2019-2020学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质 1.3.1 相似三角形的判定课件新人教A版选修4-1

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1、-1- 三相似三角形的判定及性质 -2- 1.相似三角形的判定相似三角形的判定 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12 1.相似三角形 (1)相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. (2)相似比:相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (3)表示方法:两个三角形相似,用符号“”表示.例如:ABC与 ABC相似,记为ABCABC. 3 XINZHIDAOXUE 新知导

2、学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12 做一做1若ABCA1B1C1,则下列结论中正确的是() A.AB=A1B1B.ABC=A1B1C1 答案B 3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12 2.相似三角形的判定 (1)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图所示,在 ABC中,DEBC,则ABCADE. 3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO

3、答疑解惑首页 12 (2)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. (3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:

4、三边对应成比例,两三角形相似. 3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 123 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12 做一做2如图所示,给出下列条件:B=ACD;ADC= 的个数为() A.1B.2C.3D.4 3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12 解析答案C 3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYI

5、JIEHUO 答疑解惑首页 123 3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)定理2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 123 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 123 思考辨析判断下列说

6、法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)有两边对应成比例及一个角相等的两个三角形相似. () (2)有三边分别对应平行的两个三角形相似. () (3)有两边成比例的两个等腰三角形相似. () (4)有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似. () (5)如果两个直角三角形中有一个内角相等,那么它们一定相似. ( ) 答案(1)(2)(3)(4)(5) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究一三角形相似的定义三角形相似的定义【例1】如图所示,在ABC中,A

7、B=AC, A=36,BD是B的平分线, 试证明:AD2=DCAC. 分析顶角是36的等腰三角形,它的底角是72,而BD是底角的平分线,所以CBD=36,则可推出ABCBCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系. 证明A=36,AB=AC,ABC=C=72. 又BD平分ABC,ABD=CBD=36. AD=BD=BC,且ABCBCD. BCAB=CDBC. BC2=ABCD.又AD=BC,AB=AC, AD2=CDAC. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析 XINZHI

8、DAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,在平行四边形ABCD中,点E在DC上,若 DEEC=12,则BFBE=. 解析DEEC=12, DCEC=32,ABEC=32. ABEC,ABFCEF, 答案35 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究二三角形相似的判定三角形相似的判定【例2】如图所示,已知在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA,BF交AD于点P,交

9、AC于点E.求证:PCEPFC. 分析由于PCE和PFC有公共角,因此只需再证得另一组对应角相等即可. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点, AD垂直平分BC. PB=PC,1=2. AB=AC,ABC=ACB. ABC-1=ACB-2,即3=4. CFAB,3=F,4=F. 又EPC=CPF, 故PCEPFC. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二

10、探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图,在RtABC中,BAC=90,BM是AC边上的中线,ADBM,垂足是点D.求证:MCDMBC. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究三直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定【例3】如图所示,直线EF分别交AB,AC于点F,E,交BC的延长线于点D,ACBC于点C,且ABCD=DEAC.求证:AECE=

11、DEEF. 分析先证ACBDCE,再证AEFDEC即可. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点,求证:ADQQCP. XI

12、NZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析对相似三角形的判定定理理解不准确致误典例如图所示,在ABC和A1B1C1中,1=2,3=4 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析三角形的判定定理可知ABDA1B1D1,ACDA1C1D1,从而ABCA1B1C1. 正解如图所示,过点C作CEAB,交AD的延长线于点E,过点C1作 C1E1A1B1,交A1D1的延长线于点E1,则E=1,E1=3. XI

13、NZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图所示,O是ABC外一点,D,E,F分别是OA,OB,OC 的中点,求证:DEFABC. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 D

14、AYIJIEHUO 答疑解惑首页 12345 1.如图所示,AB=8,AD=3,AC=6,当AE=()时,可推出 ADEACB. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12345 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12345 3.如图所示,DEBC,则ADE,A= ,ADE=,AED=.若AD=5,DB=3,则 ADE与ABC的相似比是. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12345 4.如图,BD,CE是ABC的高,BD,CE交于点F,则图中所有与ACE 相似的三角形有. 解析RtACE与RtFCD和RtABD各有一个公共角,因而它们均相似.又易知BFE=A, 故RtACERtFBE. 答案FCD,FBE,ABD XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 12345 5.如图,在梯形ABCD中,ABCD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:EDMFBM; (2)若

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