2007年考研数学一真题及解析

1、2007 年考研数学一真题一、选择题 （本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当 x0 时，与x等价的无穷小量是()A. 1e xB. ln1xC.1x1D. 1 cosx1x(2)曲线 y=1ln(1ex),渐近线的条数为()xA.0B.1C.2D.3(3) 如图，连续函数y=f(x) 在区间 -3 ，-2， 2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间-2 ，0，xf (t )dt0， 2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=.则下列结论正确的是()0A. F(3)=3 F

2、(2)B. F(3)=5 F(2)C. F(3)=3 F(2)D. F(3)=5 F (2)4444(4) 设函数 f （ x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是()A. 若 limf ( x) 存在，则 f （ 0） =0B. 若 limf ( x)f (x)存在，则 f （0） =0x0xx0xC. 若 limf ( x)存在，则 f (0) =0D. 若 limf (x)f (x)存在，则 f (0) =0x0xx0x(5) 设函数 （f x）在（ 0, +）上具有二阶导数， 且 f ( x)o ,令 un =f(n)=1,2, .n,则下列结论正确的是( )A. 若 u1u2 ，则

3、un 必收敛B. 若 u1u2 ，则 un 必发散C. 若 u1u2 ，则 un 必收敛D.若 u1u2 ，则 un 必发散(6) 设曲线 L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点M 和第象限内的点N,T为L上从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是()A.( x, y)dxB.f (x, y)dyC.f ( x, y)dsD.f x (x, y)dxf y ( x, y)dyrrrr（7）设向量组1，2，3 线形无关，则下列向量组线形相关的是：()（A ）12 ,23 ,31（ B ）12 ,23 ,31（C）12,22,321（D） 122,

4、22 ,3212332111 00（8）设矩阵 A= 121 ，B=01 011 2000，则A于B()(A)合同，且相似(B) 合同，但不相似(C)不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p 0p1 ，则此人第 4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为：()（A ） 3p(1p) 2(B) 6p(1 p)2(C) 3 p2 (1p)2(D) 6 p2 (1p) 2(10) 设随即变量（ X ，Y ）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， fX ( x) ， fY ( y) 分别表示 X ，Y 的概率密度，则在 Y y 的条件下，X

5、的条件概率密度fX | Y (x | y) 为 ( )（A ） fX (x)(B)fY ( y)(C)f X ( x) fY ( y)(D)fX (x)fY ( y)二 填空题 ：1116小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上211_.（11）x3exdx1（12）设 f (u, v) 为二元可微函数，zf ( x y , yx ) ，则z _.x(13) 二阶常系数非齐次线性方程y 4 y 3y2e2x 的通解为 y _.(14) 设曲面： | x | y | z |1，则( x| y |)ds _.0 1 00(15) 设矩阵 A00 1 0，则 A3 的秩为 _.0

6、00 1000 0（16）在区间（ 0， 1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1 的概率为 _.2三解答题： 1724小题，共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .(17) （本题满分 11分）求函数 f ( x, y)x22y2x2 y2在区域 D( x, y) x2y24, y 0上的最大值和最小值。(18)(本题满分 10分 )计算曲面积分Ixzdydz2xydzdx3xydxdy ,2其中为曲面 z1x2y (0 z 1)的上侧 .4(19)(本题是 11分 )设函数 f ( x), g( x)在 a, b上连续，在 ( a,

7、b)内二阶导数且存在相等的最大值，f (a)g( a), f (b)g(b)证明：存在( a, b)，使得 f ( )g ( ).(20)(本题满分 10分)设幂级数an xn 在(,内收敛，其和函数y(x)满足n0)y2xy4 y0, y(0)0, y (0)1(1)证明 an2n21an ,n1,2,L ;(2)求的表达式 .y( x)本题满分分)(21)(11x1x2x30设线性方程组x12x2ax30(1)x14x2a2 x3 0与方程 x12x2x3a1(2)有公共解，求 的值及所有公共解 .a(22)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值1 1,2 2,32, 1 (1, 1,1)T

