孤岛疾病问题的探讨

1、. 孤岛疾病问题的探讨一、 摘要建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。本文是一个孤岛疾病传播问题。首先根据孤岛的自身特征方面的条件解决问题a:列出假设1、2，问题b:根据模型建立的被感染人数x与时刻t的关系，利用matlab软件画出dx/dt关于x的图像。问题c:又假设感染的人数x10为常数：(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？(b) 画出关于x的图形(c) 若初始被感染的人数，画出x关于t的图形；若初始被感染人数为，画出x关于t的图形。(d) 把x作为t的函数，解出前

2、面给出的模型。(e)由(d)，当t趋于无穷时求x的极限。(f)设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表精品.天数t2610被感染人数x188740874853ln(x/(n-x)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？(g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。(h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。 二、模型假设1、人口数量n不变，因为是孤岛。2、人口分为健康人和被感染的病人，数量分别为x ,n-x。3、在规定的时刻内人口变化x取整数，因为人口为整数 三、符号定义说明x（t）：t时刻被感染的人数 s（t）：t时刻未被感染的人数

3、 k ：常数c1、c2：皆为参数 n ：孤岛上的人口总数,即n=x（t）+s（t） 四、模型的建立与求解 4.1模型的建立依据(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？假设1人口数量n不变，因为是孤岛。假设2人口分为健康人和被感染的病人数量分别为x ,n-x。4.2模型的建立与求解(b) 画出关于x的图形设k=0.1精品.x=0:0.1:1;ezplot(0.1*x*(1-x),0,1);(c)若初始被感染的人数，画出x关于t的图形；若初始被感染人数为，画出x关于t的图形。1、取，则y=dsolve(dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.25,x);ezplot(

4、y,0,50);精品.2、，则y=dsolve(dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.75,x);ezplot(y,0,50);精品.(d)把x作为t的函数，解出前面给出的模型。 syms n k:x=dsolve(dx=k*x*（n-x）) 即 (e) 由(d)，当t趋于无穷时求x的极限。精品.(f)设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数x188740874853ln(x/(n-x)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？由 可以看出为线性变化的，所以可以认为这些数据支持该模型。(g)利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=1

5、2天时被感染的人数。 得到k=0.5再代入k值，得c2=1.5，而n=5000，当t=4+10=14时，可以解出x的值：x= 4979确定参数c1=n/x0，则有 五、模型评估及改进5.1 模型的优点（1）用假设分析、微分求导导数、线性相关等方法，解决问题，方法简单易懂，过程清晰且准确。精品.（2）又利用matlab软件处理数据简单、准确、而且具有科学性，得到的结果更具说服力。5.2 模型的缺点（1）在问题a的问题假设1没有考虑人口的流动量(2) 在问题a的问题假设2没有考虑治愈问题等情况改进：将对象分为三类：病人，健康人与治愈的人。符号说明：s（t）：健康者在总人数n中占的比例i（t）：病人

6、在总人数n中占的比例r（t）：病愈免疫的移出者在总人数n中占的比例模型假设：1.总人数n不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出三类，时刻t三类人在总人数n中占的比例分别记为s(t)、i(t）、r(t).2.病人的日接触率为,日治愈率为，传染期接触数为模型构成：由假设1可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1 (1)对于病愈免疫的移出者有 (2)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是(0)和(0)(1) 、(2) 模型的方程可以写成精品. (3) i(t)、s(t)图形精品.我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。d = （s，i）| s0，i0 ， s

7、+ i 1在方程（3）中消去并注意到的定义，可得 (4)所以： (5)利用积分特性容易求出方程(4)的解为： (6)在定义域d内,(5)式表示的曲线即为相轨线,如下图所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋si101dp4p3imp2s0p1s0 p1: s01/s i(t)先升后降至0 传染病蔓延p2: s01/s i(t)单调降至0 传染病不蔓延精品.1/s阈值1.提高阈值1/s降低 s(=l/m) l , m l (日接触率) 卫生水平m(日治愈率) 医疗水平2.降低 s0提高 r0群体免疫s 的估计 参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社数学分析,陈纪修，于崇华,金路,高等教育出版社附录：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x