泰勒公式与导数的应用

1、泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒中值定理：如果 f ( x) 在含有x0 的某个开区间 ( a,b) 内具有 n1阶的导数，则对任一x (a,b) ，有f (x) f (x0 )f/ (x0 )( xx0)f /2(!x0)(xx0)20 2!f (n) (x0)n(x x0)Rn( x)，此公式称为n 阶泰勒公式；n!f (n 1) ( )n1其中 Rn (x)(x x 0)( 介于 x0 于 x 之间)，称为拉格朗日型余项；或泰(n 1)!Rn(x) o( xx0)n ，称为皮亚诺型余项。勒n 阶麦克劳林公式：f (x) f (0)f /(0)x f /(0)x2f (n)(0) xn

2、xRn(x)2!n!公其中 Rn ( x)( n 1)f ( x) n 1 x(01)或 Rn(x) o(xn )。(n 1)!式常用的初等函数的麦克劳林公式： 1)ex 12x xn xo(xn)2!n!352n12) sin x xxx(nx2n 2)1)o( x3! 5!(2n1)!2462n3) cos x 1xxxnx 2n1)( 1) no(x2n2! 4! 6!(2n)!23xx x( 1)n xn14) ln(1 x)n1o(xn1)23n15) 11x 12x x xno(xn)1xm6) (1 x)m(m1 mx1)2m( m 1) ( mn 1) nn)xn!x o( x

3、2!巩固练习1.按(x 1)的幂展开多项式 f (x) x4 3x2 4。知识点 ：泰勒公式。思路：直接展开法。求 f (x) 按(x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式，则依次求 f ( x) 直到 n 1 阶的导 数在 x x0 处的值，然后带代入公式即可解： f (x) 4x3 6x ，f (1) 10 ； f (x) 12x2 6， f (1) 18；f (x) 24x ， f (1)24； f (4)(x)(5)24； f (4)(1) 24； f (5)(x) 0；13x将以上结果代入泰勒公式，得f (x) f (1)f1(!1)(x1!1)f2(!1)(x2!1)2f 3(!1)

4、(x 1)33!f (44)!(1)(x 1)44!8 10( x 1)9( x 1)24(x 1)3(x1)4。 2.求函数 f (x)4) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点 ：泰勒公式。 思路 ：同 1。解： f ( x)121x ， f (4)114； f (x)1x24(4)132f ( x) 3 x852 ， f (4)3256(4)(x)15x16将以上结果代入泰勒公式，得f (x) f (4)f (4) (x1!4)f2(!4)(x2!4)2(4)3! (x4)3( x 4)44!介于 x与 4之间) 3.把 f (x)11 xx xx22 在x1 x x0点展

5、开到含 x 4项，并求f (3) (0) 。知识点 ：麦克劳林公式。思路：间接展开法。 f(x) 为有理分式时通常利用已知的结论11x1 x x2xn o(xn )。解： f ( x)21 x x21 x x21 x x2 x21 x x2x1 x x22x(1x)11 2x(1 x)(1 x3 o(x3) 1 2x 2x2 2x4 o( x4 ) ；3 f (0)又由泰勒公式知 x3前的系数0，从而 f (0) 0 。3!4.求函数 f (x) ln x 按(x 2) 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 n阶泰勒公式。知识点 ：泰勒公式。4x思路 ：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法，f (

6、x) 为对数函数时，通常利用已知的结论2xln( 1 x) x2x3n1 nx ( 1)n no(xn 1) 。方法一 ：(直接展开)f (x)1， f (2)x1 x4 将以上结果代入泰勒公式，得f (x) 23 ， f (2),f (n) (x)1； f ( x)2 ， f (2)x1 (n 1)!1)n， f (n) (2)ln x f (2)f (2)1!(x 2)f 2(!2) (x2!2)2f (2) (x(4)3!2)3(2)4!f (n)(2) ( xn!2)no(x2)n)ln 212(x2)123(x2)2( 1)11(x2)n o( x2)n)。方法f (x)lnln(

7、2 x2) ln 2 ln(1x2x22)ln22)31)n(xx221 (n 1)!2n2)4 L(x2)31(x321 3 (x 2)33 231)n11n(xn( 1)n2 2)n o(x 2 2)n)11 n (x 2)n o( x n 2nln212(x2)1213 ( x2322)22)22)n)。5.求函数 f(x)思路：直接展开法，解法同1； 或 者间接展开 法，f (x) 为有理分式时通常利用已知的结 论11x1 x x2(11)n 2xn 1方法： f (x)1)1；f ( x)1)2 ； f (x)f ( 1) 6(n)(x)1)nn!n1 x(n)(1)( 1)nn!n

