重庆中考数学翻折变换(折叠问题)(教师版

1、翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1如图，矩形纸片 ABCD，长 AD9m，宽 AB3cm，将其折叠，使点 D与点 B 重合，那么折 叠后 DE的长为（）A 7cmB 6cmC5.5 cmD5cm【分析】 由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】 解：由折叠的性质得： BEDE，设 DE长为 xcm，则 AE（ 9x） cm， BE xcm，四边形 ABCD是矩形， A90，根据勾股定理得： AE2+AB2BE2，即（ 9x）2+32x2， 解得： x 5， 即 DE长为 5cm， 故选： D【点评】 本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股

2、定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变 换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键2如图，在等边三角形 ABC中，点 D、 E分别是边 AC、BC上两点将 ABC沿 DE翻折，点 C正好落在线段 AB上的点 F 处，使得 AF：BF2：3若 BE 16，则点 F 到 BC边的距离 是（ ）CDBM BE8，分析】 作 EM AB于 M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出ME BM8 ，由折叠的性质得出 FE CE，设 FECE x，则 ABBC16+x，得出BF （16+x），求出 FMBF BM16+x) 8x，在 Rt EFM中，由勾股定第3页（共 23页）BF质得出 BN即可理得出方

3、程，解方程求出 BF21作 FNBC于 N，则 BFN 30，由直角三角形的性，得出 FN BN解答】 解：作 EM AB于 M，如图所示： ABC是等边三角形， BCAB， B 60EMAB， BEM30，BM BE8，ME BM 8 ， 由折叠的性质得： FECE，设 FECE x， 则 ABBC 16+x， AF：BF 2：3，BF16+x），FMBF16+x)2 x ，+x，在 RtEFM中，由勾股定理得： （ 8 ）2+（解得： x 19，或 x 16（舍去）， BF ( 16+19) 21，则 BFN30， BN BF ， FN BN，即点 F 到 BC边的距离是，故选： D点评】

4、 本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质， 由勾股定理得出方程是解题的关键3如图，在等腰 RtABC中 C90，ACBC2 点 D和点 E分别是 BC边和 AB边上 两点，连接 DE将 BDE沿 DE折叠，得到 BDE，点 B 恰好落在 AC的中点处设 DE与BB交于点 F，则 EF（）【分析】 根据等腰直角三角形的性质得到HAB与 H，得到 AHBHDAB AC4，A B45，过 B作 BAB，C求得 AH BH1，根据勾股定理得到 BB ，由折叠的性质得到BB，DEBB，根据相似三角形即可得到结论解答】 解：在等腰

5、 RtABC中 C90，ACBC2 ，AB AC4， A B 45，过 B作 B HAB与 H， AHB是等腰直角三角形， AHBH AB， AB AC ，AHBH1，BH3， BB ，将 BDE沿 DE折叠，得到 BDE， BF BB，DEBB， BHB BFE90， EBF BBH， BFE BHB，EF故答案为： 【点评】 本题考查了翻折变换（折叠问题） ，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理， 相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图，在 ABC中，ABAC2，BAC30，将ABC沿 AC翻折得到 ACD，延长 AD 交 BC的延长线于点 E，则 ABE的面积为（）A

6、BC3D分析】 由折叠的性质可知 CAD 30 CAB，AD AB 2由等腰三角形的性质得出BCAACDADC75求出 ECD30由三角形的外角性质得出 E75 3045，过点 C作 CHAE于 H，过 B 作 BMAE于 M，由直角三角形的性质得出 CH AC1，AH CH 得出 HDADAH2 求出 EHCH1得出 DE EHHD 1，AEAD+DE1+ ，由直角三角形的性质得出AM AB1， BM AM 由三角形面积公式即可得出答案解答】 解：由折叠的性质可知： CAD 30 CAB， AD AB 2 BCA ACD ADC75 ECD 180 2 75 30 E 75 30 45过点

7、C作 CHAE于 H，过 B 作 BMAE于 M，如图所示： 在 RtACH中， CH AC1，AH CH HDAD AH2 在 Rt CHE中， E45， CEH是等腰直角三角形，EHCH 1DEEHHD1（ 2 ） 1， AEAD+DE1+ ， BMAE， BAE BAC+CAD60， ABM30， AM AB1， BM AM ABE的面积 AEBM （ 1+ ） ； 故选： B第9页（共 23页）【点评】 本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角 形的性质是解题的关键BF的长为（B5如

