钢结构受弯构件计算原理

1、.1 .2 承受横向荷载和弯矩的构件叫承受横向荷载和弯矩的构件叫受弯构件受弯构件或或梁梁 1. 按荷载作用：按荷载作用： 在一个主平面内受弯，称为单向受弯构件在一个主平面内受弯，称为单向受弯构件 在两个主平面内同时受弯，称为双向受弯构件在两个主平面内同时受弯，称为双向受弯构件 2. 按功能分：楼盖梁、平台梁、檩条、吊车梁等按功能分：楼盖梁、平台梁、檩条、吊车梁等 3. 按制作方法：型钢梁（薄壁型钢）、组合梁、蜂窝梁按制作方法：型钢梁（薄壁型钢）、组合梁、蜂窝梁 4. 按支承条件：实腹式、桁架按支承条件：实腹式、桁架 .3 型钢梁加工简型钢梁加工简 单，造价较廉，但单，造价较廉，但 截面尺寸受规

2、格的截面尺寸受规格的 限制。当荷载和跨限制。当荷载和跨 度较大致使型钢截度较大致使型钢截 面不能满足要求时，面不能满足要求时， 则采用组合粱。则采用组合粱。 型钢梁型钢梁 .4 .5 .6 现场焊接设备基础箱型钢梁现场焊接设备基础箱型钢梁 .7 在原有大楼增设轻钢结构在原有大楼增设轻钢结构 .8 (a)双轴对称焊接板粱；双轴对称焊接板粱； (b)加强受压翼缘的焊接板梁；加强受压翼缘的焊接板梁； (c)双层翼缘板焊接板梁；双层翼缘板焊接板梁； .9 (d) 高强度螺接连接的工字形板梁；高强度螺接连接的工字形板梁； (e) 焊接箱形板梁焊接箱形板梁 .10 蜂窝梁蜂窝梁 钢与混凝土组合梁钢与混凝土

3、组合梁 .11 工字形焊接钢梁工字形焊接钢梁横向加劲肋横向加劲肋 纵向加劲肋纵向加劲肋 短加劲肋短加劲肋 .12 按承载能力极限状态的计算，需采用荷载的设计值；按按承载能力极限状态的计算，需采用荷载的设计值；按 正常使用极限状态的计算，计算挠度时按荷载标准值进行。正常使用极限状态的计算，计算挠度时按荷载标准值进行。 第一极限状态：第一极限状态：截面的抗弯强度、抗剪强度等、截面的抗弯强度、抗剪强度等、 整体稳定性、局部稳定、腹板屈曲后强度整体稳定性、局部稳定、腹板屈曲后强度 第二极限状态：第二极限状态：刚度刚度 大部分重要的梁将采用板梁，因而梁的计算中还应包大部分重要的梁将采用板梁，因而梁的计算

4、中还应包 括下列内容：括下列内容： 1. 梁截面沿梁跨度方向的改变；梁截面沿梁跨度方向的改变； 2. 翼缘板与腹板的连接计算；翼缘板与腹板的连接计算； 3. 梁腹板的加劲肋设计；梁腹板的加劲肋设计； 4. 梁的拼接；梁的拼接； 5. 梁与梁的连接和梁的支座等。梁与梁的连接和梁的支座等。 .13 .14 粱弯曲截面应力线性分布，边缘最大应力应满足下式粱弯曲截面应力线性分布，边缘最大应力应满足下式: 2 nn h M M f IW .15 In梁截面惯性矩；梁截面惯性矩； Wn梁截面弹性抵抗矩。梁截面弹性抵抗矩。 M梁的最大弯矩；梁的最大弯矩； f 钢材设计强度；钢材设计强度； h梁截面高度。梁截

5、面高度。 2 nn h M M f IW .16 当弯矩继续增加，截面边缘部分截面屈服。当弯矩继续增加，截面边缘部分截面屈服。 最后弹性核心部分逐渐减少直至全截面进入塑性，形成两最后弹性核心部分逐渐减少直至全截面进入塑性，形成两 个矩形应力块。个矩形应力块。 塑性极限弯矩塑性极限弯矩MpWepfy，Wep为截面塑性抵抗矩，此时截为截面塑性抵抗矩，此时截 面形成塑性铰。面形成塑性铰。 弯矩的发展弯矩的发展 .17 为了使梁截面有一定的安全储备，设计时不采用塑性抵抗为了使梁截面有一定的安全储备，设计时不采用塑性抵抗 矩，而是采用较小的弹塑性抵抗矩，采用部分边缘纤维屈服淮矩，而是采用较小的弹塑性抵抗

6、矩，采用部分边缘纤维屈服淮 则，规范规定钢梁单向受弯抗弯强度：则，规范规定钢梁单向受弯抗弯强度： n M f W 式中：式中： 塑性发展系数，查表获塑性发展系数，查表获 得。得。 按截面形成塑性铰进行设计，按截面形成塑性铰进行设计， 省钢材，但变形比较大，会影响省钢材，但变形比较大，会影响 正常使用。正常使用。 规定可通过限制塑性发展区规定可通过限制塑性发展区 有限制的利用塑性，一般限制有限制的利用塑性，一般限制a在在 h/8h/4之间。之间。 .18 截面塑性发展系数截面塑性发展系数x 、y值值 .19 截面塑性发展系数截面塑性发展系数x 、y值值 .20 对于双向弯曲梁近似按两方向应力叠加

7、，计算公式对于双向弯曲梁近似按两方向应力叠加，计算公式: y x xnxyny M M f WW 对于双轴对称工字形截面对于双轴对称工字形截面 当绕当绕y轴弯曲时轴弯曲时 对于箱形截面对于箱形截面 1.05 xy 1.2 y =1.05 x 计算示意图计算示意图 注：注：1. 计算疲劳的梁计算疲劳的梁x =y=1.0 2. x = 1.0 3. 格构式构件绕虚轴格构式构件绕虚轴x = 1.0 y ft b235 13 .21 .22 外荷载产生的剪力作用位置不是剪心时外荷载产生的剪力作用位置不是剪心时 将其挪到剪心上。这时剪心上不但作用剪力，还作用将其挪到剪心上。这时剪心上不但作用剪力，还作用

