（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.4 解三角形课件 理

1、4.4解三角形 高考理数高考理数 (课标专用) 考点一正弦定理与余弦定理考点一正弦定理与余弦定理 五年高考 A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组 1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4B.C.D.2 2 C5 5 230295 答案A本题考查二倍角公式和余弦定理. cos=,cosC=2cos2-1=2-1=-, 又BC=1,AC=5, AB=4.故选A. 2 C5 52 C1 5 3 5 22 2cosBCACBC ACC 3 1252 1 5 5 2 2.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则c

2、osA=() A.B.C.-D.- 4 1 3 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 答案答案 C过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC= -,故选C. 1 3 2 3 2 3 5 3 222 2 ABACBC AB AC 222 25 99 25 2 33 BCBCBC BCBC 10 10 中,AC=BC,sinDAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos= cosDACcos-sinDACsin=-=-,故选C. 另解二:过A作ADBC,垂足为D,由题意

3、知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 =(+)(+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cos BAC=-,故选C. 另解三:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC, DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),= (2a,-a),所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故选C. 5 3 2 5 5 5 54 4 DAC 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 1 3 2 3 2 3 5 3 AB AC AD DB

4、AD DC 2 AD AD DC AD DB DB DC 1 9 2 9 1 9 | AB AC ABAC 2 1 9 25 33 BC BCBC 10 10 AB AC AB 2AC 5 | AB AC ABAC 22 2 25 aa aa 10 10 思路分析思路分析作ADBC(垂足为D),由已知结合勾股定理把AB与AC均用BC表示出来,再利用余 弦定理的推论求得cosBAC的值. 一题多解一题多解另解一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC 1 3 2 3 3.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=

5、,cosC=,a=1,则b= . 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析由已知可得sinA=,sinC=,则sinB=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得 =b=. 思路分析思路分析利用同角三角函数的平方关系求出sinA与sinC的值,进而由sinB=sin(A+C)求出 sinB的值,再利用正弦定理即可求出b的值. 3 5 12 13 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65 sin a Asin b B 63 1 65 3 5 21 13 4.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBs

6、inC. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sinC. 2 解析解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=. 因为0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120-C)=2sinC, 即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-. 由于0C120,所以sin(C+60)=, 故sinC=sin(C+60-

7、60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=. 思路分析思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度变换求出sinC. 222 2 bca bc 1 2 2 6 2 3 2 1 2 2 2 2 2 62 4 5.(2019课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 2 AC 解析解析本题考查了正

8、弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌 握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA. 因为sinA0,所以sin=sinB. 由A+B+C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos0,故sin=,因此B=60. (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a. 由正弦定理得a=+. 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2, 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B

9、2 B1 2 3 4 sin sin cA C sin(120) sin C C 3 2tanC 1 2 1 2 从而SABC. 因此,ABC面积的取值范围是. 思路分析思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面 积的取值范围. 3 8 3 2 33 , 82 6.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC. 2 解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以

10、sinADB=. 由题设知,ADB90,所以cosADB=. (2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=. 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25. 所以BC=5. 方法总结方法总结正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通 过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用. (3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解. sin BD Asin AB ADB 5 sin

11、45 2 sinADB 2 5 2 1 25 23 5 2 5 2 2 5 (4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答 此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解. 7.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为. (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长. 2 3sin a A 解析解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行 运算求解的能力. (1)由题设得acsinB=,即csinB=. 由正弦定理得sinCsinB=

12、. 故sinBsinC=. (2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题设得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故ABC的周长为3+. 1 2 2 3sin a A 1 23sin a A 1 2 sin 3sin A A 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3sin a A 33 33 =1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长. 方

13、法总结解三角形的综合应用: (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将csinB=变形为sinCsinB=. (2)三角形面积公式:S=absinC=acsinB=bcsinA. (3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+ C)=sinA. 1 23sin a A 1 2 sin 3sin A A 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把边转化 成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的

14、值以及题目中给出的6cosBcosC 1 2 2 3sin a A 8.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长. 7 3 3 2 解析解析(1)由已知及正弦定理得, 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分) 2cosCsin(A+B)=sinC. 故2sinCcosC=sinC.(4分) 可得cosC=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absinC=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2a

15、bcosC=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分) 1 23 1 2 3 3 2 3 7 1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C =() A.B.C.D. 222 4 abc 2 3 4 6 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 答案答案 C本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absin C, 所以tanC=1,因为C(0,),所以C=.故选C. 222 4 ab