8、是A的属于1 的一个特征向量 ,记 BA54 A3E其中 E为 3 阶单位矩阵(I)验证1 是矩阵 B 的特征向量 ,并求 B 的全部特征值的特征向量；(II)求矩阵 B.(23)设二维变量( x, y) 的概率密度为2xy0x1,0y1f ( x, y)其他0(I)求PX2Y ；(II ) 求 z XY 的概率密度 .(24)设总体 X 的概率密度为10 x21x 1f ( x, )2(1)0其他X1 , X2 ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值(I ) 求参数的矩估计量；(II ) 判断 4X 2 是否为2 的无偏估计量 ,并说明理由 .2007 年考研数学一真题解析一

9、、选择题 （本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2）当 x0 时，与x等价的无穷小量是(B)A. 1e xB. ln1xC.1x 1D. 1 cosx1x(2)曲线 y=1ln(1 ex),渐近线的条数为(D)xA.0B.1C.2D.3(3) 如图，连续函数y=f(x) 在区间 -3 ，-2， 2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间 -2 ， 0，x0， 2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=f (t )dt.则下列结论正确的是(C)0A. F(3)=3 F (2)B. F

10、(3)=5 F(2)C. F(3)=3 F(2)D. F(3)=5F( 2)4444(4) 设函数 f （ x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是(C)A. 若 limf ( x) 存在，则 f （ 0） =0B. 若 limf ( x)f (x)存在，则 f （0） =0x0xx0xC. 若 limf ( x)存在，则 f (0) =0D. 若 limf (x)f (x)存在，则 f (0) =0x0xx0x(5) 设函数 f（ x）在（ 0, +）上具有二阶导数， 且 f ( x)o , 令 un =f(n)=1,2, .n, 则下列结论正确的是 (D)A. 若 u1u2 ，则 un 必

11、收敛B. 若 u1u2 ，则 un 必发散C. 若 u1u2 ，则 un 必收敛D.若 u1u2 ，则 un 必发散(6) 设曲线 L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点M 和第象限内的点N,T为L上从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是(B)A.( x, y)dxB.f (x, y)dyC.f ( x, y)dsD.f x (x, y)dxf y ( x, y)dyrrrr（7）设向量组1，2 ，3 线形无关，则下列向量组线形相关的是：(A)（A ）12 ,23 ,31（ B ）12 ,23 ,31（C）12,22,321（ D）122,2

12、2 ,3212332111 00（8）设矩阵 A= 121 ，B=01 011 2000,则A于B，(B)(A)合同，且相似(B) 合同，但不相似(C)不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p 0p1 ，则此人第 4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为：(C)（A ） 3p(1p) 2(B) 6p(1 p)2(C) 3 p2 (1p)2(D) 6 p2 (1p) 2(10) 设随即变量（ X ，Y ）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， fX ( x) ， fY ( y) 分别表示 X ，Y 的概率密度，则在 Y y的条件下，

13、X 的条件概率密度fX | Y ( x | y) 为(A)（A ） fX (x)(B) fY ( y)(C) f X ( x)fY ( y)fX (x)(D)fY ( y)二 填空题 ：1116 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。21111（11）x3 ex dx 2e2 .1（12）设 f (u, v) 为二元可微函数，zf ( x y , yx ) ，则z f1 ( xy , yx ) yx y 1y x ln yf 2 ( x y , yx ) .x(13)二阶常系数非齐次线性方程y 4 y 3y2e2 x 的通解为 y C1exC 2e3 x2e2x.(14

14、) 设曲面： | x | y | z |1，则 ( x| y |)ds 433.0 1 0000 1 0，则 A3 的秩为 .(15) 设矩阵 A00 10000 0（16）在区间（ 0， 1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1 的概率为 3.24三、解答题： 1724小题，共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) （本题满分 11分）求函数 f ( x, y)x22y2x2 y2在区域 D( x, y) x2y24, y 0上的最大值和最小值。【详解 】：求驻点f x2xy2xy30(1)f y4 xy2x3 y( x, y)

15、(0,0)( f 0)0或( x, y)(2, 1)( f；2)(2) 考察边界 y 0，此时最大值为 4，最小值为 0考察边界x2y24, y0(3)F ( x, y) x22 y2x2 y2(x2y24)FFF0xyz2x2 xy22x05 , y23 ,14y 2x2 y 2 y 0 x2x2y24222此时数值为 74x20, y2，此时数值为84x24, y2，此时数值为40综上所述 x0， y2时，取得为 8最小值 x0，y0取得为 0(18)(本题满分 10分 )计算曲面积分Ixzdydz 2xydzdx3xydxdy,其中为曲面 z 1 x2y2(0 z 1)的上侧4【详解 】