8、 1 n! ；( 1) n 1将以上结果代入泰勒公式，得1f ( 1) f ( 1)1!(x 1)f ( 1)(x2!1)2f 3(! 1)(x1)3方法( n) ( n!1)(x1)( 1) nn21(x 6.求函数 y1)n(x(n1)1()!)(x(n1)2(x 1)31 (x 1)1) n 111 ( x(x 1)介于 x 与 1之间)。1)n1)(x(x1)n( 1) nn21(x1)介于 x 与 1之间)。(x1)21)2(x1)3(x1)n(x1)3(x1)n( 1n)n2 1 (x 1)n 1xxe 的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。知识点 ：麦克劳林公式。思路 ：直接

9、展开法，解法同 1 ；间接展开法。f (x) 中含有 ex 时，通常利用已知结论2!n! o(xn) 。方法一 ： y(x1)ex ， y (0) 1； y(x 2)ex， y (0) 2；,y(n)(x n)ex ，y(n)(0) n ，将以上结果代入麦克劳林公式，x xef (0)f (0) x f (0) x1!2!x3方法2!xex(1(n1)!2!( n 1)!o( xn ) 。 7.验证当x 12 时，按公式x2f (0) x33!o( xn ) 。n1x(n1)!o(xn0.01，并求 e 的近似值，使误差小于 0.01f (n) (0) n x n!1 ) x3x计算 e6o(

10、xn)2!xx 的近似值时，所产生的误差小于知识点 ：泰勒公式的应用。思路 ：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围解： R3 (x) e4! xe2 x44!214! 2 411920.01 ； e480.646 。(12x28.用泰勒公式取 n 5，求 ln1.2 的近似值，并估计其误差。解：设 f ( x)ln(1x) ，则 f (x)f (0)2 x x5 x，从而 ln 1.2f (0.2)25知识点 ：泰勒公式的应用1!2!5!0.220.230.240.250.20.1823 ；其2345f (0) x f (0)x2 L f (5)(0) x516 6x 6(1 )

11、6 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：误差为： R5 ( x)0.2660.0000107。1) lim (3 x3 3xx2 x ) ；x1 1 x 2 1 x2 lxim0 (cos x ex )sin x2知识点 ：泰勒展开式的应用。思路 ：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：(1) lim (3 x3 3xx2 x )xlim x(1x32)3x12x(1) 2 xlim x(13132 o( 12 )xxxx(111( 1)2221o( 12 )xxlim (128xo(1)limxmi22x121x lim 2 x0(1 1 x2

12、21) 42 1) )x4o(x4)2 2 2 2 o(x2 ) (1 x2 o(x2)x2lxim01x83x4 o(x4 )2o(x4 )o(x4)112 10.设 x 0 ，证明： xln( 1 x)0，知识点 ：泰勒公式。思路 ：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展 开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解： ln(1 x) x3x3(1 )3介于 0与 x 之间)， x3x0 ，33(1 ) 3从而 ln(1 x) x3x3(1 )32x，结论成立。2也可用3.4 函数单调性的判定定理证明之)11.证明函数 f(x) 是n次多项式的充要条件

13、是 f (n 1)(x) 0。知识点 ：麦克劳林公式。思路 ：将 f (x ) 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。0。解：必要性。易知，若 f (x) 是n次多项式，则有 f (n 1)(x)充分性。 f (n 1)(x) 0， f (x)的n阶麦克劳林公式为：f (x)f (0) f (0) xf (0) x22!f (0) x3 L3! L(n)(0)xnn!n1 ()x (n 1)!( n 1)f (0)f (0) xf (0) x22!f (0) x33!( n) (0)x nn(0!)x ，即 f (x)是n次多项式，结论成立。 12.若 f ( x)在 a,b 上有

14、n阶导数，且 f (a) f (b)f (b)f (b) L(n 1)(b) 0证明在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (n)() 0(a b) 。知识点 ：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。(n 1)(x)在a,b 上满足思路：证明 f (n) () 0(a b) ，可连续使用拉格朗日中值定理，验证罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据f ( x) 在 x b 处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一 ： f (x) 在a,b 上可导，且 f (a) f (b) ，由罗尔中值定理知，在 (a,b) 内至少存在一点 1，使得 f (1) 0 ； f (x)在1,b a,b 上可导，且 f

15、(b) 0，由罗尔中值定理知，在 (1,b) (a,b) 内至少存在一点 2，使得 f (2) 0 ； 依次类推可知， f (n 1) (x)在n 1,b a,b上可导，且 f (n 1)(n 1) f (n 1)(b) 0，由罗尔中值定理知，在 (n 1,b) (a,b) 内至少存在一点 ，使得 f (n) () 0方法二 ：根据已知条件，f ( x) 在 x b 处的泰勒展开式为：f (b) 2f(n 1)(b)n1f (n) ()f (x)f (b) f (b)( xb)( x b)2 L(x b)n 1( x b)2!(n 1)!n!f (n) ()n( x b) n (xb)，n!

