(完整)数值分析题库及答案,推荐文档

1、模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)15232.设A210, x414221有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)，贝V A =.，X广3.已知y=f(x)的均差14flX0.X1.X2 , flX1.X2.X335 , flX2.X3.X439115，8Hxo.X2.X3-3,那么均差 f X4,X2, X3=4.已知n=4时Newton Cotes求积公式的系数分别是：C04)-,Ci(4)9016 C(4).C245y f (x y)5.解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法;y(Xo) yo5x-|3x20.1x336 .求解线性代数方程组2x,6x20

2、.7X32的高斯一塞德尔迭代公式为X12x23.5x31若取 X(0)(1. 1.1).则 X 7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 .&丨o(x). h(x).L . l n(X)是以整数点Xo. X1.L . Xn.为节点的Lagrange插值基函数，则nxj j(Xk)=.k 09.解方程组Axb的简单迭代格式X(k 1 Bx(k) g收敛的充要条件是 .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15,p(

3、1) 20 , p (1)30p(2)57 , p(2)72.112. 构造代数精度最高的形式为xf(x)dx A)f(3)Af(1)的求积公式，并求出其代数精度.xk xk 13.用Newt on法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求10Xkyn 1yn 1hi(fn1 4fnfn 1)，其中fif (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分)设对任意的x，函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0的任意，迭代格式Xk 1 Xk f (xj均收敛于f (x) 0的根x*.M参考答案一、填空题91,161. 5 ；2.8, 9 ;3.；

4、4.1545才1)(3 3x2k) 0.1x3k)/56. x2k1)(2 2x(k1) 0.7x3k)/6 ,x3k1)(1 才1) 2x2k )*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. xk 1XkXk f(Xk) . 8 1 f (Xk)Xj.9.(B) 1.24用最小二乘法求形如 y a bx的经验公式拟合以下数据：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组1020X150101X231243X317 .0103X476试用数值积分法建立求解初值问题yf (:x,y)的如下数值求解公式y(0)yo132110. -x x

5、 -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题11122151515575720204272152230781p(x) 1520( x 1) 15(x 1)27(x 1)3(x1)3(x 2)5 4x3x2 2x3x4其他方法：设 p(x)15 20(x 1) 15(x1)27(x1)3(x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72，求出 a 和 b.2取f(x) 1,x，令公式准确成立，得:1 1A。 A ，AoA2 2f (x)x2时，公式左右公式的代数精度2.Ao 丄，A331; f (x) x3时，公式左4公式右55243 此方

6、程在区间(2,)内只有一个根s，而且在区间(2, 4)内。设 f (x)x ln x 2则 f (x)11 ,xf(x)1x2,Newton法迭代公式为xk 1xkxkIn xk21 1%Xk(1ln Xk)xk 1k 0,1,2,取Xo3.146193221。4.span1,x2 , At1111, yT19.0 32.3 49.0 73.31922523023823，得 s X443330解方程组At AC ATy，其中AtA3330 3416082解得：C1.416650.0504305所以 a 0.9255577, b0.0501025.5解设102011 0200101l211u22

7、u23u241243l31l321u33u340103l41l42l431u44由矩阵乘法可求出Ujj和l ij11l2110 1l31l3211 2 1l41l42l4310 1 0110 201 0 20u22u23u241 01u33u3421u4421y15解下三角方程组01y23121y317010 1y47有 y15, y23 ,y36 ,y44.1 020 x15101x23再解上三角方程组21 X362 x44得原方程组的解为X11x21 , X32 , X42.6 解初值问题等价于如下形式y(x)y(Xn 1)Xf (X, y(x)dx,xn 1取 x Xn 1，有 y(Xn

8、 1) y(Xn 1)Xn 1Xn 1f (X, y(x)dx,利用辛卜森求积公式可得yn 1 yn 1 - (fn 1 4fn fn1).3三、证明题由于 (X) X证明 将 f (x)0 写成 X X f (x) (x),f(x)1 f (X)，所以 |(x)| |1 f (x)| 1所以迭代格式xk 1 xkf (Xk)均收敛于f(x) 0的根x*.模拟试卷(二)一、填空题(每小题 3分，共30分)1分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和位;10212设 A 110, x3,则 A 1=, x38213 对于方程组2x110X15x214x23J

9、acobi迭代法的迭代矩阵是 Gj4设 f(x) x3 x 1,则差商 f 0,1, 2,3=， f 0, 1, 2, 3,4 =1 25.已知A,则条件数Cond (A)0 116为使两点的数值求积公式1 f (x)dx f(x0) f(xj具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 x0=,x-1 =y f (x, y)7.解初始值问题近似解的梯形公式是 yk 1y(x。)y。&求方程f(x) 0根的弦截法迭代公式是 9计算积分1 Jdx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ,用辛卜0.5生公式计算的结果是10任一非奇异矩阵 A的条件数Cond(A) =，其Cond(A) 一定大于等

