高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲

1、高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容 】 棱柱、棱锥和棱台 棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】【 知识点精析 】1. 棱柱的有关概念和性质。（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。（2）棱柱的几个概念。这里， 两个互相平行的面叫做棱柱的底面， 其余各面叫做棱柱的侧面； 两个面的公共边 叫做棱柱的棱， 其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱， 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线， 两个底面的距离叫做棱柱的高。（3）棱柱的表示方法： 棱

2、柱用表示底面各顶点的字母来表示， 如三棱柱 ABC A 1B1C1 （ 4）棱柱的分类。棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 按侧面与地面是否垂直， 棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫 做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。（ 5）棱柱的性质：侧棱都相等； 侧面都是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系： 正方体 正四棱柱

3、长方体 直平行六面体 平行六面体 四棱柱 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。2. 棱锥的有关概念。（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些 面围成的几何体叫做棱锥。（2）棱锥的几个概念。 这个多边形叫做棱锥的底面， 其余各面叫做棱锥的侧面， 相邻侧面的公共边叫做棱锥的 侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字 母来表示，如棱锥 SABCDE，或者棱锥 S AC。（ 4）棱锥的分类 棱锥按底面多边形的边数可以分为三棱锥

4、、四棱锥、五棱锥 正棱锥是一种特殊的棱锥，它满足以下条件：底面是正多边形； 顶点在底面的射影是底面的中心。 只有正棱锥才有斜高 （顶点到底边的垂线段） ，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长。（5）棱锥的性质。 一般棱锥的性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似， 并且它们的面积的比等于截 得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等， 它叫做 正棱锥的斜高。棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、 侧棱和侧棱 在底面内的射影也组成一个直角三角形。3. 棱台的有关概念。

5、（ 1）棱台的定义： 棱锥被平行与底面的平面所截， 两个平行平面间的几何体叫做棱台。 （2）棱台的几个概念。原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面， 相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱， 各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点， 原棱锥的高被截得 的部分叫做棱台的高。（3）棱台的表示方法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台ABC ABC 。（ 4）棱台的分类棱台按底面多边形的边数可以分为三棱台、四棱台、五棱台 正棱台是一种特殊的棱台，它满足以下条件：底面是正多边形； 侧棱延长线交点在上下底面的射影分别是上下底面的中心。 只有 正棱台才有斜高（同一侧面与上下两个底面

6、交线的中点连线） 。（ 5）棱台的性质。正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形。各侧面内的斜高相等。棱台的高线、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角梯形； 棱台的高线、 侧棱和侧 棱在底面内的射影也组成一个直角梯形。【 解题方法指导 】例 1. 已知三棱锥 DABC的三个侧面与底面全等，且 AB AC3 ，BC=2，则以 BC为棱，面 BCD与面 BCA所成二面角的大小是（）D. 2331A. arccos B. arccos C.3 3 2解： 依题意， AB=BD=AC=CD=3 ，BC=AD=2因此取 BC中点 E，联结 AE、 DE，则有 AE BC，DEBC得 AED

7、是所求二面角的平面角 AE=DE= 2 AD 2 4 AE 2 DE 2 AEDDACB点评： 本题没有附图，考生必须自己作图，因而考查了基本作图能力，解题的关键是在 于审题时，认清图形的对称性。例 2. 设有三个命题： 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体 丙：直四棱柱是直平行六面体 以上命题真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2D. 3思路： 根据平行六面体、长方体以及直平行六面体的概念即可判断真假。解： 甲命题符合平行六面体的定义，故甲命题正确。底面是矩形的平行六面体的侧棱， 可能与底面不垂直， 故乙命题是错误的。 因为直四棱柱的底面不一

8、定是平行四边形， 故丙命 题是错误的。故选 B。点评： 本题关键在于明确几何体的概念、特征。例 3. 直三棱柱 ABC A 1B1C1所有棱长为 a，求面对角线 AB 1与BC1所成角的余弦值。解： 取 AB、 BB1、B1C1 中点 E、 F、 G，连结 EF、 FG、 GE取 BC中点 H，连结 GH、 EHA1GACBC1 FG/BC1， EF/AB 1直线 FG与 EF所成的角即为 AB1与BC 1所成的角由于 ABC A1B1C1是各棱长均为 a 的直三棱柱 GH面 ABC且 GH=a， EH a2 GE 5 a21 21 2在 GEF中， EFAB1a，FGBC1 a21 221

