一元二次方程知识点总结与易错题

1、元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、元二次方程的一般形式:ax2+bx + c=O(a hO)，它的特征是：等式左边一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次 项系数；c叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适 用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x + a是b的平方根，当b0 时，x+a=7E， x = -

2、a7b，当b0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;II当 =0时，一元二次方程有2个相同的实数根;III当 0时，一元二次方程没有实数根。考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax?+bx+c =0（a工0）的两个实数根是Xi，x?，那么xi x? =-b， xix。也就是aa说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数 所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元 次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是

3、二次函数的一个特殊情况，就是当 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就 是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了二次函数知识点、二次函数概念:21.二次函数的概念：一般地，形如 yxx +bx+c（ a，b，c是常数，aHO ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数aH0，而b，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数。22. 二次函数yxx + bx+c的结构特征:X的最咼次数是2.c是常数项. 等号左边是函数，右边是关于自变量 X的二次式,a，b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数,、二次函数的基本形式2

4、1. 二次函数基本形式：y=ax的性质: a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a aO向上(0 ,0)y轴xaO时，y随X的增大而增大；x0时，y随X的增大而减小；X =0时，y有最小值0 .a 0向下(0，0)y轴xiO时，y随X的增大而减小；x0向上(0 ,c)y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随X的增大而减小；X =0时，y有最小值c .a C0向下(0，c)y轴XAO时，y随X的增大而减小；x0向上(h，0)X=hXM时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；X = h时，y有最小值0 .a c0向下(h ,0)X=hXAh时，y随X的

5、增大而减小；Xh时，y随X的增大而增大；X =h时，y有最大值0 .24. y=a(x-h)+k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a :0向上(h , k)X=hXAh时，y随X的增大而增大；xh时，y随X的增大而减小；x=h时，y有最小值k.a c0向下(h，k)X=hxAh时，y随X的增大而减小；xch时，y随X的增大而增大；X =h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤:2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h ）+k，确定其顶点坐标（h ,k ）； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下:y=aX向上冈【或向下0】平移个

6、单位1ly=aX+k向J上0）【或下0】平移个单位向右0）【或左0） 平移k个单位向右0）【或左0） 平移k个单位向上00）1或下0） 平移个单位向右0）【或左0） 平移k个单位y=ax-h2yyiOx-k2.平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加 右减，上加下减”.方法二：2 2 2y=ax +bx+c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y = ax +bx+c变成y = ax bx+c + m2(或 y = ax +bx+c m)2 2y x +bx +c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y-ax + bx + c变成2 2y =a(x

7、+m) +b(x+m)+c (或 y=a(x-m) + b(x-m)+c)2 2四、二次函数y=a（x-h）+k与yxx +bx+c的比较2 2从解析式上看，y =a（x -h ） +k与y X +bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到y#+口前者，即 I 2a丿+屮 h,k=g4a ，其中 2a4a五、二次函数+bx+c图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax + bx+c化为顶点式y=a（x-h） +k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y轴的交点（，c）、以及，c）关于对称轴对称的点a，c

8、）、与x轴的交点（X1,0 ）,（X2,0 ）（若X轴的交点,与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与六、二次函数2yax +bx+c的性质1.当a0时,bX = 抛物线开口向上，对称轴为2af-，顶点坐标为I 2a4ac-b24abX 2a时,bX =y随X的增大而增大；当2a时，y有最4ac -bbX -y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；当七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y-aJ+bx+c（ a , b , c 为常数，a 丸）；22.顶点式：y=a（x-h） +k（ a , h , k 为常数，0）； 小值

9、 4a2.当a0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然aHO当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小,开口越大;当ao，即抛物线对称轴在y轴的右侧. 在xo的前提下，结论刚好与上述相反，即当0时，一盘0，即抛物线的对称轴在y轴02a，即抛物线对称轴=0右侧；当b=0时，2a ，即抛物线的对称轴就是y轴；当b 0，在y轴的右侧则ab W 0，概括的说就是“左同右异”3. 常数项C 当CAO时，抛物线与y轴的交点在X轴上方，即抛物线与y