16、c2cos 4 abC1 2 4 2.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面 积为. 3 答案答案6 3 解析解析本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用 考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 由b2=a2+c2-2accosB及已知得62=(2c)2+c2-22cc, c=2(c=-2舍去). a=2c=4,ABC的面积S=acsinB=42=6. 1 2 33 3 1 2 1 2 33 3 2 3 3.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABC

17、D中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是 . 答案答案(-,+) 6262 解析解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正 弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 =.所以=,即y= =. 2 sinsin75 x sin75 x sin(135) y sin(135) y 2 sin 2sin(135) sin 2sin90(45 ) sin 2cos(45 ) sin 2(cossin ) sin 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y=; 当90时,

18、y=, 2 2(cossin ) sin 2 1 1 tan 此时由30105,及tan30=,tan105=tan(60+45)=-2-,可知 (-2,),且0,所以y=(-,)(,+). 综上所述:y(-,+). 思路分析连接BD,在BCD与ABD中分别利用正弦定理得出边角之间的关系,利用BD作 为桥梁连接两个关系,从而建立AB关于CDB的三角函数,从而利用CDB的取值范围求AB 的取值范围. 3 3 tan60tan45 1tan60 tan45 3 1 tan 33 1 tan 2 1 1 tan 622262 6262 1.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别

19、为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是() A.a=2bB.b=2a C.A=2BD.B=2A B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一正弦定理与余弦定理考点一正弦定理与余弦定理 答案答案 A解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC, 所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C), 所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB, 即cosC(2sinB-sinA)=0, 所以cosC=0或2si

20、nB=sinA, 即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A. 方法总结方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求 解.注意灵活运用三角公式. 2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4 13 答案答案A在ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. 1 2 3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C

21、所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sinB= ,c=. 7 答案答案;3 21 7 解析解析本小题考查正弦定理、余弦定理. 由=得sinB=sinA=, 由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负). sin a Asin b B b a 21 7 4.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD =,cosABD=. 答案答案; 12 2 5 7 2 10 解析解析本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的

22、核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 由正弦定理得=,则BD=, 在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos45cosBAD+sin45sinBAD= =. 4 5 sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 思路分析思路分析在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解. 解后反思解后反思三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提

23、 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法. 5.(2019天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC. (1)求cosB的值; (2)求sin的值. 2 6 B 解析解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以 及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视. (1)在ABC中,由正弦定理=,得bsinC=csinB, 又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.

24、 由余弦定理可得cosB=-. (2)由(1)可得sinB=, 从而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-, 故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-. sin b Bsin c C 4 3 2 3 222 2 acb ac 222 416 99 2 2 3 aaa aa 1 4 2 1 cos B 15 4 15 8 7 8 2 6 B 6 6 15 8 3 2 7 8 1 2 3 57 16 思路分析思路分析(1)由已知边角关系:3csinB=4asinC利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理 即可求出cosB. (2)由(1)利用同角三

25、角函数基本关系式,求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两 角和的正弦公式即可求出sin的值. 易错警示易错警示角B为三角形内角,故sinB0,由cosB求sinB仅有一正解. 2 6 B 6.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 1 2 解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识 点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心 素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得 b2=32

26、+c2-23c. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5.所以b=7. (2)由cosB=-得sinB=. 由正弦定理得sinC=sinB=. 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cosC=. 所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=. 1 2 1 2 1 2 3 2 c b 5 3 14 2 1 sin C 11 14 4 3 7 7.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值; (2)若=,求sin的值. 2 2 3 sin A a cos 2 B b2 B

27、 解析解析本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考 查运算求解能力.满分14分. (1)因为a=3c,b=,cosB=, 由余弦定理得cosB=,得=, 即c2=.所以c=. (2)因为=, 由正弦定理=,得=,所以cosB=2sinB. 从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B), 故cos2B=. 因为sinB0,所以cosB=2sinB0,从而cosB=. 因此sin=cosB=. 2 2 3 222 2 acb ac 2 3 222 (3 )( 2) 2 3 cc c c 1 3 3 3 sin A a cos 2 B b s

28、in a Asin b B cos 2 B b sin B b 4 5 2 5 5 2 B 2 5 5 1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为. 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 答案答案9 解析解析依题意画出图形,如图所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即csin60+asin60=acsin120, a+c=ac,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 1 2 1 2 1 2 1 a 1 c 11 a

29、c c a 4a c c a 4a c 3 2 一题多解一题多解1作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线, =, DECB,=, =,=. =+. =, 1=+2|, 1=,ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. BA BC AD DC c a AD AC AE AB DE BC c ac BE a ac BA ED c ac BC BD a ac BA c ac BC 2 BD 2 ac BABC acac 2 a BA ac 2 c BC ac a ac c ac BA BC 1 2 2 2 () () ac ac 1 a 1 c

