转动惯量(指导书

1、实用文档转动惯量指导书力学实验室2016年3月转动惯量的测量预习思考 】转动惯量的定义式是什么？ 转动惯量的单位是什么？ 转动惯量与质量分布的关系？ 了解单摆中摆长与周期的关系？ 摆角对周期的影响。 仪器照片】原理简述】1、转动惯量的定义构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即1）J mr 2转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转 轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电 力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。图1电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检 流计）或电量（冲

2、击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形 设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。2、转动惯量的公式推导测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的 是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便 易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的 转动惯量都可用三线摆测定。 这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验 的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法， 并验证转动惯量的平行 轴定理。两半径分别为 r 和 R （ R r ）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长 l 的无弹性

3、、 无质量的细线相连，半径为 r 的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为 r ；半径为 R 的圆盘在下， 作为悬盘， 其悬点到盘心的距离为 R 。将启动盘固定， 则构成一振动系统， 称为三线摆（图 2）。当施加力矩使悬盘转过角 0 后，悬盘将绕中心轴 OO 做角简谐振动。振动法测转动惯量三线摆图2如图 2所示，当悬盘转过角时，悬线点 A上升到 A ，悬盘上升高度为 H 。则2 2 2h12 l2 (R r) 2(2)2 22 22h22 l 2 (R2 r 2 2Rr cos ) h12 2Rr(1 cos ) (3)可得：112 2 2Rr(1 cos ) 2Hh1h2h1h122Rr

4、(1 cos ) 2h1h112 2(4)h12当 很小时，括号中第二项远小于 1，作近似5)Rr(1 cos )Hh1式中， h1 为两盘静止时的垂直距离，和 H 均为时间的函数。因系统遵从机械能守恒，则对悬盘有下式2J0 2 m0gH 2m0v2m0 gH06)式中， H 为悬盘转到角 时上升的高度，H0 为悬盘上升的最大高度，m0 是悬盘的质量， J0 是悬盘绕中心轴的转动惯量，是悬盘转至角、上升至 H 时的角速度d dtv 是悬盘的上升速度d dt将式( 5)和式( 6)分别对时间微分，经合并整理，得d2dt2m0gRrJ0h17)此式表明，悬盘在作角简谐振动，其振动周期为T0h12

5、m0gRr J0(8)因此，可知悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量J0m0gRr4 2h1T02(9)由式（ 8）可以看出，振动系统的周期将取决于结构参数R，r ， h1和振子（悬盘）的质量m0 及转动惯量 J 0 （而转动惯量又与质量和质量分布状况有关） 。如果将质量为 m1 ，转动惯 量为 J1的圆环放在悬盘上，则新振子质量为m0 m1 ，转动惯量为 J0 J1，则此新振动系统的振动周期将发生改变 :T1 2h1（J0 J1）（10）（m0 m1） gRr若悬盘的 m0、 J 0为已知，可用比较法求得J1 ，即联立式（ 8）和式（ 10）求解，得J1T12T02m1m0J0(12m1

6、 T11 ) 12 1 J0 (11) m0 T0测出 m1、T0、 T1后代入式（ 3.4-8 ）即可求得 J1。实验时，测出 m0、 R、r 、 H 及T0 ，由（ 3-2-4 ）式求出圆盘的转动惯量 J0。在下 盘上放上另一个质量为 m ，转动惯量为 J （对 OO轴）的物体时，测出周期为 T ，则有 J J0 （m m20）gRr ?T2 （12） 0 4 2H从（ 12）减去（ 9）得到被测物体的转动惯量 J 为：JgR2r ?（m m0）T 2 m0T02 （13）4H在理论上，对于质量为 m ，内、外直径分别为 d 、 D 的均匀圆环，通过其中心垂直轴 122线的转动惯量为 J

7、m（d2 D 2 ） 。而对于质量为 m0 、直径为 D 0的圆盘，相对于中心轴812的转动惯量为 J0m0 D02 。8【拓展实验】1. 验证平行轴定理。2. 研究高度 H与周期 T 的关系？3. 研究质量分布与周期 T 的关系？4. 研究转动角度对周期的影响？5. 研究不规则物体转动惯量的测量？思考题】1 扭转角的大小对实验结果有无影响？若有影响，能否进行修正？2 三线摆在摆动中受到空气阻尼，振幅越来越小，它的周期如何变化？请观察实验， 并说出理论根据。3 加上待测物体后，三线摆的周期是否一定比空盘的周期大？为什么？4 在本实验中，计算转动惯量公式中的R，是否就是下圆盘的半径？它的值如何测