8、 有平移剪力产生的扭矩。扭矩使整个截面绕剪心转动有平移剪力产生的扭矩。扭矩使整个截面绕剪心转动 剪切中心剪切中心(或剪力中心或剪力中心) 剪切中心的定义是：开口薄壁截面上剪力流合力沿截面剪切中心的定义是：开口薄壁截面上剪力流合力沿截面 两个形心主轴方向分力的交点，因而得名。两个形心主轴方向分力的交点，因而得名。 若构件所受横向荷载通过截面的剪切中心，则构件将不若构件所受横向荷载通过截面的剪切中心，则构件将不 受到扭矩作用因而构件只会弯曲而不扭转，若荷载不通过截受到扭矩作用因而构件只会弯曲而不扭转，若荷载不通过截 面的剪切中心，则构件必同时发生弯曲和扭转。在这个意义面的剪切中心，则构件必同时发生

9、弯曲和扭转。在这个意义 上剪切中心因此也常被称为弯曲中心。上剪切中心因此也常被称为弯曲中心。 根据定义，可得到结论：根据定义，可得到结论： .23 单轴对称工字形截面的剪切中心不与其形心重合，但必单轴对称工字形截面的剪切中心不与其形心重合，但必 位于对称轴上接近于较大翼缘一侧，具体位置需经计算确定位于对称轴上接近于较大翼缘一侧，具体位置需经计算确定 (见图见图(b)； 开口薄壁截面如有对称轴，则剪切中心必位于对称轴上；开口薄壁截面如有对称轴，则剪切中心必位于对称轴上； 双轴对称截面的剪切中心必与该截面的形心重合双轴对称截面的剪切中心必与该截面的形心重合(见图见图 (a)； .24 十字形截面、

10、角形截面和十字形截面、角形截面和T形截面，由于组成其截面的狭形截面，由于组成其截面的狭 长短形截面中心线的交点只有一点，该交点就是它们的剪切长短形截面中心线的交点只有一点，该交点就是它们的剪切 中心中心(见图见图(c)图图(e)； 槽形截面的剪切中心必位于其腹板外侧的对称轴上，具体位槽形截面的剪切中心必位于其腹板外侧的对称轴上，具体位 置需经计算确定置需经计算确定(见图见图(f)。 .25 梁的截面剪力分布如图。截面剪应力为：梁的截面剪力分布如图。截面剪应力为： v V S f I b 工字形截面和槽形截面上的剪力流工字形截面和槽形截面上的剪力流 .26 v V S f I b 式中：式中：V

11、梁的剪力设计值；梁的剪力设计值； S计算剪应力处以上截面对中和轴的面积矩计算剪应力处以上截面对中和轴的面积矩 I截面惯性矩；截面惯性矩； b计算剪应力处的截面宽度。计算剪应力处的截面宽度。 S和和I一般可按毛截面计算。对工形截面，估算时可近一般可按毛截面计算。对工形截面，估算时可近 似取似取: (1.11.2)Vhtw fv， 偏安全可按偏安全可按1.2Vhtw计算。计算。 .27 如梁端反力靠腹板连接传递，则该处剪力应按只由腹扳如梁端反力靠腹板连接传递，则该处剪力应按只由腹扳 承受，并按其实有净尺寸承受，并按其实有净尺寸 (矩形截面矩形截面)计算剪应力计算剪应力: v w f th V 0

12、5 . 1 梁端反力靠腹板连接梁端反力靠腹板连接 0 w h t .28 在梁的固定集中荷载在梁的固定集中荷载(包括支座反力包括支座反力)作用处无支承加劲作用处无支承加劲 肋，或有移动的集中荷载（如吊车轮压），这时梁的腹板将肋，或有移动的集中荷载（如吊车轮压），这时梁的腹板将 承受集中荷载产生的局部压应力。局部压应力在梁腹板与上承受集中荷载产生的局部压应力。局部压应力在梁腹板与上 翼缘交界处最大，到下翼缘处减为零。翼缘交界处最大，到下翼缘处减为零。 假设局部压应力在荷载作用点以下的假设局部压应力在荷载作用点以下的 （吊车轨道高度）（吊车轨道高度） 高度范围内以高度范围内以45o角扩散，在角扩散

13、，在 高度范围内以高度范围内以1：2.5的比例扩的比例扩 散，传至腹板与翼缘交界处，实际上局部压应力沿梁纵向分散，传至腹板与翼缘交界处，实际上局部压应力沿梁纵向分 布并不均匀，简化计算，假设在布并不均匀，简化计算，假设在 范围内局部压应力均匀分范围内局部压应力均匀分 布布 R h y h z l f lt F zw c .29 荷载放大系数；对重级工作制吊车梁，荷载放大系数；对重级工作制吊车梁， ；其；其 它梁它梁 ；在所有梁支座处；在所有梁支座处 ； 35. 1 0 . 10 . 1 集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布长度，集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布长度， 按下式计算：按下式

14、计算： 跨中集中荷载：跨中集中荷载： 梁端支反力处：梁端支反力处： z l Ryz hhal25 bhal yz 5 . 2 支承长度，对钢轨上的轮压取支承长度，对钢轨上的轮压取50mm； 自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离；自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离； 轨道的高度，对梁顶无轨道的梁轨道的高度，对梁顶无轨道的梁 =0。 a y h R h R h f lt F zw c .30 梁承受固定集中荷载梁承受固定集中荷载(包括支座反力包括支座反力)处末设支承加劲肋、或处末设支承加劲肋、或 有移动集中荷载有移动集中荷载(如吊车轮压如吊车轮压)时，应计算腹板边缘局压应力。时，应计算腹板边缘局压应

15、力。 局部压应力局部压应力 a=50mm lz=a+ 2hR +5hy lz=a+2hR+5hy a=50mm ab b+a+2.5hy a +2.5 hy .31 集中载作用集中载作用 下，翼缘下，翼缘(在吊车在吊车 梁中还包括轨道梁中还包括轨道) 类似支承于腹板的类似支承于腹板的 弹性地基粱，其分弹性地基粱，其分 布如图。计算时假布如图。计算时假 定荷载以定荷载以1：1和和1： 2.5扩散，并均匀扩散，并均匀 分布于扩散段腹板分布于扩散段腹板 计算边缘。计算边缘。 a=50mm lz=a+ 2hR +5hy lz=a+ 2hR +5hy c .32 取荷载假定分布长度为：取荷载假定分布长度

