxc0 而言，当满足 a0 、0 时，才能用韦达定理。主要内容： x1x2b , x1 x2caa应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6例 2、已知关于x 的方程 k 2 x 22k1 x10 有两个不相等的实数根x1 , x2 ，（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8 和 2，小