8、图，点F是长方形 ABCD中BC边上一点将 ABF沿AF折叠为 AEF，点E落在边 CD上，D分析】 根据矩形的性质得到 CDAB5，ADBC4，BD C90，根据折叠的性质得到 AEAB5，EF BF，根据勾股定理得到 DE3，求得 CE 2，设 BFEFx，则 CF 4 x，根据勾股定理列方程即可得到结论 【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， CDAB 5， AD BC 4， B D C 90，将 ABF沿 AF折叠为 AEF，AEAB 5，EF BF， DE3，CE2，设 BFEF x，则 CF4x， EF2 CF2+CE2，x （ 4x） +2 ，解得： x故选： B【点评】 本题考

9、查了翻折变换（折叠问题） ，矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性 质是解题的关键6如图，在矩形纸片 ABCD中， CB12，CD5，折叠纸片使 AD与对角线 BD重合，与点 A 重合的点为 N，折痕为 DM，则 MNB的面积为（）CD26【分析】 由勾股定理得出 BD13，由折叠的性质可得 NDAD12， MNDA90，NMAM，得出EAB90，BNBDND1，设 AMNMx，则 BMAB AM5x，在 Rt BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NMAM ，即可得出答案【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， A 90， ADBC12，ABCD5，BD 13，由折叠的性质可得： NDAD1

10、2， MND A 90， NM AM， EAB90， BNBDND13121，设 AMNMx，则 BMAB AM5 x，在 RtBMN中， NM2+BN2 BM2， x2+12（ 5x）2，解得： x ， NMAM ， MNB的面积故选： A点评】 此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键7如图，在 ABC中 ACB 90、 CAB30， ABD是等边三角形、将四边形 ACBD折叠，使点 D与点 C重合， HK为折痕，则 sin ACH的是（）ABCD分析】 在 RtABC中，设 BCa，则 AB2BC2a，ADAB2a设 AH

11、x，则 HC HDADAH 2ax在 RtABC中，由勾股定理得 AC23a2，在 Rt ACH中，由勾股定理得 AH2+AC2 HC2，即 x2+3a22ax）a求得 HC的值后，利用 sin ACH AH： HC求值【解答】 解： ABD是等边三角形， BAD 60， AB AD， CAB30， CAH90在 Rt ABC中， CAB 30， 设 BCa，则 AB 2BC 2a AD AB 2a设 AHx，则 HCHDAD AH2ax， 在 Rt ABC中， AC（ 2a） a 3a ，在 Rt ACH中， AH2+AC2 HC2，即 x2+3a2（ 2ax）2，解得 x a，即 AH a

12、 HC 2ax 2a aa sin ACH ，故选： C【点评】 本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的 性质和解直角三角形是解题的关键ED，将 ABE沿 AE翻折，使点 C 的对应点 C 落在线8如图，在矩形 ABCD中， AB1，在 BC上取一点 E，连接 AE、使点 B落在 B 处，线段 EB 交 AD于点 F，将 ECD沿 DE翻折，段 EB 上，若点 C 恰好为 EB 的中点，则线段 EF 的长为（CD90 C DC E，BE分析】 由折叠的性质可得 ABAB CDC D1， B BB E，CEC E，由中点性质可得 B E2C E，可得 BCAD 3E

13、C，由勾股定理可求可求CE的长，由“ AAS”可证 AB F DC F，可得 C FB F，即可求解解答】 解：四边形 ABCD是矩形， ABCD 1， AD BC， B C90由折叠的性质可得：ABAB CDC D1， B B 90 C DC E，BEB E，CEC E，点 C 恰好为 EB 的中点， B E 2C E，BE2CE， BC AD 3EC， AE2 AB2+BE2， DE2 DC2+CE2， AD2 AE2+DE2， 1+4CE2+1+CE29CE2，解得： CE， B E BE，BC AD， C E，B C ，在AB F和 DC F中， AB F DC F（ AAS）， C

14、F B F ， EFC E+C F，故选： D【点评】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE的长是本题的关键ABC，B C交 AD于9如图， ?ABCD中， AB6， B 75，将 ABC沿 AC边折叠得到CD分析】 过 B作 B HAD于 H，根据等腰直角三角形的性质得到AHBHAB，AEB 60，解直角三角形得到 H根据折叠的性质得到 AB AB 6， ABE B75，求得H ，BE2 ，根据平行线的性质得到 DAC ACB，推出 AECE，根据全等三角形的性质得到 DEB E 2 ，求得 AD AE+DE 3 +3 ，过 A 作 AG BC于 G，根据直角