30、 11 ac c a 4a c c a 4a c 3 2 一题多解一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).AB=c,BC=a,A,C. A,D,C三点共线, +c=0, ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 3 , 22 c c 3 , 22 a a AD DC 1 2 c 3 2 a 3 2 1 2 a 1 a 1 c 11 ac c a 4a c c a 4a c 3 2 2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一 山顶D在西偏北

31、30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为 30,则此山的高度CD=m. 答案答案100 6 解析解析依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由=,得=, 有CB=300, 在RtBCD中,CD=CBtan30=100, 则此山的高度CD=100m. sin AB ACBsin CB CAB 600 sin45sin30 CB 2 6 6 3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则 BDC的面积是,cosB

32、DC=. 答案答案; 15 2 10 4 解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运 算求解能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC=, ABC为三角形的内角,sinABC=, sinCBD=,故SCBD=22=. BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=, 2cos2BDC-1=,得cos2BDC=, 又BDC为锐角,cosBDC=. 222 2 ABBCAC AB BC 1 4 15 4 15 4 1 2 15 4 15 2 1 4 1 4 5 8 10 4 4.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cosB=

33、-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 1 7 解析解析(1)在ABC中,因为cosB=-,所以sinB=. 由正弦定理得sinA=. 由题设知B,所以0A.所以A=. (2)在ABC中, 因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=, 所以AC边上的高为asinC=7=. 方法总结方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图 形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最 后通过解方程求出边或角. 1 7 2 1 cos B 4 3 7 sinaB b 3 2 2 2 3 3 3 14 3

34、 3 14 3 3 2 5.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos. (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 6 B 解析解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与 余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中, 由正弦定理=,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos, 即sinB=cos,可得tanB=. 又因为B(0,),可得B=. (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=

35、3,B=, 有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=. 由bsinA=acos,可得sinA=. 因为ac,故cosA=. sin a Asin b B 6 B 6 B 6 B 3 3 3 7 6 B 3 7 2 7 因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= -=. 解题关键解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsinA=acos是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sinA,利用a0是求解第(2)问的关键. 失分警示失分警示(1)忽略ac这一条件,从而导致cosA有两个值,最

36、终结果出现增解; (2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错. 4 3 7 1 7 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 6 B 1.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c =2,cosA=-,则a的值为. 15 1 4 C C组组 教师专用题组教师专用题组 考点一正弦定理与余弦定理考点一正弦定理与余弦定理 答案答案8 解析解析因为cosA=-,0A,所以sinA=.由3=bcsinA得bc=24.又因为b-c= 2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=36+16

37、+12=64.故a=8. 1 4 2 1 cos A 15 4 15 1 2 2.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= . 3 1 26 答案答案1 解析解析在ABC中,由sinB=,可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=,利用正弦定 理=,可得b=1. 1 26 5 6 6 6 2 3 sin a Asin b B 3.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=. 23 答案答案 6 解析解析依题意知BDA=C+BAC, 由正弦定理得=, sin=, C+BAC=180-

38、B=60, C+BAC=45, BAC=30,C=30. 从而AC=2ABcos30=. 1 2 2 sinBDA 3 sinB 1 2 CBAC 2 2 1 2 6 4.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=. sin2 sin A C 答案答案1 解析解析在ABC中,由余弦定理的推论可得cosA=,由正弦定理可知 =1. 评析评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算 求解能力和知识的应用转化能力. 222 2 bca bc 222 564 2 5 6 3 4 sin2 sin A C 2sincos sin AA C 2co

39、saA c 3 24 4 6 5.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求B的大小; (2)求cosA+cosC的最大值. 2 2 解析解析(1)由余弦定理及题设得cosB=. 又因为0B,所以B=. (2)由(1)知A+C=,C=-A. cosA+cosC=cosA+cos =cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=cos. 因为0A, 所以当A=时,cosA+cosC取得最大值1. 222 2 acb ac 2 2 ac ac 2 2 4 3 4 3 4 22 3 4 A 2 2 2 2 2 2 2 2 24 A 3 4 4 2 6.(2015

40、安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 3 4 2 解析解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理得sinB=, 由题设知0B, 所以cosB=. 在ABD中,由正弦定理得AD= =. 22 3 4 10 sinbBAC a 3 3 10 10 10 4 2 1 sin B 1 1 10 3 10 10 sin sin(2 ) ABB B 6sin 2sincos B BB 3 co