16、为： 式中式中a为集中荷载为集中荷载 沿梁跨度方向的支承沿梁跨度方向的支承 长度，对吊车轮压可长度，对吊车轮压可 取为取为50 mm；hy为自梁为自梁 承载的边缘或吊车梁承载的边缘或吊车梁 轨顶到腹板计算边缘轨顶到腹板计算边缘 的距离。的距离。 a=50mm c hy Ryz hhal25 .33 如集中荷载位于梁的端部，荷载外侧端距如集中荷载位于梁的端部，荷载外侧端距b2.5hy，则取，则取: 腹板计算边缘的局部压应力按下式计算：腹板计算边缘的局部压应力按下式计算： f lt F zw c a=50mm ab b+a+2.5hy a + 2.5hy F F 式中式中F为集中荷载为集中荷载(对

17、对 动力荷载应考虑动力系数动力荷载应考虑动力系数)； 为集中荷载增大系数，对为集中荷载增大系数，对 重级工作制吊车的轮压取重级工作制吊车的轮压取 1.35(考虑局部范围的超额考虑局部范围的超额 冲击作用冲击作用)；对其它情况取；对其它情况取 1.0。 .34 腹板计算高度腹板计算高度 ： 对轧制型钢梁，为腹板与上、下翼缘相连处两内弧起点对轧制型钢梁，为腹板与上、下翼缘相连处两内弧起点 之间的距离；之间的距离； 对焊接组合梁，为腹板高度；对焊接组合梁，为腹板高度； 对铆接（或高强螺栓连接）组合梁，为上、下翼缘与腹对铆接（或高强螺栓连接）组合梁，为上、下翼缘与腹 板连接的铆钉（或高强螺栓）线间最近

18、距离。板连接的铆钉（或高强螺栓）线间最近距离。 0 h .35 当计算当计算c不满足要求时，应加厚腹板，或考虑增加集中荷不满足要求时，应加厚腹板，或考虑增加集中荷 载支承长度载支承长度a， 或增加吊车梁轨道的高度或刚度以加大或增加吊车梁轨道的高度或刚度以加大hy和和lz。 f lt F zw c .36 在梁上承受位置固定的较大集中荷载在梁上承受位置固定的较大集中荷载(包括支座反力包括支座反力)处，处， 一般应设支承加劲肋刨平顶紧于受荷载的翼缘并与腹板牢固连一般应设支承加劲肋刨平顶紧于受荷载的翼缘并与腹板牢固连 接，这时认为全部集中荷载通过支承加劲肋传递，因而腹板的接，这时认为全部集中荷载通过

19、支承加劲肋传递，因而腹板的 局部压应力局部压应力c0而不必计算。而不必计算。 支承加劲肋支承加劲肋 短加劲肋短加劲肋 .37 如梁在同一部位如梁在同一部位(同一截面的同一纤维位置同一截面的同一纤维位置)处弯曲应力处弯曲应力、 剪应力剪应力和局部压应力和局部压应力c都较大时，应按最大变形能理论计算都较大时，应按最大变形能理论计算 折算应力折算应力z满足要求，需计算的部位为：满足要求，需计算的部位为： (1) 沿梁长方向沿梁长方向 粱的支座处，以及梁上粱的支座处，以及梁上 集中荷载作用点的一侧，弯集中荷载作用点的一侧，弯 矩和剪力都较大，粱变截面矩和剪力都较大，粱变截面 位置的一侧，弯曲应力和剪位

20、置的一侧，弯曲应力和剪 力都较大。力都较大。 .38 (2)沿梁高方向沿梁高方向 工形梁或箱形梁的腹板计算边缘工形梁或箱形梁的腹板计算边缘1l处，该纤维处弯曲处，该纤维处弯曲 应力应力1和剪应力和剪应力1都较大，因而折算应力都较大，因而折算应力z也较大。也较大。 11f eq 1 . 13 2 1 2 1 (3)梁上有局部压应力梁上有局部压应力c时，计算时，计算z 时应计时应计 入入c的影响。的影响。 f cceq1 2 11 22 1 3 上式计算中，上式计算中，l、c应计入拉压符号，并取应计入拉压符号，并取l 1.1(1与与c 同号时同号时)或或1.2(1与与c 异号时异号时)。l1.1或

21、或1.2的提高是考虑的提高是考虑z的的 最大值只发生在范围很小的局部。最大值只发生在范围很小的局部。 .39 梁的刚度用标准荷载作用下的挠度度量梁的刚度用标准荷载作用下的挠度度量 按下式验算：按下式验算： vv 由荷载的标准值引起的梁中最大挠度由荷载的标准值引起的梁中最大挠度 梁的容许挠度值梁的容许挠度值 v v .40 给出梁整体弯扭失稳时的计算公式，先进行薄壁构件给出梁整体弯扭失稳时的计算公式，先进行薄壁构件 的扭转分析。的扭转分析。 自由扭转示意图自由扭转示意图 .41 矩形、工字形和槽形等在扭转时，原先为平面的截面不矩形、工字形和槽形等在扭转时，原先为平面的截面不 再保持平面，截面上各

22、点沿杆轴方向发生纵向位移而使截面翘再保持平面，截面上各点沿杆轴方向发生纵向位移而使截面翘 曲。曲。 称为自由扭转称为自由扭转(或圣维南扭转或圣维南扭转)。 自由扭转示意图自由扭转示意图 .42 tt GIM dz d 为截面扭转角为截面扭转角 GIt为构件扭转刚度为构件扭转刚度 G为剪切模量为剪切模量 It为抗扭惯性矩为抗扭惯性矩 Mt Mt tt GIM t t I tM max .43 工字形和工字形和T形等，其抗扭惯性矩为：形等，其抗扭惯性矩为： n i iit tb k I 1 3 3 狭长矩形组成，整个截面是连续的，系数狭长矩形组成，整个截面是连续的，系数 是因而产生是因而产生 的增

