弹性力学轴对称问题的有限元法

1、4.弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容：4.1用虚功方程建立有限元方程4.2三结点单元位移函数4.3三结点单元刚度矩阵4.4载荷移置4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面， 所有应力、应变和位移也对称于该轴， 这类问题称为轴对称问 题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系( r, 0 , z),以z轴为对称轴。图4.1受均布内压作用的长圆筒如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过 对称性，轴对问题共有 4个应力分量：Z轴的一个纵截面就是对称面。由于CJ门(4-1)其中匚

2、r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力;二表示沿0方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；zr表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有 4个应变分量:(4-2)其中；r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变;；二表示沿0方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；*表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；zr表示沿r和z方向的剪应变。在轴对称问题中，弹性体内任意一点上， 不存在切向位移，只存在径向位移u和轴向位 移w，两个位移分量表示为，U、 f=，（4-3）在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合 体，由虚功方

3、程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，* T* T* TM & FWbdxdydz = JJJ f T Fdxdydz + JJ f T pds（4-4）s其中F为体力，p为面力。将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量 UjU?,., Un，轴向分量 W1,W2,.,Wn，U1W1(4-5)U2 F=W2，每个节点的虚位移也只有径向分量* * * * * *u1 ,u2,.,un，轴向位移分量, w2,., wn。U1*w1*u2* *6 = W

4、2 （4-6）*un*在单元中由虚位移引起的虚应变为，* a* a ； e 二B、e（4-7）单元中的实际应力为，f-e =DBbe（4-8）离散后的单元组合体的虚功方程为，n2*TF=W Jjj （e）TBTDB6edxdydz（4-9）ei 二 1n、.*TF八（、*e）TBTDBdxdydz、e（4-10）小ei 1KeBTDBdxdydz 就是单元刚度矩阵。e对于轴对称问题，Ke = f ff BTDBrdrdzd8 =2 和BT D Brdrdz （ 4-11）0将（4-11）代入（4-10）可得*TF =、* （GTKeG）、（4-12）eKHX （GTKe（G）为整体刚度矩阵，得

5、到方程组,（4-13）eK =F4.2三结点单元位移函数在整个弹性体中是三棱轴对称问题的三结轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，圆环，各单元中圆环形铰相联接。 参照平面问题的三角形单元位移函数, 点三角形单元位移函数取为，(4-14)u = ai a2 a3zw 二 a4 a5 a6zZ图4-2三结点单元4-14 )得到,92页a3ai ajamVbibjbmCiCjCmmjajamwi(4-15)bia62A?ibjcjWjWmJ(4-16)按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（其中,A2rirjZj(4-17)rmai二 rjZm-Zmrj,bi二

6、Zj-Zm，ci二 rm - rj定义形态函数为，1 一(4-18)Nj = （ai +br+qz）（下标 i,j,m 轮换）2 A用矩阵表示的单元位移为，uiNi00Ni0 Nm0 1uj ,Nj 0 Nm一WjumNjWj(4-19)4.3三结点单元刚度矩阵 轴对称问题的几何方程：.:u.:r(4-20).uzcwI 由(4-19)式得，L(biui bjUj bmum) .r 2Au =;h f u :卜 f u )i i j j m m丿r 2A其中,fiaiL birczitL (下标轮换)r.z_ 2A:u 1:z2A:w1:r_ 2A.:w(cmCjWjCmwm)CjUjCmum

7、)bjWjbmwm)(4-21a)(4-21b)(4-21c)(4-21d)(4-21e)用几何矩阵表示单元的应变, -B 严(4-22)（下标轮换）(4-24)bi由于在fi是坐标r、z的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元 中仍为常量。由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵,(4-25)D-(1 + 4)(1 _2卩)1-22(1-有一令4，丄三A2，则弹性矩阵为,12（1 一）2(1A1A10 1D-EDA11A101 一(1+ 旳(1 2門A1A1101000A2一(4-26)一 E + fi Mi + fi 2(1 十以)(1 2A) A A|(bj 十 fi)-A2ci

8、由弹性矩阵D和几何矩阵B可以得到应力矩阵S，并计算出单元内的应力分量,S二DB（4-27）（4-28）S - Si Sj SmA1ciE(1 TA1ci（4-27）ciA2bi - 下标轮换，可得到, Sj。单元刚度矩阵为，Ke =2二BTD Brdrdz(4-28)单元刚度矩阵的分块矩阵为，K Is =2二B；D Bhrdrdz(4-29)可以由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算,用三角形单元形心位置的坐标rc, zc代替B矩阵中的变量r、z。rc = 3(i rj rm)，31zc =3(zi zj zm)应变矩阵变成，BH Bi Bj Bm 1-Eai

9、,一5 +昵lrc001(4-30)CiCibi单元刚度矩阵的近似表达式为:Ke =2%BTD B(4-31)单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为,Kls =2TcBTD Bs(4-32)Krs二 E(1兀br bsf r f s Ag fsfrbs) A? G2(1)(1 -2A(CrbsCr fs)AebrCsA(brCs 十 frCs) + AzCrbsg + Azbrbs(4-33)4.4载荷移置单元上的体力为p，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷,Re =2二Nt prdrdz(4-34)作用在单元上的面力为、戸1结点载荷为,Re =2二NTPrds(4-35)s轴对称问题分析

10、中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载 荷的累计结果。4.5轴对称分析实例图4-3带裙座封头的结构图4-4坯料形状图4-5成形分析的轴对称有限元模型封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图 4-3所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于：1)如何保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通

11、的半球形封头采用圆饼形坯料，制造带裙座封头要采用如图4-4所示的坯料。分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄， 会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁 厚的增加量会超过10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图4-5中，可以看出，我们制作了一个心部增厚，边缘减薄的坯料。坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关，由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移，合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。OCT 30 19993TEPa2svfi =eTIBfE-2.75&IAVG? Pauer 口工曰 phisIAVn.E3-Mat 删=236.731谕X =275.170O9.99439.459127.653Z1G.24B275.170图4-6成形初期的等效应力分布图4-7成形中间阶段的等效应力分布AF5I5 5.4 KT 3D 1999 1$24119 HODJiL soiLarieai STB 1=3SU-J =16 rim-=16 SEQ*|AVG|Paer?：4.ptiLC3 ffFACEJl *S=Hst DMX =160QEHM 二.餌E EMK 57.212 aS-T2 lisf.m no.57 211.519 252.4