41、sB 10 7.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. sin sin B C 2 2 解析解析(1)SABD=ABADsinBAD, SADC=ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得=. (2)因为SABD SADC=BD DC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+

42、2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 1 2 1 2 sin sin B C AC AB 1 2 2 8.(2013课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值. 解析解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB. 又A=-(B+C), 故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC. 由和C(0,)得sinB=cosB. 又B(0,),所以B=. (2)ABC的面积S=acsinB=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-

43、2accos. 又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立. 因此ABC面积的最大值为+1. 方法总结方法总结求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值. 4 1 2 2 4 4 4 22 2 9.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,ABC的面积为,求b,c. 3 3 解析解析(1)由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为B=-A-C,所以sinAsinC-cosA

44、sinC-sinC=0. 由于sinC0,所以sin=. 又0A,故A=. (2)ABC的面积S=bcsinA=,故bc=4. 又a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8. 解得b=c=2. 评析评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求 解关键.正确的转化是本题的难点. 33 3 6 A 1 2 3 1 2 3 1.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=() A.5B.C.2D.1 1 2 2 5 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 答案答案 BSABC=ABBCsinB=1sinB=,

45、 sinB=,B=45或135.若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2-21=5,AC=. 故选B. 思路分析思路分析利用SABC=ABBCsinB求出sinB的值,进而分析出B的大小,再利用余弦定理求解 AC的值. 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 5 1 2 2.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)= (c-b)sinC,则ABC面积的最大值为. 答案答案 3 解析解析因为a=2,所

46、以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦 定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=,又0A, 故A=.因为cosA=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公 式知SABC=bcsinA=bc=bc,故ABC面积的最大值为. 222 2 bca bc 2 bc bc 1 2 3 1 2 22 4 2 bc bc 24 2 bc bc 1 2 1 2 3 2 3 4 33 3.(2011课标,16,5分)在ABC中,B=60,AC=,则AB+2BC的最大

47、值为. 3 答案答案2 7 解析解析设AC=b=,AB=c,BC=a, 在ABC中,=2, a=2sinA,c=2sinC,又A+C=120, AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120-C) =4sinC+2cosC=2sin(C+), 其中sin=,cos=, 3060,而0C120, 30+Cb,a=5,c=6,sinB=. (1)求b和sinA的值; (2)求sin的值. 3 5 2 4 A 解析解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公 式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在ABC中,因

48、为ab,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB= 13,所以b=. 由正弦定理=,得sinA=. 所以,b的值为,sinA的值为. (2)由(1)及a0,则B. 又A(0,),故-A-B. 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以,A=2B. 0, 2 2 综上,A=或A=. 评析评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查 运算求解能力. 2 4 (2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB, 因sinB0,得sinC=cosB. 又B,C(0,

49、),所以C=B. 当B+C=时,A=;当C-B=时,A=. 2 4 a1 2 2 4 a1 2 0, 2 2 2 2 2 4 6.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=+. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC的最小值. tan cos A B tan cos B A 解析解析(1)由题意知2=+, 化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB, 即2sin(A+B)=sinA+sinB. 因为A+B+C=, 所以sin(A+B)=sin(-C)=sinC. 从而sinA+sinB=2sinC.

50、 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=, 所以cosC= =-, 当且仅当a=b时,等号成立. 故cosC的最小值为. sinsin coscos AB AB sin coscos A AB sin coscos B AB 2 ab 222 2 abc ab 2 22 2 2 ab ab ab 3 8 ab ba 1 4 1 2 1 2 评析评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查 了化归与转化的思想方法,属中档题. 7.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2. (1)求t

51、anC的值; (2)若ABC的面积为3,求b的值. 4 1 2 解析解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C. 又由A=,即B+C=,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC, 解得tanC=2. (2)由tanC=2,C(0,)得sinC=,cosC=. 又因为sinB=sin(A+C)=sin, 所以sinB=. 由正弦定理得c=b, 又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3. 评析评析本题主要考查三角函数及三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 1 2 1 2 1 2 4 3 4 2 5 5 5 5

52、 4 C 3 10 10 2 2 3 4 1 2 2 8.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n= (cosA,sinB)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求ABC的面积. 3 7 解析解析(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0, 由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0, 又sinB0,从而tanA=, 由于0A0,所以c=3. 故ABC的面积为bcsinA=. 3 3 3 3 7 3 1 2 3 3 2 故sinC=sin(A+B)=sin =sinBcos+cosBsin=. 所以ABC的面积为a