23、大系数：工字形截面，的增大系数：工字形截面， 1.25； 形截面，形截面， 1.15。 At M t 2 dsttdsM t m ax 1 2 Mt t I t 为截面中心线所围面积为截面中心线所围面积 .44 悬臂构件，在自由端施加一集中扭矩后，自由端截面悬臂构件，在自由端施加一集中扭矩后，自由端截面 翘曲变形最大，固定端截面翘曲为零，这是由于固定端支翘曲变形最大，固定端截面翘曲为零，这是由于固定端支 座约束所造成。座约束所造成。 悬臂构件扭转悬臂构件扭转 .45 (1) 各截面有不同的翘曲变形，因而两相各截面有不同的翘曲变形，因而两相 邻截面间构件的纵向纤维因有伸长或缩短变邻截面间构件的纵

24、向纤维因有伸长或缩短变 形而有正应变，截面上将产生正应力。这种形而有正应变，截面上将产生正应力。这种 正应力称为翘曲正应力或扇性正应力。正应力称为翘曲正应力或扇性正应力。 约束扭转的特点约束扭转的特点 约束扭转图示约束扭转图示 .46 (2)由于各截面上有大小不同的翘曲正应力，为了与之平衡，由于各截面上有大小不同的翘曲正应力，为了与之平衡， 截面上将产生剪应力，这种剪应力称为翘曲剪应力或扇性剪应截面上将产生剪应力，这种剪应力称为翘曲剪应力或扇性剪应 力。这与受弯构件中各截面上有不同弯曲正应力时截面上必有力。这与受弯构件中各截面上有不同弯曲正应力时截面上必有 弯曲剪应力，理由相同。弯曲剪应力，理

25、由相同。 dx dM V d d .47 此外，约束扭转时为抵抗两相邻截面的相互转动，截面此外，约束扭转时为抵抗两相邻截面的相互转动，截面 上也必然存在与自由扭转中相同的自由扭转剪应力上也必然存在与自由扭转中相同的自由扭转剪应力(或称圣维或称圣维 南剪应力南剪应力)。这样，约束扭转时，构件的截面上有两种剪应力：。这样，约束扭转时，构件的截面上有两种剪应力： 圣维南剪应力和翘曲剪应力。前者组成圣维南扭矩圣维南剪应力和翘曲剪应力。前者组成圣维南扭矩Mt，后者，后者 组成翘曲扭矩组成翘曲扭矩M，两者合成一总扭矩，两者合成一总扭矩Mz (3) 约束扭转时，截面各纵向纤维既有不同的伸长或缩短，约束扭转时

26、，截面各纵向纤维既有不同的伸长或缩短， 因而构件的纵向纤维必有弯曲变形。因而约束扭转又名弯曲因而构件的纵向纤维必有弯曲变形。因而约束扭转又名弯曲 扭转。扭转。 .48 约束扭转时为抵抗两相邻截面的相互转动，截面上也必约束扭转时为抵抗两相邻截面的相互转动，截面上也必 然存在与自由扭转中相同的自由扭转剪应力。然存在与自由扭转中相同的自由扭转剪应力。 约束扭转时，构件的截面上有两种剪应力：圣维南剪应约束扭转时，构件的截面上有两种剪应力：圣维南剪应 力和翘曲剪应力。前者组成圣维南扭矩力和翘曲剪应力。前者组成圣维南扭矩Mt，后者组成翘曲扭，后者组成翘曲扭 矩矩M，两者合成一总扭矩，两者合成一总扭矩Mz

27、，即，即 zt MMM 3 3 dz d EIM I称为翘曲惯性矩。称为翘曲惯性矩。 最后得：最后得： 3 3 ztt dd MMMGIEI dzdz 这就是集中扭矩作用下的扭矩平衡方程式。这就是集中扭矩作用下的扭矩平衡方程式。 .49 EI是扭转时一个重要物理量，称为翘曲刚度。表示构件是扭转时一个重要物理量，称为翘曲刚度。表示构件 截面抵抗翘曲的能力。与侧向抗弯刚度截面抵抗翘曲的能力。与侧向抗弯刚度EIy和扭转刚度和扭转刚度GIt一一 起在梁的稳定中起重要作用。起在梁的稳定中起重要作用。 I的量纲是长度的的量纲是长度的6次方，与弯曲惯性矩次方，与弯曲惯性矩Ix、Iy或抗扭惯或抗扭惯 性矩性矩

28、It量纲是长度的四次方不一样，应予以注意。量纲是长度的四次方不一样，应予以注意。 双轴对称工字形截面的双轴对称工字形截面的I的计算式为：的计算式为： 2 4 1 hII y 单轴对称工字形截面的单轴对称工字形截面的I的计算式为：的计算式为： 221 h I II I y 从计算式可见工字形截面的高度从计算式可见工字形截面的高度h愈大，则其愈大，则其I也愈大，也愈大， 抵抗翘曲的能力也愈强。抵抗翘曲的能力也愈强。 式中，式中，I1和和I2为工字形截面两个翼缘各自对截面弱轴为工字形截面两个翼缘各自对截面弱轴y 的惯性矩，因而：的惯性矩，因而：IyI1I2 。 .50 .51 增大梁平面内刚度，做成

29、高而窄的钢梁，承受较大的荷增大梁平面内刚度，做成高而窄的钢梁，承受较大的荷 载，平面内刚度较大的梁，一般会产生强度破坏。但对于平载，平面内刚度较大的梁，一般会产生强度破坏。但对于平 面内、外刚度差较大的梁面内、外刚度差较大的梁(EIxEIy)在平面内竖向荷载作用下，在平面内竖向荷载作用下， 梁会产生平面内弯曲变形，当弯矩增大到某一临界值时，梁梁会产生平面内弯曲变形，当弯矩增大到某一临界值时，梁 会突然产生侧向弯曲和扭转，使粱未达到屈服强度而失去承会突然产生侧向弯曲和扭转，使粱未达到屈服强度而失去承 载力的现象。载力的现象。 使梁达到丧失整体稳定的最大荷载和最大弯矩，分别称使梁达到丧失整体稳定的

