高考圆锥曲线题型归类总结

1、圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（ 1）椭圆（ 2）双曲线（ 3）抛物线2、定义的应用（ 1）寻找符合条件的等量关系（ 2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例 1、动圆M与圆 C1： x2y236 内切 , 与圆 C2： x 124外切, 求圆心 M的1y2轨迹方程。例 2、方程22x 6228 表示的曲线是x 6yy题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由x2、 y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由x2、 y2 系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，

2、一次项的符号决定开口方向。典型例题x2y2m的取值范围是例 1、已知方程21表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 1m例 2、 k 为何值时 , 方程x2y29 k51表示的曲线：k(1) 是椭圆； (2) 是双曲线 .题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、 PFm，PFn ， mn，m n，mn，m2n2 四者的关系在圆锥曲线中的应用12典型例题例 1、椭圆 x2y 21( ab 0) 上一点 P 与两个焦点 F1，F2 的张角 F1 PF2，a2b2求F1PF2 的面积。例 2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2 是左

3、右焦点， P 为双曲线上一点，且F1PF2 60 ，S F1PF2 12 3 求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、 a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、 a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题例 1、已知 F1、 F2是双曲线 x 2y21（a0，b0）的两焦点，以线段F1 F2 为边作a 2b2正三角形 MF1 F2 ，若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4 23B.31C.31D.3 12例 2、双曲线 x2y21 (a0，b

4、0) 的两个焦点为F1、 2a 2b2F,若P为其上一点，且 |PF 1|= 2|PF 2|, 则双曲线离心率的取值范围为A. (1， 3)B. 13，C. (3,+)D. 3,例 3、椭圆 G ： x2y21(a b 0) 的两焦点为 F1 (c,0), F2 (c,0) ，椭圆上存在a2b2uuuuv uuuuv点M使 120.求椭圆离心率e 的取值范围；FMF M例 4、已知双曲线 x2y2 1(a0， b0) 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60 的直线a2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） (1,2（ B） (1,2)（C） 2,)（D）

5、(2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内x2y21a2b2点在椭圆上x2y21a2b2点在椭圆外x2y21a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：0相交=0相切（需要注意二次项系数为0 的情况）0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（ K1 K20或 K1K2 ）；“共线问题”uuuruuur（如： AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如： A 、 O、 B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简

6、与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法 （转化为三角函数的最值）

7、、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点 F0,1 ，直线 l ： y1， P 为平面上的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足uuur uuuruuur uuur为 Q ，且 QP gQFFPgFQ （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）已知圆 M 过定点 D 0,2 ，圆心 M 在轨迹 C 上运动， 且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B两点，设 DAl1

8、 ， DBl2，求 l1l2的最大值l2l1例 2、如图半圆， AB为半圆直径， O为半圆圆心，且 OD AB， Q为线段 OD的中点，已知 | AB|=4 ，曲线 C过 Q点，动点 P在曲线 C上运动且保持 | PA|+| PB| 的值不变 .(1) 建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2) 过 D点的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 M、 N，且 M在 D、N之间，设 DM =，DN求 的取值范围 .例 3、设 F1 、 F2 分别是椭圆 C ： x2y21(a b0) 的左右焦点。a2b2（ 1）设椭圆 C 上点 ( 3,3) 到两点 F1、 F2距离和等于4 ，写出椭圆 C

9、 的方程和焦点坐2标；（2）设K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1 的中 点B 的轨迹方程；（ 3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ， N 两点，当直线PM， PN的斜率都存在， 并记为kPM， kPN，试探究kPMK PN的值是否与点P及直 线L 有关，并证明你的结论。例 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3 ，最小值为 1（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l : ykxm 与椭圆C 相交于A，B两点（A， B 不是左右顶点） ，且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l过定点，并求出

10、该定点的坐标例 5、已知椭圆两焦点F 、 F2 在 y 轴上，短轴长为2 2 ，离心率为2 ， P 是椭圆在第一12uuuruuuurPA、 PB分别交椭圆象限弧上一点，且 PFPF 1 ，过 P 作关于直线 F1P对称的两条直线12于 A、B 两点。（ 1）求 P点坐标；（ 2）求证直线 AB 的斜率为定值；典型例题：例 1、由、解得， xa 2不妨设 A a 2,0， B a2,0 ，24 ， l 22 l1a 2a 24 l1l 2l12l2 22a216a4l2l1l1l 264a22282 116a2，a464a464当 a0l1l221162 116时，由得，l12 2l2a2 6