16、f (a)f (n)() (a(ab)n0，从而得 f (n) ()0，结论成立。n!内容概要名称主要内容函数单调性的判别法：设 y(1)若在 (a,b) 内 f (x)(2)若在 (a,b) 内 f (x)f (x)在a,b上连续，在 (a,b) 内可导，则0 ，则 y0 ，则 yf (x)在a,b 上单调增加；f (x)在a,b 上单调减少。函数的1) 曲线凹凸性的概念：设f ( x) 在区间I 内连续，如果对 I 上任意两点 x1 , x2 ，恒有单调性x1 x2 f (x1 )f (x2 )与曲线f ( 1 2) 12 ，则称f ( x) 在 I 上的图形是凹的；如果恒有的凹凸22性x

17、1 x2 f (x1 )f (x2 )f ( 1 2) 122，则称f ( x) 在 I 上的图形是凸的。2)拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设 f (x)在a,b 上连续，在 (a,b)内具有一阶和二阶导数，则(1)若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 yf (x)在a,b 上的图形是凹的；(2)若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 yf (x)在a,b 上的图形是凸的。巩固练习21.证明函数 y x ln(1 x2 ) 单调增加知识点 ：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。 在某个区间 I 上， f (x) 0

18、( f (x) 0)，解： f (x) 1 cosx 0 (仅在 x处 f ( x) 0 )，则 f ( x ) 在 I 单调增加(减少)证明：2x (1 x)2 y 1 2 2 0(仅在 x 1处 y 0 )，1 x 1 xy2x ln(1 x) 在( , ) 内是单调增加的。2.判定函数 f (x) x sin x(0 x 2) 的单调性。33f (x) x sin x(0 x 2) 是单调增加的3.求下列函数的单调区间：1 3 2( 1 ) y x x 3x 1 ；3(4) y ln(x 1 x2) ；2) y 2x 8(x 0) ； x5) y (1 x)x ；3) y26) y 2x

19、 2 ln x知识点 ：导数的应用。思路 ：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域 划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨 论，使得思路更清晰一些。解：( 1) y1 3 2x3 x 2 3x 1的定义域为 (2) ；令 y x2 2x 3 0 ，得 x11， x2 3 。列表讨论如下：x( , 1)1( 1,3)3(3, )f (x)00f(x)1 3 2由上表可知， y x3 x2 3x 1在( , 1)、(3,)内严格单增， 而在( 1,3)内严格单减。8(2) 在(0,)内，令 y 2

20、 2 0，得 x 2；x当 x (0,2)时，有 y 0 ；当 x (2, )时，有 y0；) 内严格单减。12 2x 138y 2x (x 0) 在(0,2)内严格单增，在 (2,x2 3 23) yx 3 x 2 的定义域为 ( ,) ；令 y3得 x 1； x 0 为不可导点。列表讨论如下：x( ,0)0(0,1)1(1, )f ( x)00f ( x) 内严格单增，而在 (0,1) 内严格单减。2 3 223x 3 x2 在( ,0)、(1,由上表可知， y14)y ln( x1 x2 ) 的定义域为 ()，1 x1x1x2 (1 1 x2)1 x20，yln(x1 x2) 在 ()

21、内严格单增。5)(1x) x的定义域为 0,)， y(x3x2)32 x 0 ，y(1x)x在0,) 上严格单增。6)22x2 ln x 的定义域为 (0,) ，令 y4x4x21 0 ，得当x(0,1)时， y 0；当 x (1, )时，220；y2x2 ln x在 (0,1 )内严格单增，在 (1,22) 内严格单减。4.证明下列不等式：1) 当 x 0时， 11x 1 x ； ( 2)当24时， 2xx23)当 x 0 时， (1x)ln(1 x) arctan x ；4) 0 x时， tan x213x3知识点 ：导数的应用或者泰勒公式的应用。第 10 题)，利用函数单调性也是证明不等

