人教版中职数学5.2.1任意角的三角函数的 定义（经典实用）

1、三 角 三角 三角 三角 5.2.1 任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 百度文库：百度文库： 李天乐乐李天乐乐 为您呈献！为您呈献！ 初中锐角三角函数定义初中锐角三角函数定义( (正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切) ) 思考思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义角的范围已经推广，那么我们如何定义 任意角任意角 的的三角函数呢？三角函数呢？ 斜边 邻边 Acos 斜边 对边 Asin 邻边 对边 AtanA B 邻邻 边边 斜斜 边边 对对 边边 C 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 已知已知 是是任意角，任意角，P(x，y)，P (x，y)是角是角 的的 终边与两个半径不

2、同的同心圆的交点，终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得则由相似三角形对应边成比例得 x y x y , r y r y , r x r x 由于点由于点 P，P 在同一象限内，在同一象限内， 所以它们的坐标符号相同，因此得所以它们的坐标符号相同，因此得 ， x y x y r y r y r x r x P P y xO x y r y x r 所以当角所以当角 不变时，不论点不变时，不论点 P 在角在角 的的 终边上的位置如何，终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只这三个比值都是定值，只 依赖于依赖于 的大小，与点的大小，与点 P 在在 角角 终边上的位终边上的

3、位 置无关置无关. 设角设角 的终边上的任意一点的终边上的任意一点P（x，y），），点点 P 到原点到原点 的距离为的距离为 r. 于是我们有如下定义：于是我们有如下定义： r x r x 比值比值 叫做叫做角角 的余弦的余弦. .记作记作 cos r y r y 比值比值 叫做叫做角角 的正弦的正弦. .记作记作 sin x y x y 比值比值 叫做叫做角角 的正切的正切. .记作记作 tan 依照上述定义，对于每一个确定的角依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别，都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应 关系都是以角关系都是

4、以角 为自变量的函数，分别称作角为自变量的函数，分别称作角 的的 余弦函数、正弦函数和正切函数余弦函数、正弦函数和正切函数 计算三角函数值的步骤：计算三角函数值的步骤： S1 画角画角 在直角坐标系中，作转角在直角坐标系中，作转角 ； S2 找点找点 在角的终边上任找一点在角的终边上任找一点P，使，使 OP 1 1， 并量出该点的纵坐标和横坐标；并量出该点的纵坐标和横坐标； S3 求值求值 根据三角函数定义，求出角根据三角函数定义，求出角 的三角函数值的三角函数值 三角函数求值三角函数求值 例例 1 已知角已知角 终边经过点终边经过点 P（2，- -3）如图，如图， 求求角角 的三个三角函数值

5、的三个三角函数值 O y x P（2，-3） 解解 已知点已知点 P（2， -3），则则 1332 2 2 OPr ； ； 2 3 tan 13 132 13 2 cos 13 133 13 3 sin x y r x r y 例例 2 试确定三角函数在各象限的符号试确定三角函数在各象限的符号 解解 由三角函数的定义可知，由三角函数的定义可知， sin ，角，角 终边上点的纵坐标终边上点的纵坐标 y 的正、负的正、负 与角与角 的正弦值同号；的正弦值同号； r y cos ，角，角 终边上点的横坐标终边上点的横坐标 x 的正、负的正、负 与角与角 的余弦值同号；的余弦值同号； r x tan

6、，则当，则当 x 与与 y 同号时，正切值为正，同号时，正切值为正， 当当 x 与与 y 异号时，正切值为负异号时，正切值为负 x y 记忆口诀：记忆口诀：全全正，正，正弦，正弦，正切，正切，余弦余弦 + + + x y o sin - - - x cos y o + + - - + +- - tan x y o + + + +- - - - 三角函数在各象限的符号如下图所示：三角函数在各象限的符号如下图所示： ( (2) ) 因为因为 130 是第二象限角，是第二象限角，所以所以 cos 130 0. 练习练习1 1 确定下列各三角函数值的符号：确定下列各三角函数值的符号： 3 4 tan)

7、 4 sin( (1) ； (2) cos130 ； (3) ( (3) ) 因为因为 是第三象限角，是第三象限角， 3 4 解解 ( (1) ) 因为因为 是第四象限角，是第四象限角， 4 3 4 tan所以所以 0. ) 4 sin(所以所以 0. 例例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：使用函数型计算器，计算下列三角函数值： (1) sin67.5 ， cos372 ， tan (86 )； (2) sin1.2， cos ， tan 4 3 6 5 1. 以原点为圆心，半径为以原点为圆心，半径为 1 的圆称为的圆称为单位圆单位圆. 2. 如图，角如图，角 的终边与单位圆交于点的终

8、边与单位圆交于点P， 则根据三角函数定义可知，点则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标的坐标 x， y 分别为分别为 cos 和和 sin ，即，即 P( cos , sin ). O M x A(1,0)(1,0) y 1 P 由于由于 cos x OM； sin y MP， 于是我们把于是我们把规定了方向的线段规定了方向的线段 OM 称作角称作角 的的余弦线余弦线， MP 称作角称作角 的的正弦线正弦线 . 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线 (cos , sin ) 练习 2 2（1 1） 在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线 （1） ； （2） 3 3 2 y x O y x O

9、3 P M 3 2 P M 如何画如何画正切线？正切线？ y x O A T T 所以所以 AT ( AT ) 称作角称作角 的的正切线正切线 ，因为)(tanTAAT x y 附注 通过单位圆研究 三角函数的几何演 示过程可在主界面 单击“单位圆研究 三角函数.gsp”文 件观看. 练习 2 2（2 2） 在单位圆中作出下列各角的正切线 （1） ； （2） 3 3 2 y x O y x O 3 M 3 2 M T A T A 本节课所学知识点：本节课所学知识点： 1 1任意角三角函数的定义（代数表示）任意角三角函数的定义（代数表示） 2 2任意角三角函数值的求法（两种方法）任意角三角函数值的求法（两种方法） 3 3任意角三角函数值的符号（记住口诀）任意角三角函数值的符号（记住