10、于 二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1 x sinx在区间0,1有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过-10 4近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：史仝1 x 1.2 dx y,y(1) 2试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h 0.2.335片103 用矩阵的LDLt分解法解方程组359X2165917X3304用最小二乘法求一个形如 y的经验公式，使它与下列数据拟合a bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x 0.4 y0.4z 15设方程组0.4xy0.8z2 ,试考察解此方程组的雅

11、可比迭代法及高斯-赛德尔迭代0.4x0.8y z3法的收敛性。4116按幕法求矩阵A132的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0)T，迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求 a(a 0)的迭代公式为:1(xk f)Xk 1X。0 k0,1,2证明：对一切k1,2,L ,且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛参考答案8.6,7;2.9,11 ;03 .2.52.50ykhh f (Xk, yk)f (Xk21, yk 1 )；f(Xk)、填空题1.7.k11 k1 14.1, 0;5.9;6.-=,;f(Xk) f (Xk 1)9. 0.4268, 0.43

12、09; 10.KHA二、综合题1解令f(x)1 x sinx，则 f(0)10 , f(1) sin1 0,且 f (x)1 cosx 0故1 x sinx在区间0,1内仅有一个根x .利用二分法求它的误差不超过1 10 4的近似解，则|xk 1 x解此不等式可得 k4ln10In 213.2877所以迭代14次即可.解：2、k1f (xo, y)0.5,k2f (xi, yohki)0.571429,k2)0.1(0.50.571429)2.1071429解设3171l21l31d1l21利用矩阵乘法可求得d1d2y11l32d213113210d3I 21d3l311322解方程组153y

13、2y3再解方程组9 17.8故所求经验公式为1630得y110,y26,y3X1X2X3d11d21d3110X11,X21,X32.bX容易得出正规方程组16971，解得 a 2.0535,35.39023.0265 .2.0535 3.0265X门)由于fj()0.4 0.40.40.80.4 0.80.960.256fJ( 1)1 0.98 0.2560 ,所以fj( )0在(2,1)内有根0.4(2)由于 fG( )0.40.40.8fJ( 2)8 1.96 0.2560i且I i| 1，故利用雅可比迭代法不收敛0.420.8(0.8320.128)所以(G)0.832，故利用高斯赛德

14、尔迭代法收敛6 解 因为 x(0)1,0,0T，故 Px(0) P 1,且yAx(0)4, 1,1 丁，(1) max(y)4 .从而得x(1) y/Py P 1,1T，y(2) 4 4三、证明题Ax99 9t2*，max(y)证明：由于xk 1如自a k O12丄故对一切k，xkxk 1又亠Xk所以xk 1Xk，即序列Xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛模拟试卷(三)一、填空题(每小题3分，共30分)1设a2.40315是真值x 2.40194的近似值，则a有位有效位数，相对误差限为;2. 若用二分法求方程 f(X) 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。3. 有n个节

15、点的高斯求积公式的代数精度为 次.4. 设(x) x a(x2 5)，要使迭代格式xk 1(xk)局部收敛到x . 5，则a的取值范围是5 设线性方程组 Ax = b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差艸，就一定能保证解的相对误差剧 ;恻|x|6 .给定线性方程组则解此线性方程组的Jacobi 迭代公式5x2,Gauss-Seidel迭代公式是nf (x)dx的求积系数之和是 7插值型求积公式Akf(xQk 0&数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9.已知函数f (0.4)0.411, f(0.5)0.578 , f (0.6)0.697，用此函数

16、表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是2 1010.设 A12a，为使A可分解为A= LLt，其中L是对角线元素为正的下三角0a2矩阵，则a的取值范围是。二、综合题(每题10分，共60分)1.用Newt on法求方程x ln x 2在区间(2,)内的根，要求 _生 10 8 xk10 112122.设有方程组 Ax b，其中A 221, b1 3,已知它有解x1 3 , 如02 22301 6果右端有小扰动5b- 10 ，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分e1/xdx的近似值，并估计截断误差14设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值

17、法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使其满足 巳(0) 0,R(1) 1,P(1) 3,R(2) 1,并写出误差估计式。5. A 121 ，给出用古典0 1 2Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。6.用梯形方法解初值问题y yy(0)证明其近似解为yn，并证明当h 0时，它收敛于原初值问题的准确解三、证明题(10分)若 f (x)niaiX1有n个不同的实根，证明kXjf (Xj)0,1an参考答案、填空题1. 3,0.510-32.10;3.2n-1;4.0;5.cond (A);6.x：k 1)x(k 12(8 x2k)/9(4 #k)/5k 0,1L ,X：k 1)x(k

18、12(8(4x2k)/9 x(k 1)/50,1L7.b a;8. O(h5);9.2.4; 10 .3二、综合题1.此方程在区间(2,)内只有一个根s ,而且在区间(2, 4)内。设 f (x) x In x 2则 f (x)1 丄,xf (x) , Newt on法迭代公式为x2xkxk ln xk 21 xkXk(1 ln Xk)xk 10,1,2,取 x03，得 s x43.146193221。2 .解 A 111.5 , Cond(A) 22.5，由公式1hlI划Cond(A)詁，有22.53.2e1/xdx126101.6875 10 511/1.51/2(e 4ee1/2)2.0