53、bsinC=. 3 B 3 3 3 21 14 1 2 3 3 2 解法二:由正弦定理,得=, 从而sinB=, 又由ab,知AB,所以cosB=. 7 sin 3 2 sin B 21 7 2 7 7 9.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角. (1)证明:B-A=; (2)求sinA+sinC的取值范围. 2 解析解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理, 得=, 所以sinB=cosA,即sinB=sin. 又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=. (2)由(1)知,C=-(A+B)=-=-2A0, 所以A. 于

54、是sinA+sinC=sinA+sin =sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+. sin cos A A a b sin sin A B 2 A 2 , 2 2 2 2 2 A 2 0, 4 2 2 A 2 1 sin 4 A 9 8 因为0A,所以0sinA, 因此0,a2. a的最小值为2,故选A. 1 2 3 bc 1.(2019河南六市3月联考,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则 ABC的面积的最大值为() A.4B.2C.3D. 2ac b cos cos C B 3333 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用

55、答案答案 A由=得2acosB-ccosB=bcosC,由正弦定理得,2sinAcosB=sinBcosC+sin CcosB,又知sin(B+C)=sinA=sinBcosC+cosBsinC,2sinAcosB=sinA,A(0,),sinA0, cosB=,又知B(0,),B=,又知cosB=1-=1-,ac16,当且仅当 a=c时等号成立,SABC=acsinB16sin=16=4,故ABC的面积的最大值为 4,故选A. 2ac b cos cos C B 1 23 1 2 222 2 acb ac 2 2 b ac 16 2ac 1 2 1 23 1 2 3 2 3 3 2.(201

56、9山西实验中学4月月考,10)设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A= 2C,则ABC周长的取值范围为() A.(0,2+)B.(0,3+) C.(2+,3+)D.(2+,3+ 23 2323 答案答案 C因为ABC为锐角三角形,所以0A,0B,0C,又A=2C,所以02C,0- C-2C,所以C,所以cosC,又因为A=2C,所以sinA=2sinCcosC,又因为c=1,所 以a=2cosC;由=,得b=4cos2C-1,所以a+b+c=4cos2C+2cosC,令t=cosC, 则t,又因为函数y=4t2+2t在上单调递增,所以函数值域为(2+,3+),故

57、选C. 2 2 2 2 2 6 4 2 2 3 2 sin b Bsin c C sin sin cB C sin3 sin C C 23 , 22 23 , 22 23 3.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+ asinB=b+c,b=1,点D是ABC的重心,且AD=,则ABC的外接圆的半径为() A.1B.2C.3D.4 3 7 3 答案答案A由正弦定理,得sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC,又sinC=sin(A+B),sinAsin B+sinAcosB=sinB+sin(A+B),可得sinAsin

58、B-cosAsinB=sinB,又sinB0,sinA-cosA= 1,sin=,由0A,得-A-0,则cosC= 0,b0,a+b=4,a+b2,所以ab4(当且仅当a=b时取等号),由(a+b)2= 16,得a2+b2=16-2ab,所以16-2ab-c2=ab,所以16-c2=3ab,故16-c212,c24,c2,故2c4,故选B. 考查目标考查目标本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及基本不等式等知识,考查学生的 化归与转化能力,运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 222 sinsinsin sin ABC C sinsin sincoscossin AB ABAB 222

59、 sinsinsin sin ABC C sinsin sin() AB AB ab 3.(2019山西3月质检,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a(2sinB-cosC)= ccosA,点G是ABC的重心,且AG=,则ABC的面积为() A.B. C.或2D.或 3 3 13 3 3 3 2 33 3 3 4 3 答案答案D由题可知2sinBACsinB-sinBACcosC=sinCcosBAC,2sinBACsinB= sinB,则sinBAC=,又知BAC(0,),所以BAC=或.又AG=,延长AG交BC于 点D,所以AD=.因为=(+),所以=(+)2,

60、即|AD|2=(b2+c2+2bccosBAC), 当BAC=时,c=3,所以ABC的面积为bcsinBAC=;当BAC=时,c=4,所以 ABC的面积为bcsinBAC=.故选D. 思路分析根据正弦定理先求出BAC的大小,结合中线的向量公式及向量数量积的运算公 式求出c的值,从而利用SABC=bcsinBAC得出结果. 33 3 3 23 2 3 13 3 13 2 AD 1 2 AB AC 2 AD 1 4 AB AC 1 4 3 1 2 3 3 4 2 3 1 2 3 1 2 4.(2019安徽A10联盟3月联考,12)如图,在ABC中,BDsinB=CDsinC,BD=2DC=2,AD