15、三角形的性质即可得到结论解答】 解：过 B作 BH AD于 H， BAE45， ABH是等腰直角三角形， AHBHAB，将 ABC沿 AC边折叠得到 ABC，ABAB6， ABE B75，第10页（共 23页）第21页（共 23页） AEB 60，AHBH 6 3 ， HE BH ，BE 2 ， ?ABCD中， AD BC， DAC ACB， ACB ACB， EAC ACE，AECE， ABE B D， AEB CED， ABE CDE（AAS）， DEBE 2 ， ADAE+DE3 +3 ， AEB EAC+ ACE 60， ACE CAE30， BAC 75，ACAD BC， ACB 3

16、0，过 A 作 AG BC于 G，故选： C【点评】 本题考查了翻折变换（折叠问题） ，全等三角形的判定和性质，解直角三角形， 正确的作出辅助线是解题的关键10如图 1，在 ABC中， ACB 90， CAB30， ABD是等边三角形， E是 AB的中 点，连结 CE并延长交 AD于 F，如图 2，现将四边形 ACBD折叠，使 D 与 C重合， HK为折 痕，则 sin ACH的值为（）AB分析】 在 RtABC中，设 BCa，则 AB2BC2a，ADAB2a设 AHx，则 HC HDADAH 2ax在 RtABC中，由勾股定理得 AC23a2，在 Rt ACH中，由勾股定理得 AH+AC H

17、C，即 x +3a a求得 HC的值后，利2ax)2用 sin ACH AH： HC求值解答】 解： BAD60， CAB 30， CAH90在 Rt ABC中， CAB 30，设 BC a，AB2BC2a AD AB 2a设 AHx，则 HCHDAD AH2ax，在 Rt ABC中， AC（ 2a） a 3a ，在 Rt ACH中， AH2+AC2 HC2，即 x2+3a2（ 2ax）2，解得 x a，即 AH a HC2a x 2a a a sin ACH ，故选： B【点评】 本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性 质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据

18、轴对称的性质，折叠前后图形的形状和 大小不变，位置变化，对应边和对应角相等11如图，在 ABC中， D是AC边上的中点，连结 BD，把 BDC沿 BD翻折，得到 BDC，DC与 AB交于点 E，连结 AC ，若 ADAC 2，BD 3，则点 D到 BC的距离为 （ ）ABCD【分析】 连接 CC ，交 BD于点 M，过点 D作 DHBC 于点 H，由翻折知， BDC BDC ， BD垂直平分 CC ，证 ADC 为等边三角形，利用解直角三角形求出DM1，C M DM ，BM2，在 Rt BMC中，利用勾股定理求出 BC的长，在 BDC中利用面积法求 出 DH的长【解答】 解：如图，连接 CC

19、，交 BD于点 M，过点 D作 DH BC 于点 H， ADAC 2， D是 AC边上的中点， DCAD 2，由翻折知， BDC BDC ， BD垂直平分 CC ， DCDC 2，BCBC ，CM C M，ADAC DC 2， ADC 为等边三角形， ADC AC D C AC60， DCDC ， DCC DC C 60 30，在 Rt C DM中，DC C30， DC 2， DM1，C M DM ， BMBD DM3 12，在 Rt BMC 中，BC ， S BDC BC ?DH BD?CM， DH 3 ， DH，故选： B【点评】 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键

20、是会通过面 积法求线段的长度12如图，在 ABC中， ABC45， AB3，ADBC于点 D，BEAC于点 E， AE1连 接 DE，将 AED沿直线 AE翻折至 ABC所在的平面内，得 AEF，连接 DF过点 D 作 DG DE交 BE于点 G则四边形 DFEG的周长为（）A 8B 4C2 +4D3 +2【分析】 先证 BDG ADE，得出 AE BG1，再证 DGE与 EDF是等腰直角三角形， 在直角 AEB中利用勾股定理求出 BE的长， 进一步求出 GE的长，可通过解直角三角形分 别求出 GD， DE，EF， DF的长，即可求出四边形 DFEG的周长【解答】 解： ABC45， ADBC

21、于点 D， BAD90 ABC45， ABD是等腰直角三角形，ADBD，BEAC， GBD+ C90， EAD+ C 90， GBD EAD， ADB EDG90， ADB ADG EDG ADG，即 BDG ADE， BDG ADE（ASA），BGAE 1，DG DE， EDG90， EDG为等腰直角三角形， AED AEB+ DEG90 +45 135， AED沿直线 AE翻折得 AEF， AED AEF， AED AEF 135， ED EF， DEF360 AED AEF90， DEF为等腰直角三角形，EFDE DG，在 Rt AEB中，BE 2 ，GEBE BG2 1， 在 Rt D

