201803北京市北京101中学高三理零模试卷及答案

1、201803 北京市北京101 中学高三理零模试卷及答案北京一零一中 2017-2018 学年度第二学期统考四高三数学（理）2018.3本试卷共 4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40 分）一、选择题 ( 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 )1.已知集合 P xR |1x3 , B xR | x24 ,那么 P(eR B)（ A ） 2,3（ B） ( 2,3（ C） 1,2)（D） ( , 2 1,)2 xy0,2. 若

2、x, y 满足 xy3, 则 2xy 的最大值为x0,（A） 0（B） 3（C） 4（D） 53.执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为1/18（A）1（B） 2（C） 3（D） 44.设 an 是首项为正数的等比数列,公比为 q, 则 “q0 ”是 “对任意的正整数n,a2n 1a2n0 ”的（ A ）充要条件（ B）充分而不必要条件（ C）必要而不充分条件（ D）既不充分也不必要条件5.若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移个单位长度 ,则平移后图象的对称轴为12k(k Z )k( k Z )（ A ） x（ B） x2626k(k Z )k(k Z )（

3、C） x（ D） x2122126.如图 ,正方体 ABCD A1 B1C1D1 的棱长为2,动点 E, F 在棱 A1B1 上 ,动点 P, Q 分别在棱AD,CD 上 ,若 EF 1,A1 E x, DQy, DPz(x, y, z 大于零 ), 则四面体 PEFQ 的体积（ A ）与 x, y, z 都有关（ B）与 x 有关 ,与 y, z 无关（ C）与 y 有关 ,与 x, z 无关（ D）与 z 有关 ,与 x, y 无关2/187.x2y21表示双曲线 ,且该双曲线两焦点间的距离为4 ,则 n 的取值已知方程n 3m2nm2范围是（A） ( 1,3)（B） ( 1, 3)（ C

4、） (0,3)（ D） (0,3)8.定义 “规范 01数列 ” an 如下 : an 共有 2m 项 ,其中 m 项为0, m 项为 1,且对任意 k2m,a1 , a2 , ak 中 0 的个数不少于1的个数 ,若 m4, 则不同的 “规范 01 数列 ”共有（A） 18 个（B） 16 个（C） 14个（D）12个第二部分（非选择题共110 分）二、填空题 ( 共 6 小题，每小题5 分，共 30 分)9.已知 a,b R,i 是虚数单位 ,若 (1i)(1bi) a, 则 a 的值为 _ .b10.在数列 an 中 , a1 2, an 1anln(11), 则 an _ .n11.已

5、知圆的极坐标方程为6sin,圆心为 M，点 N 的极坐标为 (6,）,则 |MN |6_ .12.某几何体的三视图如图所示（单位: cm ） ,则该几何体的表面积是_ cm2 , 体积是 _ cm3 .213. 设 F 为抛物线 y 4 x 的焦点 , A, B,C 为抛物线上不同的三点,FAFBFC0, 则 |FA| |FB|FC |_ .f (x)| x |,xm,0, 若14. 已知函数x22mx4m, x其中 mm,存在实数 b, 使得关于x 的方程 f ( x)b 有三个不同的实根,则 m 的取值范围是 _ .3/18三、解答题 ( 共 6 小题，共80 分 。 解答应写出文字说明、

6、演算步骤或证明过程)15. （本小题满分 13 分）已知函数cos2x2sin x .f ( x)2sin(x)4（）求函数f ( x) 的最小正周期及其单调增区间 ;（）当 x ,2R, 不等式 mt2 时 ,对任意 tmt 2 f ( x) 恒成立 ,求实数 m 的取值范围 .234/1816. （本小题满分 14 分）摩拜单车和ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过1 小时（包含 1 小时）是免费的 ,超过 1小时的部分每小时收费 1 元（不足1 小时的部分按1 小时计算 ,例如 :骑行 2.5小时收费 2元） .现有甲、乙两

7、人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过 1 小时还车的概率分别为11 1 小时以上且不，；42超过 2 小时还车的概率分别为113小时.2，；两人用车时间都不会超过4（）求甲乙两人所付的车费相同的概率;（）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量, 求的分布列及数学期望E .5/1817. （本小题满分 13 分）如图 ,在三棱柱ABCA1B1C1 中 ,ACB90 , D 是线段 AC 的中点 ,且 A1D平面 ABC.（）求证 :平面 A1BC平面 AA1C1C ;（）求证 : B1 C / 平面 A1 BD ;（）若 A1 BAC1 , ACBC2, 求二面角AA1BC的余弦值 .6/18

8、18. （本小题满分 13 分）已知椭圆 C : x2y23221(a b 0) 的离心率为, A(a ,0), B (0,b ),O (0, 0),! OAB 的面积ab2为 1.（）求椭圆C 的方程 ;（）设P 是椭圆 C 上的一点 ,直线 PA 与 y 轴交于点M ,直线 PB 与 x 轴交于点N .求证 :| AN | |BM |为定值 .7/1819. （本小题满分 14 分）已知函数x2其中 a,bR,e 2.71828 为自然对数的底数 .f ( x) e axbx 1,（）设 g (x) 是函数 f ( x) 的导函数 ,求函数 g( x) 在区间 0,1 上的最小值 ;（）若