30、最大荷载和最大弯矩，分别称 为梁的临界荷载和临界弯矩为梁的临界荷载和临界弯矩Mcr。 M .52 1. 临临弯矩弯矩 弹性阶段弹性阶段 简支梁简支梁 夹支支座夹支支座 在支座处梁不发生在支座处梁不发生x, y方向的位移方向的位移 不发生绕不发生绕z轴的转动轴的转动 可绕可绕x，y轴的转动轴的转动 梁端截面不受约束，可自由发生翘曲梁端截面不受约束，可自由发生翘曲 .53 MM z y M M y1 z1 z y v dv/dz 临界弯矩计算简图临界弯矩计算简图 .54 M M z x x1 z1 du/dz MM z y 临界弯矩计算简图临界弯矩计算简图 .55 z y M M y1z M M

31、z x x1 z1 v dv/dz du/dz Mx1M M Mz1M du/dz 临界弯矩计算简图临界弯矩计算简图 .56 梁的任一截面，该截面形心在梁的任一截面，该截面形心在x、y轴方向位移为轴方向位移为u、v， 扭转角为扭转角为，C点的新坐标轴点的新坐标轴x1、y1、z1与原坐标轴与原坐标轴x、y、z有所有所 改变，称为移动坐标轴。改变，称为移动坐标轴。 C点的弯矩点的弯矩MxM可以分解为三个力矩可以分解为三个力矩M x1 、M y1 、M z1 ， 按右手螺旋的大拇指方向，双箭头力矩表示相应的力矩。按右手螺旋的大拇指方向，双箭头力矩表示相应的力矩。 .57 x y y1 x My1 M

32、 Mx1M M v u MMMxcoscos1 MMM y sincos 1 uM dz du MMM z sin 1 .58 1zt MEIGI MvEI x MuEI y l GIEI lGI EI M ty t w cr 2 )(1 l GIEI kM ty cr k为梁的弯扭屈曲系数为梁的弯扭屈曲系数 2222 1) 2 (1)(1 l h GI EI lGI EI k t y t 其中，其中， 2 ) 2 ( l h GI EI t y k与梁与梁 抗弯刚度、抗扭刚度、梁的夹支跨度抗弯刚度、抗扭刚度、梁的夹支跨度l及梁高有关。及梁高有关。 .59 A. 梁的整体稳定与荷载种类有关梁的

33、整体稳定与荷载种类有关 B. 改变梁端和跨中侧向约束相当于改变了梁的侧向夹支长度改变梁端和跨中侧向约束相当于改变了梁的侧向夹支长度l， 随梁端约束程度的加大，和跨中侧向支承点的设置，梁的侧随梁端约束程度的加大，和跨中侧向支承点的设置，梁的侧 向计算长度减小为向计算长度减小为l1，使梁的临界弯矩显著提高，增加梁端和，使梁的临界弯矩显著提高，增加梁端和 跨中约束是提高梁的临界弯矩的有效措施。跨中约束是提高梁的临界弯矩的有效措施。 .60 边界条件仍为简支和夹支边界条件仍为简支和夹支 不同荷载种类、不同支承条件和作用位置情况下梁临界不同荷载种类、不同支承条件和作用位置情况下梁临界 弯矩为：弯矩为：

34、)1 ()( 2 2 2 3232 2 2 1 EI lGI I I BaBa l EI M t y yy y cr 截面不对称修正系数截面不对称修正系数 y B A x y ydAyxy I B 0 22 )( 2 1 .61 式中：式中：1、 2、 3随梁的截面型式、支承条件、荷载类随梁的截面型式、支承条件、荷载类 型而定的系数，见表。型而定的系数，见表。 工形截面简支梁稳定系数工形截面简支梁稳定系数 )1 ()( 2 2 2 3232 2 2 1 EI lGI I I BaBa l EI M t y yy y cr .62 式中式中: y 0剪切中心剪切中心s至形心至形心o的的 距离，与

35、距离，与y坐标相同坐标相同 为正；为正； 剪切中心至荷载作用剪切中心至荷载作用 点的距离；点的距离；(荷载在荷载在 剪切中心下方时为正剪切中心下方时为正) 截面不对称修正系数截面不对称修正系数 y B A x y ydAyxy I B 0 22 )( 2 1 增大受压翼缘截面增大受压翼缘截面 荷载作用点的位置荷载作用点的位置 当荷载作用点在剪心以上时当荷载作用点在剪心以上时 荷载分别作用上、下翼缘的情况荷载分别作用上、下翼缘的情况 .63 x cr cr x x W M W M 考虑材料抗力分项系数：考虑材料抗力分项系数： 或或 f f f b Ry ycr R cr f W M xb x 式

36、中：式中： 为梁的整体稳定系数，为梁的整体稳定系数， b y cr y cr b M M f .64 梁的整体稳定系数梁的整体稳定系数b 1双轴对称工型截面其临界应力为双轴对称工型截面其临界应力为 2 2 22 1 y crwt cr xxyy EI MIl GI WW lIEI y t y w yx y b EI GIl I I flW EI 2 2 2 2 1 .65 式中：式中： Mx-绕强轴绕强轴(x轴轴)弯矩；弯矩； Wx-x轴截面抵抗矩；轴截面抵抗矩； b-绕强轴弯曲所确定的整体稳定系数绕强轴弯曲所确定的整体稳定系数； y y xy b fh t W Ah235 ) 4 . 4 (

37、1 4320 21 2 f W M xb x 钢结构规范规定，单向受弯的钢梁，弯矩作用在最大刚度钢结构规范规定，单向受弯的钢梁，弯矩作用在最大刚度 平面内，其整体稳定按下式计算：平面内，其整体稳定按下式计算： .66 对于其它荷载种类我们仍可以通过式求得整体稳定系对于其它荷载种类我们仍可以通过式求得整体稳定系 数数 ，定义等效临界弯矩系数，定义等效临界弯矩系数 ， b bbb / 对于单轴对称工字型截面，应引入截面不对称修正系数对于单轴对称工字型截面，应引入截面不对称修正系数 与与 有关。有关。 b 112 /() b III 3 111 12 1 btI 3 222 12 1 btI 加强受