9、211 cos EFG EFG=arccos( )44 AB1与 BC1所成角的余弦值为 14 点评： 考生应熟练掌握直三棱柱的性质。考查的知识点较多， 如线面平行、 线面 在计算的时候要注意把某些平面 这是解决立体几何中计算问题的重要方法与技【考点突破】 【考点指要】 棱柱、棱锥是立体几何中的重要几何体，高考常以棱柱、棱锥为载体，考查有关位置关 系的证明和量的计算，棱台的问题往往通过割补法转化为棱锥来解决。其中以棱柱为载体的试题常以解答题形式出现， 垂直、 面面平行与面面垂直， 异面直线所成的角及距离等。 图形分离出来， 运用平面几何方法进行解决， 巧。典型例题分析 】例 1. 在正三棱柱

10、ABC A 1B1C1 中，若AB 2BB1，则 AB1与C1B 所成的角的大小为)A. 60B. 90C. 105D. 75解析： 如图， D1、D 分别为 B1C1、BC 中点连结 AD、 D1C设 BB1 1，则 AB 2则 B1D为 AB 1在平面 BC 1内的射影又BE 33，BD 22 ，cos C1BC BBCC1 23 DE2 BE 2 BD 2 2BE BD cos C1BC 1 16而 BE2 DE 2 1 1 1 BD 2362 BED=90AB1与 C1B 垂直故选 B例 2. 设棱锥的底面面积为 8cm2 ，那么这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的

11、面积是（A. 4 cm 2B. 2 2cm2C. 2cm2D. 2cm2解析： 棱锥被中截面截得的棱锥与原棱锥是相似体且相似比为 1/2截面（即小棱锥的底面）面积等于原棱锥底面面积的应为 2cm2 ，故选 C高为 2，则其体积为（例 3. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，A. 32 3B. 28 3C. 24 3D.20 3解析： 正六棱台的上、下底面面积分别为S上S下6 3 22 6 346 3 42 24 3413h（S上S上 S下 S下 ） 28 33故选 BV台综合测试】. 选择题1. 侧棱长为 2 3a 的正三棱锥 V ABC的侧棱间的夹角为40，过顶点 A 作截面 A

12、EF，则截面 AEF的最小周长为（A. 2 2aB. 6aC. 4aD. 12 3a2. 正方体 ABCD A 1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点，那么正方体的过 P、 Q、R 的截面图形是（）C. 五边形D. 六边形A. 三角形 B. 四边形则四棱锥 B APQC的体积为（）A. 1V111B. VC. VD. V4324. 三棱台 ABC A1B1C1中，AB 1 A 1B1，设三棱台体积为 V，则四棱锥 B1 A1ACC12的体积为（ ）A.654B. VC. VD. V765填空题5. 长方体有公共顶点的三个面的面积分别是2、 3、 6 ，这个长方体对角

13、线的长是6. 下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角也相等的三棱锥是正三棱 锥。其中，正确命题的编号是 。三 . 解答题7. 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，点E在棱D1D，D1B/面EAC，且面 EAC与面ABCD成 45 角， AB=a。1）求截面 EAC面积；（2）求异面直线 A 1B1与 AC之间距离；（3）求三棱锥 B1 EAC体积。AB综合测试答案 AB

14、=a AC= 2a1. B 提示： 将三棱锥侧面展开，连结AA ，由余弦定理（或正弦定理）可求得，最小周长为 6a。2. D提示：取 C1D1、D1D、B1B 中点 M、N、S，则六边形MNQPSR即为所求。3. C提示：V四棱锥 B APQCV 四棱锥 B AA 1C1C（V 三棱柱V 三棱锥 B A 1B1C1 )1(V 1 V) 1V23334. B提示： 将三棱台补成三棱锥 S A1B1C1，可求得 VB AACCVS ABC ，而1 1 1 1 111 1 1 4 1 11V 三棱锥 S A1B1C1V四棱锥 B1 A1ACC 15. 6提示： 设三边长分别为 a、b、c，可解得 a=1，b 2 ，c 3，则对角线可求。6. 提示： 反例如图 BCD为正三角形， AD面 BCD，AD=BD=CD 则三棱锥 A BCD不是正三棱锥 侧面高线的垂足不一定是底边中点7. 提示：（ 1）连结 BD交 AC于 O点，连结 OE、 OD EOD为面 EAC与面 ABCD所成的角， EOD=45 ED=DO= 2 a2 EO=aS EAC 2 AC EO 2 a2) BD1/ 面 EAC， D1B/ /EOE为 DD1中点 DD1 2a异面直线