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文档简介
1、几何最值之将军饮马巩固练习(提优)1.如图所示,在四边形abcd中,a90,c90,d60,ad3,ab,若点m、n分别为边cd,ad上的动点,则bmn的周长最小值为( )a. b. c. 6d. 3【解答】c【解析】作点b关于cd、ad的对称点分别为点b和点b,连接bb交dc和ad于点m和点n,连接mb、nb;再dc和ad上分别取一动点m和n(不同于点m和n),连接mb,mb,nb和nb,如图1所示:bbmbmnnb,bmbm, bnbn,bmmnbnbb,又bbbmmnnb,mbmb,nbnb,nbnm bm bmmnbn,nbnmbm时周长最小;连接db,过点b作bhdb于bd的延长线于
2、点h,如图示2所示:在rtabd中,ad3,ab,230,530,dbdb,又adc1260,130,730,dbdb,bdb1257120,dbdbdb,又bdb6180,660,hd,hb3,在rtbhb中,由勾股定理得:bb,nbnmbm6,故选c.2.如图,在四边形abcd中,daab,da6,bc150,cd与ba的延长线交于e点,a刚好是eb中点,p、q分别是线段ce、be上的动点,则bppq最小值是( )a. 12b. 15c. 16d. 18【解答】d【解析】如图,作点b关于ce的对称点f,连接bf,ef,则ebef,bc150,bec30,bef60,bef是等边三角形,连接
3、bp,pf,pq,则bpfp,bpqpfppq,当f,p,q在同一直线上且fqeb时,bppq的最小值为fq的长,此时,q为eb的中点,故与a重合,daab.da6,ae ,rtqef中,fqae18,bppq最小值值为18,故选d.3.如图,等边abc中,ad为bc边上的高,点m、n分别在ad、ac上,且amcn,连接bm、bn,当bmbn最小时,mbn 度.【解答】30【解析】作chbc,使得chbc,连接nh,bh,如图所示:abc是等边三角形,adbc,chbc,dacdab30,adch,hcncadbam30,amcn,abbcch,abmchn(sas),bmhn,bnhnbh,
4、b,n,h共线时,bmbnnhbn的值最小,当b,n,h共线时,如图所示:abmchn,abmchbcbh45,abd60,dbm15,mbn451530,当bmbn的值最小时,mbn30.4.如图,矩形abcd中,ab4,bc6,点p是矩形abcd内一动点,且,则pcpd的最小值为 .【解答】【解析】如图,作pmad于m,作点d关于直线pm的对称点e,连接pe,ec.设am,四边形abcd是矩形,ab/cd, ab cd4, bcad6,2,am2,dmem4,在rtecd中,pm垂直平分线段de,pdpe,pcpdpcpeec,pdpc,pdpc的最小值为.5.如图,在abc中,acb90
5、,点d是直线bc上一点.(1)如图1,若acbc2,点d是bc边的中点,点m是线段ab上一动点,求cmd周长的最小值;(2)如图2,若ac4,bc8,是否存在点d,使以a,d,b为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直按写出线段cd的长度;若不存在,请说明理由.【解答】(1)cmd周长的最小值为;(2)存在,详细见解析【解析】(1)如图,作c关于ab的对称点e,连接de交ab于m,此时,cmd周长的值最小,acbc,acb90,bce45,连接be,bcbe2,cbe是等腰直角三角形,cmd周长的最小值 ;(2)存在,ac4,bc8,当ad1ab时,ad1b的等腰三角形,acbc,cd1bc8
6、当bd2ab 时,ad2b是等腰三角形,当ad3d3b时,ad3b的等腰三角形,bd38cd3,解得cd23,当bd4ab 时,ad4b的等腰三角形,cd48 ,综上所述,以a,d,b为顶点的三角形是等腰三角形,线段cd的长度为8或8或3或8.6.如图,在锐角三角形abc中,bc4 ,abc45,bd平分abc,m、n分别是bd、bc上的动点,试求cmmn的最小值.【解答】4【解析】如图所示,过点c作ceab于点e,交bd于点m,过点m作mnbc于n,则ce即为cmmn的最小值.bc,abc45,bd平分abc,bce是等腰直角三角形,故cmmn的最小值为4.7.如图,在平行四边形abcd中,
7、bd是对角线,adb90,e、f分别为边ab、cd的中点.(1)求证:四边形debf是菱形;(2)若be4,deb120,点m为bf的中点,当点p在bd边上运动时,求pfpm的最小值.【解答】(1)见解析;(2)【解析】(1)证明:平行四边形abcd中,adbc,dbcadb90,abd中,adb90,e时ab的中点,deabaebe,同理,bfdf,平行四边形abcd中,abcd,debebfdf,四边形debf是菱形;(2)连接bf,如图所示:菱形debf中,deb120,ebf60,bef是等边三角形,m是bf的中点,embf,则,即pfpm的最小值是.8.已知:矩形abcd中,ad2a
8、b,ab6,e为ad中点,m为cd上一点,peem交cb于点p,en平分pem交bc于点n.(1)求证:peem;(2)用等式表示bp2、pn2、nc2三者的数量关系,并加以证明;(3)过点p作pgen于点g,k为em中点,连接dk、kg,求dkkgpg的最小值.【解答】(1)见解析;(2)bp2nc2pn2;(3)【解析】(1)证明:过p作pqad于q,则pqab,如图所示:ad2ab,e为ad中点,ad2de,pqde,peem,pqedpem90,qpepeqpeqdem90,qpedem,pqeedm(asa),peem;(2)三者的数量关系是:bp2nc2pn2点n与点c重合时,p为
9、bc的中点,显然bp2nc2pn2成立;点p与点b重合时,n为bc的中点,显然bp2nc2pn2成立;证明:连接be、ce,如图所示:四边形abcd为矩形,ad2ab,e为ad中点,aabc90,abcdaede,aeb45,dec45,在abe和dce中,abedce(sas),bec90,bece,ebcecb45,ebcecd,又becpem90,bepmec,ebpecm在bep和cem中,bepcem(asa),bpmc,peme,en平分pem,penmen45,在epn和emn中,epnemn(sas),pnmn,在rtmnc中有:mc2nc2mn2,bp2nc2pn2;(3)连接pm,如图所示
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