几何概型zhu（经典实用）

1、几何概型zhu 问题问题1: 取一根长度为取一根长度为3 3米的绳子，米的绳子， 拉直后在任意位拉直后在任意位 置剪断，那么剪得的两段长都不小于置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 1米的概率有米的概率有 多大？多大？ ACDB 几何概型zhu 问题问题2:2:如图如图, , 飞镖盘由两个半径分别为飞镖盘由两个半径分别为10cm10cm和和20cm20cm 的同心圆组成的同心圆组成. . 现向圆盘投掷飞镖现向圆盘投掷飞镖, , 假设飞镖都能假设飞镖都能 射中圆盘射中圆盘, , 且射中圆盘上每一个点都是等可能的且射中圆盘上每一个点都是等可能的, , 则则试验的基本事件是什么试验的基本事件是什么？个

2、数呢个数呢? ?等可能吗等可能吗? ? 思考思考1:1:你能求出射中红心的概率吗你能求出射中红心的概率吗? ? 思考思考2:2:概率值和红色区域的位置概率值和红色区域的位置 和形状有关系吗和形状有关系吗? ? ( ) A P A 事件 对应的小圆的面积 所有基本事件对应的大圆的面积 几何概型zhu 设设D D是一个可度量的区域是一个可度量的区域( (例如线段、平面图形、立体图例如线段、平面图形、立体图 形等形等). ). 每个基本事件可视为从区域每个基本事件可视为从区域D D内随机地取一点内随机地取一点, , 区域区域 D D内的每一个点被取到的机会都一样内的每一个点被取到的机会都一样; ;随

3、机事件随机事件A A的发生可以的发生可以 视为恰好取到区域视为恰好取到区域D D内的某个指定区域内的某个指定区域d d中的点中的点. . 这时这时, , 事件事件 A A发生的概率与发生的概率与d d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与的测度（长度、面积、体积等）成正比，与 d d的形状和位置无关的形状和位置无关. . 我们把满足这样条件的概率模型称为我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型几何概型. . 1. 1. 几何概型几何概型的定义的定义: : () d P A D 的测度 的测度 2. 2. 概率计算公式：概率计算公式： 数学建构数学建构 ( (长度长度 面积面积 体积等体积等)

4、) 几何概型zhu 比一比比一比: : 比较古典概型和几何概型比较古典概型和几何概型, ,完成下表完成下表 ( ) m P A n ( ) d P A D 的测度 的测度 有限个有限个无限个无限个 等可能等可能 等可能等可能 几何概型zhu 辨析辨析1 1：在体育节比赛中在体育节比赛中, ,我们的课代表黄晴我们的课代表黄晴( (力气力气 不是很大不是很大) )同学参加了投铅球比赛，投掷区域如下同学参加了投铅球比赛，投掷区域如下 图所示，假设她每次都能投进这个区域，能否用几图所示，假设她每次都能投进这个区域，能否用几 何概型的概率计算公式计算她投进区域何概型的概率计算公式计算她投进区域1 1的概

5、率？的概率？ 为什么？为什么？ 越辨越明白越辨越明白 几何概型zhu 越辨越明白越辨越明白 辨析辨析2:2:如图如图, , 飞镖盘由两个半径分别为飞镖盘由两个半径分别为10cm10cm和和20cm20cm 的同心圆组成的同心圆组成. . 现向圆盘投掷飞镖现向圆盘投掷飞镖, , 假设飞镖都能假设飞镖都能 射中圆盘射中圆盘, , 且射中圆盘上每一个点都是等可能的且射中圆盘上每一个点都是等可能的, , 则则射中红心的概率为多少射中红心的概率为多少？ 思考思考1:1:若红色区域收缩为一个点若红色区域收缩为一个点, , 则击中的概率为多少则击中的概率为多少? ? 思考思考2:2:概率为概率为0 0的事件

6、的事件, ,一定是不可能事件吗一定是不可能事件吗? ?同样概同样概 率为率为1 1的事件的事件, ,一定是必然事件吗一定是必然事件吗? ? 几何概型zhu 数学应用数学应用1 1 例例1 1 一只一只草履虫草履虫在一个棱长为在一个棱长为20cm20cm盛满水的正方体容盛满水的正方体容 器中游动器中游动, , 假设小虫出现在容器中的假设小虫出现在容器中的任意一个位置任意一个位置均均 为等可能的为等可能的, ,求它距正方体中心不足求它距正方体中心不足10cm10cm的概率的概率. . 练习练习: :已知地铁列车每已知地铁列车每1010分钟一分钟一 班，在车站停班，在车站停1 1分钟，求乘客到分钟，

7、求乘客到 达站台能立即上车的概率。达站台能立即上车的概率。 计算几何概型概率的一般步骤：计算几何概型概率的一般步骤： o 第一步：判断是否为几何概型第一步：判断是否为几何概型 o 第二步：算出试验全部结果所对应的点构成第二步：算出试验全部结果所对应的点构成 的区域的区域D D的长度（面积或体积）的长度（面积或体积） o 第三步：算出与事件第三步：算出与事件A A发生所对应的点构成的发生所对应的点构成的 区域区域d d的长度（面积或体积）的长度（面积或体积） o 第四步：利用几何概型概率公式计算概率第四步：利用几何概型概率公式计算概率 几何概型zhu 例例2 2 在等腰直角三角形在等腰直角三角形

8、ABCABC中的斜边中的斜边AB AB 上任取一点上任取一点M M, , 求求AMAM ACAC的概率的概率. . 记记“AMAC”为事件为事件A. 2 ( ). 2 ACAC P A ABAB 答：答： AMAC的概率为的概率为 . 2 2 CM 解：在线段解：在线段AB上截取上截取AC= AC, 由于点由于点M随机地落在线段随机地落在线段AB上，上， 则所有的基本事件对应的几何区则所有的基本事件对应的几何区 域域D为线段为线段AB,事件事件A对应的区域对应的区域 d为为AC,故故 数学应用数学应用2 2 几何概型zhu 变式变式: : 在等腰直角三角形在等腰直角三角形 ABC ABC 中中

9、, , 过直角顶点过直角顶点 C C在在ACBACB 内部任取一条射线内部任取一条射线CMCM, , 与线段与线段ABAB交于交于 点点 M M, , 求求AMAM AC AC 的概率的概率. . M 背景相似的问题背景相似的问题, 当等当等 可能的角度不同时可能的角度不同时, 其其 概率是不一样的概率是不一样的. C 几何概型zhu 设有关于设有关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2ax+b2=0 （1）若）若a是从是从0,1,2,3中任取的一个数，中任取的一个数，b是是0,1,2 中任取的一个数，求上述方程有实根的概率中任取的一个数，求上述方程有实根的概率. （2）若）若a是从区间是从区间0,3内任取的一个数，内任取的一个数，b是从是从 区间区间0,2内任取的一个数，求上述方程有实根的内任取的一个数，求上述方程有实根的 概率概率. 拓展练习拓展练习: : 我们的收获我们的收获 1.1.几何概型几何概型的特点的特点 (1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个. . (2)(2)基本事件的发生都是等可能的基本事件的发生都是等可能的 2 2. .几何概型的概率公式几何概型的概率公式 P(A)=P(A)= 的的测测度度 的的测测度度 D d 3 3. .所用到的思想方法所用到的思想方法 数形结合数形结合 从特殊到一般从特殊