19、263, f x12x736 )e1/x，x xmax1 x 2f(4)(x)f(4)(1) 198.43 ,(21)5截断误差为R2max2880 1 x 2f(4)(x)0.068904由所给条件可用插值法确定多项式5 3P3(x)，F3(x)-x7x2(由题意可设 R(x) f (x)P3(x)2k(x)x(x 1) (x 2)为确定待定函数 k(x)，作辅助2函数：g(t) f (t) P3(t) k(x)t(t 1) (t 2),则g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点t x, t 0,1,2 ( t 0为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至 1少有一个零点 (0,3

20、),使g()0 ,从而得k(x) f()。故误差估计式为 4!1R(x) -f(4)( )x(x 1)2(x 2) ,(0,3)。4!5.首先取i 1, j 2,因cot 20 ,故有工曰1,于是 cossin4.211022VV12() 寺1200010 3;1 0 12o O 1 1-2 1-2 O1-2 1-2 O0 1212 12 10T o o 11-2 1-2 0V 1-.21-.2OA6.梯形h公式为 yn 1 yn - f(Xn,yn) f X 1 ,n1)，由f(x, y) y ，得yn 1yn所以*1h2(yn yn 1)，(2 h/穴yn (2 g 亍)yn 11y。(2

21、 h)n 1 (F_h),用上述梯形公式以步长h经n步计算得到yn ,所以有hnx，所以2 h)n2 h)三、证明题于 f(x)iaiX的实根，故f(x) an(xXi)(xX2)L(xXn) anWn(x)，于是记 g(x) xk，则i再由差商与导数的关系知kXjkXjf (Xj)f (Xj)ankXji 1 f (Xj)nkn XjkXji 1 anWn(Xj)g(Xj)Wn(Xj)0,1anan i 1Wn(Xj)angX1,X2丄用，模拟试卷(四)、填空题(每小题 3分，共30分)1 . 为了减少运算次数，应将算式y 122x 34(2x 3)2，为减少舍入误差的影响，应将算式9 、8

22、0改写为2.111211 , | A13 213.设在X g(x)的根X附近有连续的二阶导数，且g (X)1，则当时迭代过程Xk 1 g(Xk)是线性收敛的，则当 时迭代过程Xk 1 g(Xk)是平方收敛的。a 10. k4.设A，则当a满足时，有lim A 00 1 k5用列主元消去法解线性方程组Ax=b时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元 1)，使得 a(k 1)。6已知函数 f(0)1, f(1)3 , f(2)7，贝U f0,1=, f 0,1,2 = , f (x)的二次牛顿插值多项式 7.求解方程f(x) 0 ,若f(x) 0可以表成X (X),则用简单迭代法求根，那么

23、(X)满足，近似根序列x,x2丄,xn,L 一定收敛。f (x)dx的代数精度至少是次，最高n& n 1点插值型数值积分公式Ak f (Xk)k 0不超过次。9写出初值问题2xy 在0,1上欧拉计算格式 y(0) 110.解初始值问题yf(x,y)的梯形方法是阶方法y(X0)y。二、综合题(每题10分，共60分)1.证明方程x3 X 1 0在区间1 , 2内有唯一根x* ,用牛顿迭代法求 x*(精确至3位小X1X2X332用列主元消去法解线性方程组X13x22x322x12x2X313.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。21 04

24、设有矩阵A121 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特01 25 .用改进的Euler方法求初值问题2y yy(0) 1(0x 1,取步长h 0.1)征向量(注：求迭代 4次即可)6 给定数据 f(0.1)5.1234, f (0.2)5.3053, f(0.3)5.5684，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题(10分)设线性方程组为a1nX|312X2821X1322 X2bb2a11a22(1) 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(2) 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案、填空题1.u2x1 y (8u-4)u2)u 1,31

25、；2. 6, 6;9803.g (x )0, g(x )0, g (x )0 ； 4.1；5.max a k i n(k ik1)6. 2,21, X X1;7.(x) L 1； 8. n , 2n 1；9.ynh(yny。二、综合题1.令 f(x)X 1,f (x) 3x20, f (x)在(1 2严格单增3XkXk又f(1)1, f(2) 5, f(x)在(1 )上有唯一根;取 X0=1.2,得1.2,1.34217, 1.325,1.32472, 1.32472, 1.32472或取X)1.0 ,1.,1.5,1.34783,1.3252, 1.32472, 1.32472,所以X*1.32472.2111322 1 1 2211(A,b51.522111113020.52.5由牛顿迭代公式Xk 1Xk3Xk212211042.51.5 ,故 X!X2X31005/45/43.N3(x) 1 2x 3/ 2 X (x 1) X (x 1) (x 2) x3 4.5 X2 5.5x 1或 L3(x)x3 4.5 x2 5.5x 14取Uo (1,1,1$ ，由乘幕法得，V1 = Au 0 = (1,0,1) ，U1= (1,0,1)， V2 = Au1 =(2,-2,2),U2=(1, 1,1)V3 =