分式方程的无解与增根(1)

1、.1 分式方程的无解与增根专题分式方程的无解与增根专题 .2 1.1.如果如果 有增根有增根, ,那么增根是那么增根是_. x x x 2 1 3 2 1 2 23 242 k xxx 可能是可能是_ 2.2.如果如果 有增根有增根, ,那么增根那么增根 知识回顾知识回顾:(3:(3分钟分钟) ) .3 学习目标学习目标:(1:(1分钟分钟) ) 1.1.掌握分式方程的增根与无解这两个概念；掌握分式方程的增根与无解这两个概念； 2.2.掌握增根与无解有关题型的解题方法；掌握增根与无解有关题型的解题方法； .4 自学指导一自学指导一:(4:(4分钟分钟) ) 分式方程有增根，指的是解分式方程时，

2、在把分式分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式 方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘 了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的 取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是 指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等它指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等它 包含两种情形：包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解；（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解（二）原方程化去分母

3、后的整式方程有解，但这个解 却使原方程的分母为却使原方程的分母为0 0，它是原方程的增根，从而原方，它是原方程的增根，从而原方 程无解程无解 .5 例例1 1 解方程：解方程： 解：方程两边都乘以（解：方程两边都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），得），得 2 2（x+2x+2）-4x=3-4x=3（x-2x-2） 解这个方程，得解这个方程，得x=2x=2 经检验：当经检验：当x=2x=2时，原分式方程无意义，时，原分式方程无意义， 所以所以x=x=是原方程的增根是原方程的增根 所以原方程无解所以原方程无解( (分式方程有增根的解题格式分式方程有增根的解题格式) ) 2 3 4 4 2

4、2 2 xx x x 【说明】显然，方程中未知数x的取值范围是x2且 x-2而在去分母化为方程后，此时未知数x的取 值范围扩大为全体实数所以当求得的x值恰好使最简 公分母为零时，x的值就是增根本题中方程的解是 x2，恰好使公分母为零，所以x2是原方程的增根， 原方程无解 .6 例例2 2 解方程：解方程： 解：去分母后化为解：去分母后化为x x1 13 3x x2 2（2 2x x） 整理得整理得0 x0 x8 8 因为此方程无解，所以原分式方程无解因为此方程无解，所以原分式方程无解 2 2 3 2 1 x x x x 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当 然原分式方程肯定就无解了由此

5、可见，分式方程 无解不一定就是产生增根 .7 例例3 3 若方程若方程 = = 无解，则无解，则m=m= 解：原方程可化为解：原方程可化为 = = 方程两边都乘以方程两边都乘以x x2 2，得，得x x3=3=m m 解这个方程，得解这个方程，得x=3x=3m m 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根 即即x=2x=2，所以，所以2=32=3m m，解得，解得m=1m=1 故当故当m=1m=1时，原方程无解时，原方程无解 【说明说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分 式方程，而一元一次方程只

6、有一个根，所以如果这个根是式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是 原方程的增根，那么原方程无解但是同学们并不能因此原方程的增根，那么原方程无解但是同学们并不能因此 认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加 深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例 3 2 x x 3 2 x x 2 m x 2 m x .8 例例4 4： 当当a a为何值时，关于为何值时，关于x x的方程的方程 会产生增根？会产生增根？ 解：方程两边都乘以（解：方程两边都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），

7、）， 得得2 2（x x2 2）axax3 3（x x2 2） 整理得（整理得（a a1 1）x x10 10 若原分式方程有增根，则若原分式方程有增根，则x x2 2或或2 2是方程的根是方程的根 把把x x2 2或或2 2代入方程中，解得，代入方程中，解得，a a4 4或或6 6 2 23 242 ax xxx 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程， 然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后 将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所 含字母的值 .9 若将此题若将此题“会产生增根会产生增根”改为改为“无解无解”，即：，即： 当当a a为何值时，关于为何值时，关于x x的

8、方程的方程 无解？无解？ （此时还要考虑转化后的整式方程（此时还要考虑转化后的整式方程（a a1 1）x x1010本身无解本身无解 的情况，解法如下：）的情况，解法如下：） 解：方程两边都乘以（解：方程两边都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），）， 得得2 2（x x2 2）axax3 3（x x2 2） 整理得（整理得（a a1 1）x x10 10 若原方程无解，则有两种情形：若原方程无解，则有两种情形： （1 1）当）当a a1 10 0（即（即a a1 1）时，方程为）时，方程为0 x0 x1010，此方程无，此方程无 解，所以原方程无解。解，所以原方程无解。 （2 2）如果方

9、程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式 方程无解原方程若有增根，增根为方程无解原方程若有增根，增根为x x2 2或或2 2，把，把x x2 2或或 2 2代入方程中，求出代入方程中，求出a a4 4或或6 6 综上所述，综上所述，a a1 1或或a a一或一或a a6 6时，原分式方程无解时，原分式方程无解 2 23 242 ax xxx 结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系, , 能帮助我们提高解分式方程的正确性能帮助我们提高解分式方程的正确性, ,对判断方程对判断方程 解的情况有一定的指导意义

10、解的情况有一定的指导意义 .10 自学检测自学检测1： 1.1.如果分式方程如果分式方程 有增根，那么增有增根，那么增 根可能是根可能是_._. 2 110 525xx 2.2.当当m m为何值时为何值时, ,方程方程 会产生增会产生增 根根. . 2 3 42 2 2 xx mx x 3.3.当当k k为何值时为何值时, ,分式方程分式方程 无解无解. . xxx kx x 3 ) 1(1 6 _ 1 3 1 a xx ax x 则 无解的方程关于 4. .11 自学指导二自学指导二: :分式方程的应用分式方程的应用 1.1.若分式方程若分式方程 的根为的根为x=3x=3， 求求a a2 2-5-5的平方根。的平方根。 5 5 2 2 1)1)a(xa(x a)a)2(x2(x 2.2.