38、压翼缘时，加强受压翼缘时， 加强受拉翼缘时，加强受拉翼缘时， 双轴对称截面，双轴对称截面， ) 12(8 . 0 bb 12 bb 0 b y b y xy bb fh t W Ah235 4 . 4 1 4320 2 1 2 .67 轧制普通工字钢，公式简化，直接查得稳定系数轧制普通工字钢，公式简化，直接查得稳定系数 。 轧制槽钢规范按纯弯情况给出其稳定系数轧制槽钢规范按纯弯情况给出其稳定系数 b y b fhl bt 235570 1 式中：式中：h、b、t 分别为槽钢截面的高度、翼缘宽度和其分别为槽钢截面的高度、翼缘宽度和其 平均厚度。平均厚度。 上述整体稳定系数上述整体稳定系数 是按弹

39、性稳定理论求得的，如果考是按弹性稳定理论求得的，如果考 虑残余应力的影响，虑残余应力的影响， 当当 时梁已进入弹塑性阶段。时梁已进入弹塑性阶段。 进行修正，用进行修正，用 代代 替替 ，考虑钢材弹塑性对整体稳定的影响。，考虑钢材弹塑性对整体稳定的影响。 6 . 0 b b b b 0 . 1 282. 0 07. 1 b b .68 受弯构件整体稳定系数的近似计算受弯构件整体稳定系数的近似计算 均匀弯曲的受弯构件，当均匀弯曲的受弯构件，当 时，其整体稳时，其整体稳 定系数定系数 可按下列近似公式计算：可按下列近似公式计算： 工字形截面（含工字形截面（含H型钢）：型钢）： 双轴对称时：双轴对称时

40、： 单轴对称时：单轴对称时： yy f235120 b 23544000 07. 1 2 yy b f 23514000) 1 . 02( 07. 1 2 yy b x b f Ah W .69 T形截面（弯矩作用在对称轴平面，绕形截面（弯矩作用在对称轴平面，绕x轴）轴） 弯矩使翼缘受压时：弯矩使翼缘受压时： 双角钢双角钢T形截面：形截面： 部分部分T型钢和两板组合型钢和两板组合T形截面：形截面： 弯矩使翼缘受拉且腹板宽厚比不大于弯矩使翼缘受拉且腹板宽厚比不大于 时：时： 值大于值大于0.6时，时， 不需换算成不需换算成 , 大于大于1.0时取时取1.0。 2350017. 01 yyb f

41、2350022. 01 yyb f y f23518 2350005. 01 yyb f b b b .70 经验公式计算：经验公式计算： f W M W M yy y xb x 2 2 12323 22 1 y wt crbb yy EI Il GI Myy lIEI .71 影响梁整体稳定的因素影响梁整体稳定的因素: 1. 梁的侧向抗弯刚度梁的侧向抗弯刚度EIy、抗扭刚度、抗扭刚度GIt，和抗翘曲刚度，和抗翘曲刚度EIw 愈大，则临界弯矩愈大。愈大，则临界弯矩愈大。 2. 梁的跨度梁的跨度 l 愈小，其临界弯矩愈大。愈小，其临界弯矩愈大。 2 2 12323 22 1 y wt crbb

42、yy EI Il GI Myy lIEI 3. 当梁受纯弯曲时，弯矩图为矩形当梁受纯弯曲时，弯矩图为矩形,梁中所有截面的弯矩都相梁中所有截面的弯矩都相 等，此时等，此时1=1其他荷载作用下其他荷载作用下1均大于均大于1.0； 4. 荷载作用位置对临界弯矩有影响。荷载作用于上翼缘时荷载作用位置对临界弯矩有影响。荷载作用于上翼缘时 负负 值，易失稳；荷载作用下翼缘时，值，易失稳；荷载作用下翼缘时，为正值，不易失稳；为正值，不易失稳； 5. 梁端约束程度愈大，则临界弯矩愈大。梁端约束程度愈大，则临界弯矩愈大。 .72 1. 增大受压翼缘的宽度是最为有效的；增大受压翼缘的宽度是最为有效的； 2. 减小

43、构件侧向支承点间的距离减小构件侧向支承点间的距离l1，应设在受压翼缘处，将，应设在受压翼缘处，将 受压翼缘视为轴心压杆计算支撑所受的力；受压翼缘视为轴心压杆计算支撑所受的力； 3. 当梁跨内无法增设侧向支撑时，宜采用闭合箱型截面，因当梁跨内无法增设侧向支撑时，宜采用闭合箱型截面，因 其其Iy、It和和I 均较开口截面的大。均较开口截面的大。 4. 增加梁两端的约束。增加梁两端的约束。 .73 铺板的链接铺板的链接 .74 l1b1 l1 l1 L1 L1 b1 .75 3. h b0l1b1fy b0 b1 h .76 根据弹性力学小挠度理论，薄板的屈曲平衡方程为：根据弹性力学小挠度理论，薄板

44、的屈曲平衡方程为： 022 2 22 2 2 4 4 22 4 4 4 y w N yx w N x w N y w yx w x w D yxyx 02 2 2 4 4 22 4 4 4 x w N y w yx w x w D x 对于简支矩形板，可用下式表示：对于简支矩形板，可用下式表示： 11 sinsin mn mn b yn a xm Aw .77 式中：式中：m为板屈曲时沿为板屈曲时沿x方向的半波数，方向的半波数，n为沿为沿y方向的半波数。方向的半波数。 2 2 b D kNxcr 11 sinsin mn mn b yn a xm Aw 其中其中 ，称为板的屈曲系数。，称为板的

45、屈曲系数。 2 mb a a mb k 2 2 4 b D Nxcr 2 2 2 )1 (12 b tEk cr .78 k板的屈曲系数，和荷载种类、分布状态及板的边长板的屈曲系数，和荷载种类、分布状态及板的边长 比例和边界条件有关。比例和边界条件有关。 2 2 2 )1 (12 b tEk cr 取取E=2.06 105N/mm2， =0.3代入上式，得：代入上式，得： 4 2 106 .18 b t k t N cr cr 对普通钢梁构件，按规范设计，可通过设置加劲肋、限制对普通钢梁构件，按规范设计，可通过设置加劲肋、限制 板件宽厚比的方法，保证板件不发生局部失稳。板件宽厚比的方法，保证板

