专题12 几何最值之将军饮马巩固练习（提优）-冲刺2020年中考几何专项复习（解析版）

1、几何最值之将军饮马巩固练习（提优）1.如图所示，在四边形abcd中，a90，c90，d60，ad3，ab，若点m、n分别为边cd，ad上的动点，则bmn的周长最小值为（ ）a. b. c. 6d. 3【解答】c【解析】作点b关于cd、ad的对称点分别为点b和点b，连接bb交dc和ad于点m和点n，连接mb、nb；再dc和ad上分别取一动点m和n（不同于点m和n），连接mb，mb，nb和nb，如图1所示：bbmbmnnb，bmbm， bnbn，bmmnbnbb，又bbbmmnnb，mbmb，nbnb，nbnm bm bmmnbn，nbnmbm时周长最小；连接db，过点b作bhdb于bd的延长线于

2、点h，如图示2所示：在rtabd中，ad3，ab，230，530，dbdb，又adc1260，130，730，dbdb，bdb1257120，dbdbdb，又bdb6180，660，hd，hb3，在rtbhb中，由勾股定理得：bb，nbnmbm6，故选c.2.如图，在四边形abcd中，daab，da6，bc150，cd与ba的延长线交于e点，a刚好是eb中点，p、q分别是线段ce、be上的动点，则bppq最小值是( )a. 12b. 15c. 16d. 18【解答】d【解析】如图，作点b关于ce的对称点f，连接bf，ef，则ebef，bc150，bec30，bef60，bef是等边三角形，连接

3、bp，pf，pq，则bpfp，bpqpfppq，当f，p，q在同一直线上且fqeb时，bppq的最小值为fq的长，此时，q为eb的中点，故与a重合，daab.da6，ae ，rtqef中，fqae18，bppq最小值值为18，故选d.3.如图，等边abc中，ad为bc边上的高，点m、n分别在ad、ac上，且amcn，连接bm、bn，当bmbn最小时，mbn 度.【解答】30【解析】作chbc，使得chbc，连接nh，bh，如图所示：abc是等边三角形，adbc，chbc，dacdab30，adch，hcncadbam30，amcn，abbcch，abmchn（sas），bmhn，bnhnbh，

4、b，n，h共线时，bmbnnhbn的值最小，当b，n，h共线时，如图所示：abmchn，abmchbcbh45，abd60，dbm15，mbn451530，当bmbn的值最小时，mbn30.4.如图，矩形abcd中，ab4，bc6，点p是矩形abcd内一动点，且，则pcpd的最小值为 .【解答】【解析】如图，作pmad于m，作点d关于直线pm的对称点e，连接pe，ec.设am，四边形abcd是矩形，ab/cd， ab cd4， bcad6，2，am2，dmem4，在rtecd中，pm垂直平分线段de，pdpe，pcpdpcpeec，pdpc，pdpc的最小值为.5.如图，在abc中，acb90

5、，点d是直线bc上一点.（1）如图1，若acbc2，点d是bc边的中点，点m是线段ab上一动点，求cmd周长的最小值；（2）如图2，若ac4，bc8，是否存在点d，使以a，d，b为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段cd的长度；若不存在，请说明理由.【解答】（1）cmd周长的最小值为；（2）存在，详细见解析【解析】（1）如图，作c关于ab的对称点e，连接de交ab于m，此时，cmd周长的值最小，acbc，acb90，bce45，连接be，bcbe2，cbe是等腰直角三角形，cmd周长的最小值 ；（2）存在，ac4，bc8，当ad1ab时，ad1b的等腰三角形，acbc，cd1bc8

6、当bd2ab 时，ad2b是等腰三角形，当ad3d3b时，ad3b的等腰三角形，bd38cd3，解得cd23，当bd4ab 时，ad4b的等腰三角形，cd48 ，综上所述，以a，d，b为顶点的三角形是等腰三角形，线段cd的长度为8或8或3或8.6.如图，在锐角三角形abc中，bc4 ，abc45，bd平分abc，m、n分别是bd、bc上的动点，试求cmmn的最小值.【解答】4【解析】如图所示，过点c作ceab于点e，交bd于点m，过点m作mnbc于n，则ce即为cmmn的最小值.bc，abc45，bd平分abc，bce是等腰直角三角形，故cmmn的最小值为4.7.如图，在平行四边形abcd中，

7、bd是对角线，adb90，e、f分别为边ab、cd的中点.（1）求证：四边形debf是菱形；（2）若be4，deb120，点m为bf的中点，当点p在bd边上运动时，求pfpm的最小值.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：平行四边形abcd中，adbc，dbcadb90，abd中，adb90，e时ab的中点，deabaebe，同理，bfdf，平行四边形abcd中，abcd，debebfdf，四边形debf是菱形；（2）连接bf，如图所示：菱形debf中，deb120，ebf60，bef是等边三角形，m是bf的中点，embf，则，即pfpm的最小值是.8.已知：矩形abcd中，ad2a

8、b，ab6，e为ad中点，m为cd上一点，peem交cb于点p，en平分pem交bc于点n.（1）求证：peem；（2）用等式表示bp2、pn2、nc2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点p作pgen于点g，k为em中点，连接dk、kg，求dkkgpg的最小值.【解答】（1）见解析；（2）bp2nc2pn2；（3）【解析】（1）证明：过p作pqad于q，则pqab，如图所示：ad2ab，e为ad中点，ad2de，pqde，peem，pqedpem90，qpepeqpeqdem90，qpedem，pqeedm（asa），peem；（2）三者的数量关系是：bp2nc2pn2点n与点c重合时，p为

9、bc的中点，显然bp2nc2pn2成立；点p与点b重合时，n为bc的中点，显然bp2nc2pn2成立；证明：连接be、ce，如图所示：四边形abcd为矩形，ad2ab，e为ad中点，aabc90，abcdaede，aeb45，dec45，在abe和dce中，abedce（sas），bec90，bece，ebcecb45，ebcecd，又becpem90，bepmec，ebpecm在bep和cem中，bepcem（asa），bpmc，peme，en平分pem，penmen45，在epn和emn中，epnemn（sas），pnmn，在rtmnc中有：mc2nc2mn2，bp2nc2pn2；（3）连接pm，如图所示