22、式常用的思路 ：利用泰勒公式可以证明一些不等式(见习题 3-3 方法。解：( 1)方法一 ：令 f (x)12x 1 x ，1则当 x 0时， f (x) 121121(1 11 x) 0， f (x) 1 1 x 1 x 在0, )上严格单增；从而 f (x) f(0) 0，21即1 x 1 x ，结论成立。2 方法 二：由泰勒公式，得f (x)1 12 x 1(12x2 3 )38(1 ) 28(1 f ( x)2x38(1 ) 20，从而得 11 x ，结论成立。2)方法一 ：令 f ( x)2x2x ，则当 x4 时， f ( x)f (x) 2x ln2 2 2f (4)216ln

23、2 2222 (ln 42 )2x22 x ln 2x f (x) 2xln2 2x在(4,) 内严格单增，从而 f (x) 2xln2 2x f (4) 16ln 2 4 4(ln16x2 f (x) 2x x2在 (4,)内严格单增，在 (4, 2x x2 ，结论成立。3)22x，222 (ln e2) 2 21) 0 ，) 内 f (x) 2 x x200，f (4)注：利用 f ( x)的符号判断 f ( x)的单调性， 利用 f ( x)的单调性判断其在某区间上的符号，f (x) 在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二 ：令 f(x) xln2 2ln x，/ 2 1 1 当

24、 x 4时， f /(x) ln2 x2 ln2 21 12ln412 0，x )，从而得出 f ( x)xln 2 2ln x在 (4, )内严格单增， f (x)xln 2 2ln x f(4) 4ln2 2ln 40 ，从而有， xln2 2ln x ，x ln 2 e2 ln xx 2e，即 2 x ，结论成立。3)令 f ( x)(1 x) ln(1 x ) arctan x ，则当 x 0 时有f (x) ln(1 x) 1 1 2 0 (仅在 x 0时， f (x) 0)，1x f (x) 在0,) 上严格单增，从而有 f (x) f (0) 0 ，即 (1 x)ln(1 x)

25、arctan x ，结论成立 2 24)令 g(x) tanx x，则当 0 x 时，有 g(x) sec x 1 tan x 0从而 g( x)tan x再令f(x)tanxx在 (0,)内严格单增， g(x)13x，3g(0)0，即在 (0,2)内tanx x；则当0x时，2f ( x)2 2 2sec x 1 x tan x0，从而f(x)tanx33在(0,2)内严格单增，即在 (0, )内 tanx2 5.试证方程 sin x 知识点 ：导数的应用。1x313x ，结论成立。3x 只有一个实根。f ( x)f (0) 0 ，sin 0 0 ，即 x 0是方程的一个根；思路 ：利用导数

26、的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。 解：易知，令 f (x) x sin x，则 f (x) 1 cosx 0 (仅在 x 2k(k Z)处 f (x) 0)， f (x) x sin x在( ,)内严格单增，从而 f (x) 只有一个零点，即方程 sin x x 只有一个实根。6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：f (x) x sin x 。知识点 ：导数的应用。思路 ：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。 f (x)cosx 0 (仅在 x (2k 1)(kZ) 处 f (x)0)， f ( x)sin x 在 (

27、) 内严格单增；而 f ( x)cosx在 (2k,(2k1) 内严格单减，在 ( 2k1) ,2k) 内严格单增，从而在) 上不单调。(1) yx ( x 0) ；( 2) yx2(3)xx1(4) y4x(x 1)4 ex ；(5 ) yln(x21)；(6)知识点 ：导数的应用。x7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：1x arctanx ；arctan xe思路 ：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将 定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。解：(1)y2

28、)12y 1 2 ， y2 ，当 x 0 时， y 0xx1 在0,) 上为凹函数，没有拐点。xx x2 x1的定义域为 ( , 1) (1,1) (1,)；1 x2 ，2 2 ，(x2 1)222x(x 2 3)23( x 1)0 ，得 x0；当x1或 0 x1时，y 0 ；当1x0或 x 1时， y 0；y的凹区间为 ( 1,0) 、(1, ) ，凸区间为 ( , 1) 、 (0,1) ； 拐点为 (0,0) 。3)y xarctan x 的定义域为 ()，yarctan x x 2 ，1 x2(1 2x2)20 ，(1 x2 )2yx arctanx 在整个定义域上为凹函数，没有拐点。4

29、)y ( x 1)xe x 的定义域为 ()， y 4(x 1)3 ex，12( x 1)2ex 0 ， y (x1)4在整个定义域上为凹函数，没有拐点。5)y ln( x 21) 的定义域为 ()，2 x2(11 x2 ， yx2)， (1 x2 )2 ，令yx( , 1)1( 1,1)1(1, )f ( x)00f ( x), 1) 、 (1,0 ，得 x1,21； 列表讨论如下：2由上表可知， y ln(x2 1) 的凸区间为 () ，凹区间为 ( 1,1) ，拐点为 ( 1,ln 2)及 (1,ln 2) 。arctan xyearctan x 的定义域为 ()，arctan xey