46、件不发生局部失稳。 非承受疲劳荷载的梁可利用腹板屈曲后强度；型钢梁，其非承受疲劳荷载的梁可利用腹板屈曲后强度；型钢梁，其 板件宽厚比较小，能满足局部稳定，不需计算。板件宽厚比较小，能满足局部稳定，不需计算。 .79 翼缘承受弯矩产生的均匀压应力，翼缘承受弯矩产生的均匀压应力， 箱形截面翼缘中间部分属四边简支板，为充分发挥材料箱形截面翼缘中间部分属四边简支板，为充分发挥材料 的强度，翼缘的临界应力应不低于钢材屈服点。的强度，翼缘的临界应力应不低于钢材屈服点。 同时考虑梁翼缘发展塑性，引入塑性系数同时考虑梁翼缘发展塑性，引入塑性系数 ， ycr f b t k 4 2 106 .18 取取 =1.

47、0，宽为，宽为b0的翼缘相当于四边简支板。对于两对边的翼缘相当于四边简支板。对于两对边 均匀受压的四边简支板均匀受压的四边简支板k=4.0，取，取 =0.25，并令，并令 cr=fy，得翼缘，得翼缘 达强度极限承载力时不会失去局部稳定的宽厚比限值为达强度极限承载力时不会失去局部稳定的宽厚比限值为: y ft b235 40 0 .80 对工字形、对工字形、T形截面的翼缘及箱形截面悬伸部分的翼缘，形截面的翼缘及箱形截面悬伸部分的翼缘， 属于一边自由其余三边简支的板，其属于一边自由其余三边简支的板，其k值为：值为： 2 425. 0 a b k 一般一般a大于大于b，按最不利情况，按最不利情况a/

48、b= 考虑，考虑， ，取，取 =1.0、 =0.25,得不失去局部稳定的宽厚比限值为：得不失去局部稳定的宽厚比限值为： 425. 0 min k y ft b235 13 按弹性设计时：按弹性设计时： y ft b235 15 .81 纵、横向加劲肋把腹板分成不同高宽的区格。简支梁梁端纵、横向加劲肋把腹板分成不同高宽的区格。简支梁梁端 区格主要受剪力作用跨中受弯曲正应力作用。其他区格则受区格主要受剪力作用跨中受弯曲正应力作用。其他区格则受 正应力和剪应力共同作用。有时还受有集中荷载引起的局部压正应力和剪应力共同作用。有时还受有集中荷载引起的局部压 应力作用。现分别给出受弯曲正应力、剪应力和局部

49、应力，以应力作用。现分别给出受弯曲正应力、剪应力和局部应力，以 及相关应力作用的稳定相关公式；及相关应力作用的稳定相关公式； 纵、横向加劲肋纵、横向加劲肋 .82 4 2 106 .18 b t k W cr 屈曲系数屈曲系数k与板的边长比有关为：与板的边长比有关为： 当当 （a为短边）时，为短边）时， 当当 （a为长边）时，为长边）时， 1/ 0 ha 2 0) /(34. 54hak 1/ 0 ha 2 0) /(434. 5hak .83 2 0 100 6 .18 h t w cr 腹板的纯剪屈曲腹板的纯剪屈曲 .84 当当 时，时，k值变化不大，即横向加劲肋作用不大。值变化不大，即横

50、向加劲肋作用不大。 因此规范规定横向加劲肋最大间距为因此规范规定横向加劲肋最大间距为 。 2/ 0 ha 0 2h 令腹板受剪时的通用高厚比或称正则化宽厚比为：令腹板受剪时的通用高厚比或称正则化宽厚比为： crVys f/ 可得用于腹板受剪计算时的通用高厚比：可得用于腹板受剪计算时的通用高厚比： 3/ yVy ff 23541 / 0 y w s f k th 当当 时，时， 当当 时，时， 1/ 0 ha 235 )/(34. 5441 / 2 0 0 y w s f ah th 1/ 0 ha 235 )/(434. 541 / 2 0 0 y w s f ah th .85 在弹性阶段梁

51、腹板的临界剪应力可表示为：在弹性阶段梁腹板的临界剪应力可表示为： 22 /1 . 1/ sVsVycr ff 已知钢材的剪切比例极限等于已知钢材的剪切比例极限等于 ，再考虑，再考虑0.9的几何缺的几何缺 陷影响系数，令陷影响系数，令 代入可得到满足弹性失稳的通代入可得到满足弹性失稳的通 用高厚比界限为用高厚比界限为 。当。当 时，规范认为临界剪应力时，规范认为临界剪应力 会进入塑性，当会进入塑性，当 时，时， 处于弹塑性状态。处于弹塑性状态。 Vy f8 . 0 Vycr f9 . 08 . 0 2 . 1 s 8 . 0 s 2 . 18 . 0 s cr 因此规范规定因此规范规定 按下列公

52、式计算：按下列公式计算： cr 当当 时，时， 8 . 0 s Vcr f 当当 时，时， 2 . 18 . 0 s Vscr f)8 . 0(59. 01 当当 时，时， 2 . 1 s 2 /1 . 1 sVcr f .86 当腹板不设横向加劲肋时，当腹板不设横向加劲肋时， ， ，若要求，若要求 则则 应不大于应不大于0.8，得，得 。考虑到梁腹。考虑到梁腹 板中的平均剪应力一般低于板中的平均剪应力一般低于 ，规范规定仅受剪应力作用的，规范规定仅受剪应力作用的 腹板，其不会发生剪切失稳的高厚比限值为：腹板，其不会发生剪切失稳的高厚比限值为： ha/34. 5k Vcr f s V w f