16、2取1为xoy平面上被椭圆 x2y1所围部分的下侧，4记为由与1围成的空间闭区域，则Ixzdydz 2zydzdx3xydxdy1xzdydz2zydzdx3xydxdy1Gauss公式xzdydz2zydzdx3xydxdy( z 3z)dxdydz13zdxdydz31zdxdydz0y2x21 z4而xzdydz 2zydzdx 3xydxdy3xydxdy 0, I.1x2y214(19)(本题是 11分 )设函数 f ( x), g( x)在 a, b上连续，在 ( a, b)内二阶导数且存在相等的最大值，f (a)g( a), f (b) g(b)证明：存在( a, b)，使得 f

17、 ( ) g( )【详解 】证明 ：设 f ( x), g ( x) 在 ( a,b) 内某点 c(a,b) 同时取得最大值，则f (c) g(c) ，此时的c 就是所求点使得 f ( )g() .若两个函数取得最大值的点不同则有设f (c)max f ( x), g(d)max g (x)故有f ( c)g(c)0, g( d )f ( d)0 ，由介值定理， 在 (c, d)内肯定存在使得 f ()g () 由罗尔定理在区间(a,),(, b) 内分别存在一点1,2 , 使得 f (1 ) f (2)0在区间 ( 1 , 2 ) 内再用罗尔定理，即存在( a, b)，使得 f ( )g (

18、 )(20)(本题满分 10分)设幂级数an xn 在(,内收敛，其和函数y(x)满足)n 0y2xy4 y0, y(0)0, y (0) 1(1)证明 an 2n2 an ,n1,2,L ;1(2)求的表达式y( x)【详解 】(1) 将已知条件中 幂级数an xn 代入到微分方程中，整理即可得到：n 0an 22an , n1,2,L;n 1(2) 解题如下y(0)0a00y (0)1a11an 22ana2n1a3a11a52a3142a72a51g162 3a92a71g1g182 3 4故an xnxx3n01x2n1n 1 n!本题满分分(21)(11)x1设线性方程组x1x1与方

19、程 x12x2x3a4La2n01 x51 g1 x71 g1g1 x922 32 3 4xx2xex2x3 02x2ax30(1)4x2a2 x30a1(2)有公共解，求 的值及所有公共解a【详解 】：因为方程组 (1)、 (2)有公共解，即由方程组(1) 、 (2)组成的方程组x1x2x30x12x2ax30(3) 的解 .x14x2a2 x30x12x2x3a11110111002a001a10即距阵4a20001方程组 (3)有解的充要条件为101 2 1 a 10 0 a23a 4 0a1,a2 .当 a1 时，方程组(3) 等价于方程组(1) 即此时的公共解为方程组(1) 的解 .

20、 解方程组(1) 的基础解系为(1,0,1)T 此时的公共解为：xk,k1,2,L11101110当 a212200110时，方程组(3)的系数距阵为440000此时方程组(3)的解为1111110000x10, x2 1, x31 ，即公共解为： k (0,1,1)T(22)设 3 阶对称矩阵 A的特征向量值11, 22,32,1 (1, 1,1)T是A的属于1 的一个特征向量 ,记 BA54 A3E其中 E为 3 阶单位矩阵(I ) 验证 1 是矩阵 B 的特征向量 ,并求 B 的全部特征值的特征向量；(II)求矩阵 B.【详解 】：（）可以很容易验证An11n1 (n1,2,3.) ，于

21、是B 1( A54 A3E) 1( 15413 1)12 1于是1是矩阵 B的特征向量 .B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与 A 的关系得到，即(B)( A)54 (A)3 1，所以 B 的全部特征值为2， 1， 1.前面已经求得1 为 B 的属于 2 的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据 B 与 A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1 的特征向量为 ( x1 , x2 , x3 )T，所以有方程如下：x1x2x30于是求得 B 的属于 1 的特征向量为2(1,0,1)T ,3(1,1,0)T111（）令矩阵 P1,2,3101，则 P1 BPdiag (2,1,1)，所以110BP diag ( 2,1,1) P111111133311