22、GE中，DG GE 2，EFDE 2 ，在 Rt DEF中，DF DE 2 1， 四边形 DFEG的周长为： GD+EF+GE+DF 3 +2，故选： D【点评】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定 理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质填空题（共 7 小题）13如图，把三角形纸片折叠， 使点 B、点 C都与点 A重合，折痕分别为 DE、FG，得到 AGE 30，若 AEEG 2 厘米，则 ABC的边 BC的长为 （6+4 ） 厘米【分析】 根据折叠的性质和含 30的直角三角形的性质解答即可【解答】 解：把三角形纸片折叠，使点B、

23、点 C都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG，BEAE， AGGC， AGE 30， AE EG2 厘米， AG6 厘米， BEAE 2 厘米， GCAG6 厘米，BCBE+EG+GC（ 6+4 ）厘米，故答案为：（ 6+4 ），【点评】 此题考查翻折问题， 关键是根据折叠的性质和含 30的直角三角形的性质解答14如图，在 Rt ABC中， ACB90， BC6，CD是斜边 AB上的中线，将 BCD沿直线CD翻折至 ECD的位置，连接 AE若 DE AC，计算 AE的长度等于【分析】 根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长【解答】 解：由题意可得，DE DB CD AB

24、， DEC DCE DCB，DEAC， DCE DCB， ACB 90， DEC ACE， DCE ACE DCB30， ACD60， CAD60， ACD是等边三角形，ACCD，ACDE，ACDE， ACCD，四边形 ACDE是菱形，在 Rt ABC中， ACB90，BC6，B30， AC， AE【点评】 本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关 键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答15已知 Rt ABC中， ACB90， AC8，BC4，D为斜边 AB上的中点， E是直角边 AC 上的一点，连接 DE，将 ADE沿 DE折叠至 ADE，A

25、E交 BD于点 F，若 DEF的面积 是 ADE面积的一半，则 CE 2 【分析】 根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD2DF，A FEF，通过勾股定理可得 AB的长度，可可求 AD， DF，BF的长度，可得 BFDF，可证 BEDA 是平行四边 形，可得 BE A D 2 ，根据勾股定理可得 CE的长度【解答】 解：如图连接 BE ACB90，AC8，BC4AB4 D是 AB中点 BDAD 2折叠 ADA D2 ， S ADE SA DE SDEF S ADE AD2DF， SDEF SA DEDF，A FEFBFDF，且 A F EF四边形 BEDA 是平行四边形 A D BE

26、根据勾股定理得： CE2 故答案为 2点评】 本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题16如图，在 ABC中， ABAC5，tan A ，BC，点 D是 AB边上一点，连接 CD，将 BCD沿着 CD翻折得 B1CD，DB1AC且交于点 E，则 DE11【分析】 作 BFAC于 F，证明 B1EC CFB（ AAS），得出 B1ECF1，设 DE3a，则AD 5a，得出 BD B1D 3a+1，得出方程，解方程即可【解答】 解：作 BFAC于 F，如图所示：则 AFB CFB90， AF4， BF 3， sin A在 Rt ABF中， tan A，AB

27、5，CFAC AF1，由折叠的性质得： B1C BC， CB1E ABC，B1D BD，ABAC， ABC BCF， CB1E BCF， DB1 AC， B1EC90 CFB，在 B1EC和 CBF中， B1EC CFB（AAS）， B1E CF1，设 DE3a，则 AD 5a， BDB1D 3a+1，AD+BDAB， 3a+1+5a 5 ，DE ；故答案为：【点评】 本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键17如图，在 Rt ABC中， ABC90，把 ABC沿斜边 AC折叠，使点 B落

28、在 B，点 D， 点 E 分别为 BC和 AB上的点，连接 DE交 AC于点 F，把四边形 ABDE沿 DE折叠，使点 B 与点 C重合，点 A落在 A，连接 AA交 BC于点 H，交 DE于点 G若 AB 3，BC 4，则 GE的长为2 2 2分析】设HCHAx，在RtCAH中，可得x232+（4x）2，解得 x，由 CA，由此即可解决问题H AGE，可得解答】 解：由题意四边形ABCA是矩形， BD CD2， AG GA 2，BCAA， BCA CAA， ACB ACB， HCA HAC，HCHA，设 HCHA x，22在 RtCAH中， x232+24x)2，xAH4由 CAH AGE，可得：EG点评】 本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型18如图，在平行四边形 ABCD中， B 30，且 BCCA，将 ABC沿 AC翻折至 ABC，AB交 CD于