53、th 235 8 .75/ 0 V f yw ft h235 80 0 在弯曲压应力作用下腹板会发生屈曲，形成多波失稳。屈在弯曲压应力作用下腹板会发生屈曲，形成多波失稳。屈 曲系数曲系数 k的大小取决于板的边长比，的大小取决于板的边长比，kmin=23.9。 加劲肋距受压边的距离为加劲肋距受压边的距离为h1=(1/51/4)h0，以便有效阻止腹，以便有效阻止腹 板的屈曲。纵向加劲肋只需设在梁弯曲应力较大的区段。板的屈曲。纵向加劲肋只需设在梁弯曲应力较大的区段。 .87 腹板在纯弯曲正应腹板在纯弯曲正应 力作用下，在靠近受压力作用下，在靠近受压 翼绕处沿粱长方向形成翼绕处沿粱长方向形成 若干正弦

54、半被的波形屈若干正弦半被的波形屈 曲，竖向为一个半波曲，竖向为一个半波(半半 波宽波宽0.7腹板高腹板高)。其临。其临 界应力为：界应力为： 如不考虑上、下翼缘对腹板的转动约束作用，将如不考虑上、下翼缘对腹板的转动约束作用，将 kmin=23.9和和b=h0代入，可得到腹板简支于翼缘的临界应力代入，可得到腹板简支于翼缘的临界应力 公式：公式： 4 2 0 10445 h tw cr .88 受压翼缘对腹板的约束作用除与本身的刚度有关外，还受压翼缘对腹板的约束作用除与本身的刚度有关外，还 和限制其转动的构造有关。和限制其转动的构造有关。 嵌固系数可取为嵌固系数可取为1.66（相当于加载边简支，其

55、余两边为（相当于加载边简支，其余两边为 嵌固时的四边支承板的屈曲系数嵌固时的四边支承板的屈曲系数kmin=39.6）；当无构造限制）；当无构造限制 其转动时，腹板上部的约束介于简支和嵌固之间，其转动时，腹板上部的约束介于简支和嵌固之间， 可取为可取为 1.23。 当梁受压翼缘的扭转受到约束时：当梁受压翼缘的扭转受到约束时： 4 2 0 10738 h tw cr 当梁受压翼缘的扭转未受到约束时当梁受压翼缘的扭转未受到约束时： 4 2 0 10547 h tw cr .89 令令 ，可得到上述两种情况腹板在纯弯曲作用下，可得到上述两种情况腹板在纯弯曲作用下 边缘屈服前不发生局部失稳的高厚比限值分

56、别为：边缘屈服前不发生局部失稳的高厚比限值分别为： ycr f yw ft h235 177 0 yw ft h235 153 0 腹板受弯时通用高厚比为：腹板受弯时通用高厚比为： cryb f/ 单轴对称工字形截面梁，受弯时中和轴不在腹板中央，单轴对称工字形截面梁，受弯时中和轴不在腹板中央， 此时可近似把腹板高度此时可近似把腹板高度h0用二倍腹板受压区高度即用二倍腹板受压区高度即2hc代代 替替,b=2hc，可得相应于两种情况的腹板通用高厚比：，可得相应于两种情况的腹板通用高厚比： .90 当梁受压翼缘扭转受到约束时：当梁受压翼缘扭转受到约束时： 235177 /2 y wc b f th

57、当梁受压翼缘扭转未受到约束时：当梁受压翼缘扭转未受到约束时： 235153 /2 y wc b f th 当当 时：时： 85. 0 b f cr 当当 时：时： 25. 185. 0 b f bcr )85. 0(75. 01 当当 时：时： 25. 1 b 2 /1 . 1 bcr f 分为塑性、弹塑性和弹性分为塑性、弹塑性和弹性： .91 在集中荷载作用处未设支承加劲肋及吊车荷载作用的情在集中荷载作用处未设支承加劲肋及吊车荷载作用的情 况下，都会使腹板处于局部压应力况下，都会使腹板处于局部压应力 作用之下。其临界应力作用之下。其临界应力 为：为： c 4 2 0 106 .18 h t

58、k W ccr 腹板受局部压应力作用腹板受局部压应力作用 .92 当当 时，时， 5 . 1/5 . 0 0 ha 2 00 )/( 5 . 4 / 4 . 7 haha k 当当 时，时， 0 . 2/5 . 1 0 ha 2 00 )/( 9 . 0 / 0 .11 haha k 翼缘对腹板的约束系数为：翼缘对腹板的约束系数为： ah0255. 081. 1 根据临界屈曲应力不小于屈服应力的准则，按根据临界屈曲应力不小于屈服应力的准则，按 考虑得到不发生局压局部屈曲的腹板高厚比限值为：考虑得到不发生局压局部屈曲的腹板高厚比限值为： 2/ 0 ha 取为取为 y w f th 235 84/

59、 0 y w f th 235 80/ 0 .93 通用高厚比通用高厚比 为：为： c 5 . 1/5 . 0 0 ha 235 )/83. 1 (4 .139 .1028 / 3 0 0 y w c f ha th 0 . 2/5 . 1 0 ha 235/59 .1828 / 0 0 y w c f ha th 适用于塑性、弹塑性和弹性不同范围的腹板局部受压临适用于塑性、弹塑性和弹性不同范围的腹板局部受压临 界应力界应力 按下列公式计算：按下列公式计算： crc, 当当 时，时， 9 . 0 c f crc , 当当 时，时， 2 . 19 . 0 c f ccrc )9 . 0(79.

60、01 , 当当 时，时， 2 . 1 c 2 , /1 . 1 ccrc f .94 当当 时时 ，腹板局部稳定能够保证，腹板局部稳定能够保证， 不必配置加劲肋吊车梁及类似构件（不必配置加劲肋吊车梁及类似构件（ ），应按构造配），应按构造配 置横向加劲肋。置横向加劲肋。 y w f th 235 80/ 0 0 c 0 c 当当 时，应配置横向加劲肋。时，应配置横向加劲肋。 y w f th 235 80/ 0 当当 （受压翼缘扭转受到约束，如连有（受压翼缘扭转受到约束，如连有 刚性铺板或焊有铁轨时）或刚性铺板或焊有铁轨时）或 （受压翼缘扭转（受压翼缘扭转 未受到约束时），除配置横向加劲肋外，