9、f (1)0, 函数 f (x) 在区间 (0,1) 内有零点 ,证明 : e2a1.8/1820. （本小题满分 13 分）对于nN , 若数列 xn 满足 xn 1xn1,则称这个数列为“K 数列” .（）已知数列1, m1,m2 是“ K 数列” ,求实数 m 的取值范围 ;（）是否存在首项为1 的等差数列 an 为“ K 数列”,且其前 n 项和 Sn 使得 Sn1n 2n 恒2成立 ?若存在 ,求出 an 的通项公式 ;若不存在 ,请说明理由 ; an 是“ K 数列” ,数列 1（）已知各项均为正整数的等比数列an 不是“ K 数列” ,若2bnan1 , 试判断数列 bn 是否为

10、“ K 数列” ,并说明理由 .n1北京一零一中 2017-2018 学年度第二学期统考四9/18数学学科测试答案（理工类）2018.3一、选择题 :本大题共8 小题 ,每小题 5分,共 40分 .题号12345678答案BCBCBDAC二、填空题 :本大题共6 小题 ,每小题 5 分,共 30 分.9. 210. 2ln n11.3312.80; 213.614.(3,)10/18三、解答题 :15. （本小题满分 13 分）解: 因为 f (x)cos2x2sin x2 sin(x)4cos2x2sin x22sin x2(cos x)22(cos2 xsin2 x)sin xcosx2s

11、in x(cos xsin x)(cos x sin x)sin xcos x2sin xsin xcos x2 sin( x)4（）函数f ( x) 的定义域为 x | x4k , k Z222,T|122 kx2 k,432kx2k,442 kx422k ,42kx2k,4所以 f ( x) 的递增区间为3,2k ),(2k ,2k ( k Z ).2k4444（）因为x ,2 ,23所以当 x时 , f ( x)max 1,211/18所以 mt2mt21恒成立 ,即 mt2 mt 1 0 恒成立 ,当 m0 时,显然成立 ;当 m0 时,若对于 tR 恒成立 ,只需m24m0 成立 ,

12、所以 0m4 ,综上 , m 的取值范围是0m4.12/1816. （本小题满分 13 分）解: （）所付费用相同即为0,2,4 元 .设付 0元为 P111142,8付2元为111P24,28付4元为111P34.416（）设甲乙两个所付费用之和为, 可为 0,2,4,6,8,P(0)1,8P(2)11115,442216P(4)1111115442424,16P(6)11113,442416P(8)111.4416随机变量的分布列是 :02468P15531816161616数 学期 望E 2564563181 .7 .211661613/1817. （本小题满分 14 分）（）证明 :因

13、为 ACB=90 ,所以 BCAC.根据题意 , A1D平面 ABC, BC平面 ABC,所以 A1 DBC.因为 A1 DACD , 所以 BC平面 AA1C1C.又因为 BC平面 A1BC .（）证明 :连接 AB1 , 设 AB1A1 BE, 连接 DE .根据棱柱的几何性质可知,E 为 AB1 的中点 ,因为 D是AC的中点,所以 DE / B1C.又因为 DE平面 A1BD ,B1C平面 A1BD,所以 B1 C / 平面 A1BD ,（）二面角 AA1B C 的余弦值是7.714/1818. （本小题满分 13 分）解: （）由椭圆的离心率为3得 c3,2a2由 A(a,0), B

14、(0,b),O(0,0), 且OAB 的面积为1 得 1ab 1,2又因为 c2a2b 2 ,所以 a2,b1,2所以椭圆的标准方程是xy21.4（）设P点坐标为00当x00时 ,(x, y ),则直线 PB 的方程是 y1y01 x,x0N 点坐标为 ( x0,0),|AN | xN2 |x012 |,1y0y0直线 PA 的方程是yy0( x2),x02M 点坐标为 (0,2 y0 ),| BM| yN1|2 y01|,2x0x02所以 |AN | BM|x02 |2 y01|4;|12y0x0当 x0 0 时 , y01,此时 |BM |2,| AN| 2,所以 | AN| |BM |

15、4.综上,|AN| |BM|为定值 .15/1819. （本小题满分 14 分）解: （）当 a1 时 , g ( x) 在区间 0,1 上的最小值是 1b;2当 1ac 时 , g (x) 在区间 0,1 上的最小值是g(ln(2 a)2a 2aln(2a) b;22当 ae 时 , g (x) 在区间 0,1 上的最小值是 e2a b.2（） (e2,1).16/1820. （本小题满分 13 分）解: （）由题意得(m1)11,2m(m1)1,解得 m2,所以实数 m 的取值范围是m2.（假设存在等差数列 an符合要求 ,设公差为 d, 则 d1,由 a11,得 Snnn(n1)2d ,

16、由题意 ,得 nn( n1)d1n 2n 对 nN 均成立 ,即 (n1)d n.22当 n1时 , dR;当 n1时 , dn,n1因为n111,1n 1n所以 d1,与 d1矛盾 ,所以这样的等差数列不存在.（）设数列 an 的公比为 q, 则 ana1 qn 1 ,因为 an 的每一项均为正整数,且 an 1anan qanan (q1)10,所以在 anan 1 中 ,“ a2a1 ”为最小项 .同理 ,1an1an 1 中 ,“1a21a1 ”为最小项 .2222由 an 为“ K 数列” ,只需 a2a1 1,即 a1 (q 1) 1,17/18又因为 1an 不是“ K 数列” ,且1a21a1 为最小项 ,222所以 1 a21 a1 1, 即 a1 (q 1) 2 ,22由数列an 1的每一项均为正整数 ,可得 a (q 1) 2,所以 a11,q3 或 a12,q2.当 a11,q 3 时, an3n 1 , 则 bn3n,n1令 cnbn 1bn (n N ), 则cn3n 13n3n2n 1,n2n1( n 1)(n 2)又 3n1(