11、42 8a2当且仅当 a22 时，等号成立当 a0 时，由得， l1l 22 l2l1故当 a22 时， l1l2 的最大值为 22 l2l1例 2、解： (1)以、所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，AB OD | PA|+|PB|=| QA|+| QB|=222122 5 | AB|=4.曲线C为以原点为中心，、B为焦点的椭圆 .A设其长半轴为a, 短半轴为b, 半焦距为 c, 则 2a=25 , a= 5 , c=2, b=1.曲线 C的方程为x 2 +y2=1.5(2) 设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入x2222+20kx +15=0.+y=1,得 (1+5

12、 k ) x5=(20 k) 2 4 15(1+5 k2) 0, 得 k2 3 . 由图可知 DMx1 5DN=x2x1x220k15k 2由韦达定理得15x1x25k 21将 x =x代入得12(1) 2 x22400k 2(15k 2 ) 2x221155k 2(1) 2400k 22 )8015(15k13(52 )kk 2 3 , 015 , 5k 2120 ,即480165k 23533(15)3k 2(1) 216DM0,134,DN解得33x1DM,M DN 1x2DNk= DM1(ly)DN31/3 1.3(3)2(3 )231(3,212a=4, 2)a2b22Cx2y21(

13、 1,0),(1,0)4432KF1B x, yK (2 x1,2 y)5Kx2y21(2 x 1)2(2 y) 2174343KF1B(x1)2y 2182343LMNM ( x0 , y0 ) N (x0 ,y0 ),p(x, y) ,M,N,Px02y02x2y2a221 ， 2b2110bakPM K PN = y y0y y0y2y02=b213x x0x x0x2x0 2a2kPM K PNPL144x2y21543A( x1，y1 )B( x2， y2 )ykx，m联立x2y2得 (3 4k 2 ) x28mkx 4( m23)0 ，431.64m2k216(34k2)(m23)

14、，即34k22，则0m0x1x28mk，34k 2g4(m23)x1x234k 2 .又 y1 y2(kx1m)( kx2m)k2 x1x2mk (x1x2 )m23(m24k2 ) ，34k 2因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点D (2，0)，kAD kBD1 ，即y1 g y21，x12x22y1 y2x1 x22( x1x2 ) 4 0 ，3(m24k 2 )4( m23)16mk4 0，34k 234k 234k29m216mk 4k20 解得： m12k ， m2k，且均满足 34k 2m20 ，271、当 m12k时， l 的方程为 yk( x2)，直线过定点(2，0)，与已知

15、矛盾；2、当2k2，直线过定点2，m2的方程为 yk07时， lx77所以，直线 l过定点，定点坐标为2， （ 14 分）70例 5、解 （ 1） y2x21F1(0,2), F2 (0,2) ，设 P( x0 , y0 )( x0 0, y00)42。uuuruuuuruuuruuuurx02(2 y02 ) 1则 PF1( x0 , 2 y0 ), PF2( x0 ,2 y0 ),PF1 PF2Q 点 P(x0 , y0 ) 在曲线上，则x02y021.x024y02242从而 4y02(2 y02 )1 ，得 y02 ，则点 P 的坐标为 (1,2)221PF1/ xPA PBPBk (

16、k0)y2k ( x1)y2k( x 1)PBx2y2124(2 k2 ) x22k( 2 k) x ( 2 k) 24 0B( xB , yB ), xB2k (k2)k 222k22k 212k2xAk222k2xAxB42k2k22k2yAyBk ( xA1)k(xB1)8k2k2ABkAByAyB2xAxB61231|OF | |FP|sin,得|OF | |FP|43 ,由 cosOFFPt sin2sin|OF |FP|4 3tan43 .3t4t431tan30,6432 设P(x0 , y0 ), 则FP ( x0c, y0 ), OF(c,0).uuuruuur1)c2OFFP( x0c, y0 )(c,0)(x0c)ct(3x03cS OF