10、轴交点的纵坐标为正;当c=o时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与X轴交于两点Ap1，0B（X2，0）（为如），其中的xi，x2是一元二次2AB =|x2 -Xi| =方程ax +bx+c=0（aH0 ）的两根.这两点间的距离a、b、当也=0时,当A 0时,图象与x轴只有一个交点;图象与x轴没有交点.图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0抛物线与x轴有两二次三项式的值可正、可元二次方程有两个不相等实根个交点零、可负也=0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根也

11、0抛物线与x轴无交占八、二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2ax +bx+ c（aHO）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a aO时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:22-3【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1（ 1）二次函数y =ax2 +bx壮的图像如图1,则点MQ；）在（）A.第一象限B .第二象限 C.第三象限D .第四象限(2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (0)的图象如图2所示，？则下列结论：a b同号; 当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.

12、其中正确的个数是i厂V Jy/,V達A. 1 个 B . 2 个 C.3个 D . 4个【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , O)、(x1 , 0)，且1x12,与y轴的 正半轴的交点在点(O, 2)的下方.下列结论：abO4a+cO,其中正确结论的个数为()A 1 个B. 2 个C. 3 个D . 4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标

13、为()(3 , 2)A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D答案：C例4、(烟台市)如图(单位：m，等腰三角形 直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,方形重叠部分的面积为ym2(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少?(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(xi,0)，B(x2，0)两点(Xi *2)，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在

14、二次函数的图象上是否存在点 M使锐角/ MCOZ A CO若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1 , 0) , B(x2 , O),则 x1 x2=3vo,又 x10, x1vO, / 30A=OB. x2=-3x1 . x1 x2=-3x12=-3 . x12=1.x10, x1=-1 . x2=3.点A(-1 , O), P(4, 10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 . 存在点M使/ MC0N ACO解：点A关于y轴的对称点A (1 , O),直线A, C解析式为y=6x-6直线AC与

15、抛物线交点为(0 ,-6),(5 , 24) 符合题意的x的范围为-1x0或0VXV5当点M的横坐标满足-1x0或0VXV5时,/ MCONACO一个交点的坐标是(3-弱，0).5y = 一，令x=3代入解析式，得 2所以抛物线125y =-x -3x+2的顶点坐标为(32)，所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3，号等等。函数主要关注：通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。元二次方程易错题1、选择题若关于x的一元二次方程(m-1)x 2+5x+nn-3m+2=0有一个

16、根为0 ,贝U m的值等于()A . 1 B . 2 C2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ,则可列方程为()45(1 + 2x) =50A . 45 +2x=50 B . 45(1 +x)2 =50 C . 50(1-x)2 =45 D.3、已知a, b是关于x的一元二次方程X2+ nx1=0的两实数根,则的值是（）a b4、A . n2 +22 2B.-n +2C.n -22D.-n -2已知a、b、c分别是三角形的三边，则（a + b）x2 + 2cx + （a+ b） = 0的根的情况是（A

17、.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根已知m,n是方程X2 -2x-1 =0的两根，且（7m2 -14 m + a）（3 n2 -6 n- 7） = 8，则a的值等于6、A. 5B.5C.-9D.9已知方程+bx+a=0有一个根是-a（aH0），贝U下列代数式的值恒为常数的是（7、a -bA. abx2 -2x -2 =0的一较小根为X1,下面对X1的估计正确的是（）A . 一2 c % c -1B . 一1 为 0C. 0 c Xj c1D . 1 x 28、关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是X1、X2，且 X： +

18、X； = 7，贝Ua -X2）2的值是（）A. 1B . 12C . 13D . 259、中江县20XX年初中毕业生诊断考试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了 2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意,列出方程为（）A. x(x-1)=2450 B. x(x+1)=2450 C. 2x(x+1)=2450 D. X(1 2450210、设a，b是方程x2 +x-2009 =0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） 11、对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a工0），下列说法:A. 2006B. 2007C. 2008D. 2009若a+c=0,方程ax2+bx+c=0必有实数根；若b +4ac0,则方程ax2+bx+c=0 定有实数根; 若a-b+c=0，贝U方程ax2+bx+c=0 一定有两个不等实数根; 若方程ax2 +bx+c=0有两个实数根，则方程cx2 +bx+a=0一定有两个实数根.其中正确的是()A . B . C . D .、填空题 1、若一元二次方程x5、在等腰 ABC中，三边分别为a, b, c,其中a=5,若关于x的方程x +(b+2