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文档简介
1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 (有答案 )总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造 二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法: 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合 一”的性质解题2. 倍长中线: 倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” : 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法: 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法: 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60
2、度,可以从 角一边上一点向角的另一边作垂线, 目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形, 然后 计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为 证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相 等,二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”解题,思维模式是全等变换 中的“对折”法 构造全等三角形 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自
3、角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6)已知某线段的垂直平分
4、线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答A.一、倍长中线(线段)造全等BDC例1、(“希望杯”试题)已知,如图 ABC中,AB=5 AC=3贝冲线AD的取值范围A是./ 例2、如图, ABC中,E、F分别在AB AC上,DEL DE D是中点,试比较 BE+CF 与EF的大小.例3、如图, ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点,求证:AD平分/ BAE.应用:1.以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE,BAD
5、CAE 90 ,连接de M N分别是BC DE的中点.探究:AM与 DE的位置及 数量关系.(1)如图 当ABC为直角三角形时,AM与DE勺位置关系是 ,线段AM与DE勺数量关系是 ;(2)将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0 BA,AD= CD, BD平分 ABC,求证:A C 1800C5、如图在 ABC中,ABAC, / 1 = Z 2, P 为 AD上任意一点,求证;AB-AC PB-PC应用:三、平移变换例1ABC的角平分线,直线 MNLAD于A.E为MN上一点, EBC周长记为PB.求证PB PA.例2如图,在 ABC的边上取两点 D、E,且 BD=CE求证:AB+
6、AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图,已知在厶 ABC中,/ B=60, ABC的角平分线 AD,CE相交于点求证:OE=OD2、如图, ABC中, AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEIAB于E, DF丄AC于F. (1)说明BE二C用勺理由;(2)如果AB=a , AC=d ,求AE BE的长.应用:1、如图,0P是/ MOI的平分线,请你利用该图形画一对F以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在 ABC中,/ ACB是直角,/ B=60, AD CE分别是/ BAC/ BCA的平分线,AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图,在 ABC中,如果/ ACB不是直角,而中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。五、旋转例1正方形ABCD中, E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF求/ EAF的度数 例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点,DML DN,DM,D畸别交BC,CA于点E,F(1)当 MDN绕点D转动时,求证 DE=DF (2)若AB=2
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