8、量？5 当待测物体的转动惯量比下圆盘的转动惯量小得多时，为什么不适宜用三线摆测量？6 用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？7 在测量过程中， 如果下盘出现晃动对周期的测量有影响么？如有影响， 应该如何避 免？8 测量圆环的转动惯量时， 若圆环的转轴与下盘转轴不重合， 对实验结果有何影响？9 三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？10三线摆经什么位置计时误差较小？为什么？11如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？12检验平行轴定理时，为什么要对称的放两个小圆柱体？只放置一个小圆柱体行不 行？13实验中误差来源有哪些？如何克服？14比较两种方

9、法求 J0 的优劣？15在测量圆柱的转动惯量时，圆柱体上有一细丝，注意其作用。注意事项】1 注意仪器的水平调节；2 注意霍尔开关的安装；3 注意预置次数与周期的关系；4 注意正确启动三线摆。【数据表格】1 周期地测定表1 周期与质量测量项目悬盘质量 M 0圆环质量 M 1预设次数202010 个周1期的总2时间 t3(s)45平均时间 (s)平均周期 (s)2 几何参数 1(cm )表 2 几何参数及其间距离测量项目D1HD内D外abR 3 a3r 3 b rb3次数1测测测测测测2测测测测测测3测测测测测测平均值参考数据处理】1计算各量的平均值，填入表中。2计算 R、 r 的值，填入表 2

10、中。3计算 d 的值，填入表 3 中。4悬盘空载时的转动惯量：实验值：M 0 gRr 2T0J 020 4 2 H 1.335 10 23 2 2479.0 10 3 9.794 7.286 10 2 3.906 10 2 10 224 3.14 2 48.0821.3813218.9621.38132321.343 10 3 Kg.m2理论值：20D11479.083 2 210 3 (14.811 10 2 )2321.313 10 3 Kg.m2绝对误差：J0J01.343 10333 1.313 10 30.033210 Kg.m结果表示：(1.34 0.03)10 3 Kg.m 2相

11、对误差：Er JJ0100%30.03 10 30.03 10 3 100% 2.2%1.34 10 35 圆环的转动惯量：总转动惯量：J1M 0 M 1 gRr4 2H32(479.0 201.3) 10 3 9.794 7.286 10 2 3.90624 3.14 2 48.0810 210 1.4305221.896 10 218.961.43052 2.046 103 Kg.m 2圆环转动惯量：J M1J1 J 032.046 10 3 1.3433 3 210 3 0.703 10 3 Kg.m2理论值：实用文档J M1M1(D内 D外 )81 3 2 218 201.3 10 3

12、 (11.382 10 2)2(12.101 10 2 )2 )0.6944 10 3 Kg.m2绝对误差：I M1IM10.703 10 30.6944 10 30.009 103 Kg .m2结果表示：JM1J M1JM1(0.703 0.009)10 3 Kg.m2相对误差：Er JJMM11 100%0.009 10 33 100% 1.3%0.703 10 36平行轴定理的验证总转动惯量：M 0 2M 1J20 4 2H1gRr T12(479.0 200.7) 10 3 9.794 7.286 10 2 3.906 10 2224 3.142 48.08 10 221.428122

13、1.895 101.42812 2.038 10 3 Kg.m218.96一个圆柱的转动惯量：JM2 1(J2 J0) 1 (2.038 10 3 1.343 10 3) 0.3482210 3 Kg.m2理论值：12JM 2M 2r柱M 2 dM 2 2 2 柱 20.08173 10 3相对误差：0.27162 1 32 100.4 10 3 210 32( 2.552 10 2 )20.3533210 3 Kg.m23100.4 10 32(10.402 10 2 )2E J M2ErJ M2JM2JM2JM21.5%由此可知：在误差范围内，可以认为330.348 10 3 0.3533

14、 10 30.348 10 3J M 2 JM 2 , 既平行轴定理成立。知识拓展】100%100%100%实用文档对于质量分布均匀， 外形不复杂的物体可以从它的外形尺寸的质量分布用公式计 算出相对于某一确定转轴的转动惯量。对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以 直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。 而对于外形复杂和质量分布不 均匀的物体只能通过实验的方法来精确地测定物体的转动惯量， 因而实验方法就显得 更为重要。Moment of Inertia 刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J= mi*ri2 ，式中mi 表示刚体的某个质点的质量， ri 表示该质点到转轴的垂直距离。求和号

15、（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和 转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚 体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测 定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体 对一轴的转动惯量， 等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体 的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中 心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。垂直轴定理还有垂直轴定理：垂直轴定理 一个平面刚体薄板对于

16、垂直它的平面的轴的转动惯量， 等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转垂直轴定理动惯量之和。表达式 :Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量， 可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的 转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径，其 公式为 I=MK2 ，式中 M 为刚体质量； I 为转动惯量。转动惯量的量纲为 L2M，在 SI 单位制中，它的单位是kg m2。刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量， 它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能 E=(1/2)mv2 ，而且动能的 实际物理意义是：物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量，( P 势能 实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。E=(1/2)mv2 (v2 为 v 的 2 次方)把 v=wr 代入上式 (w 是角速