30、2 ，1xarcanxe (1 2 x)2 2 ，(1 x2 )2令y0 ，得 x 1 ；当 x 1 时， y220 ；当 x 12时，y1 arctan x1 1 1 arctanearctan x 的凹区间为 ( , ，凸区间为 ,)，拐点为 ( ,e 2 ) 。2 2 26) 8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：x y x ye e 21)e 2 (x y) ；22)cos x y2cos x cos y , x,y ( 2 , 2) 。知识点 ：函数凹凸性的概念。思路 ：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线 性组合时可考虑利用函数的凹

31、凸性。证明 ：(1 )令 y ex， yxxe0， y e 在 () 内是凹的。利用凹函数的定义，x,y () (x y) ，有xyee2xye 2 ，结论成立。,)内，22 用凸函数的定义， x,y ( ,) ( xx1 9.求曲线 y2 的拐点。x1知识点 ：导数的应用。思路 ：同2)令 y cosx ，在 (ycos xy) ，有cos x y20， y cosx在 ( , ) 内是凸的。利22cosx cos y，结论成立。7。解：x12 的定义域为 (x 2 1)，y2 x x2 ，2) 2 ，1(1 x(22x)(1 x2 )2 (1 2x24(1 x2)4x2 ) 4x(1x2)

32、2(x1)( x2 4x 1)23(1 x2 )3x( , 1)1( 1,2 3)23(2 3,2 3)23(2 3, )f (x)000f ( x)令y0 ，得 x11 ， x2,3 23 ；现列表讨论如下：由上表可知，拐点为 ( 1, 1)、(2 3, 13 )、(2 3,13 )。8 4 3 8 4 32bx2 的拐点？高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。310.问a 及b为何值时，点 (1,3)为曲线 y ax3知识点 ：导数的应用。思路 ：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又32解： y ax3 bx2 的定义域为 ()，y23ax 2bx ， y 6ax 2b ；将 (

33、1,3) 代入 y32ax bx 中，得：a b ；将 (1,3) 代入 y6ax 2b 中，得：6a 2b ；由得， a32，b 9 11. 试确定曲线ax 3 bx2cxd 中的 a、b、c、d ，使得在 x2处曲线有水平切线，(1, 10) 为拐点，且点( 2,44) 在曲线上。知识点 ：导数的几何意义及导数的应用。思路 ：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知 条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。将 (1,将x23ax 2bx10) 分别代入 y10abc， y 6ax44ax3 bx 2c d ；2b； 将 (8a 4bcx d 与

34、 y2,44) 代入 y2c d 6ax 2b 中，0 6a 2b 2 代入 y3ax22bx c 中，得 0 12a 4b c 由得， a1，b3，c24， d 16。 12. 试确定 yk(x23ax3)2 中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。bx 2 cx d ，得知识点 ：导数的应用。思路 ：可导的拐点必为二阶导数为零的点； 依此求出拐点坐标， 写出法线方程，根据已知条件， 求出 k 值。22解： y k(x2 3)2 的定义域为 (2)； y 4kx(x 3)， y12k(x2 1) ；令 y 0 ，得 x1,21 。易知，当 x的取值通过 x1,21的两侧时，212k(x2 1

35、) 会变号，2 (1,4k) 与 ( 1,4k )均为 y k(x223)2 的拐点； yx18k，x 1 8k，两拐点处法线方程分别为： y 4k81k(x 1)， y4k81k(x1)；f (x0) 0 ，f (x) f (x0)f ( x)f ( x0 ) lim 0 lim0 ；x x0x x0x 0 x x0f ( x)由极限的保号性知，必存在 0，使得 x (x0,) ，均有0 ；x x0从而当 x0 x x0时，有 f (x) 0 ，当 x0 x x0 时，有 f (x) 0 ； ( x0 ,f (x0 ) 为拐点。内容概要名称主要内容函数的 极值与 最大值 最小值极值的概念：设

36、函数 f (x)在点 x0的某个邻域内有定义， 若对该邻域内任意一点 x( x x0)， 恒有 f (x) f (x0)(或 f (x) f ( x0 ) )，则称 f (x)在点 x0处取得极大值(或极小值) ， 而 x0 成为函数 f ( x) 的极大值点(或极小值点) 。函数极值的判别法第一充分条件：设函数 f (x)在点 x0的某个邻域内连续且可导( f (x0)可 以不存在)，(1)若在 x0 的左邻域内， f (x) 0；在在 x 0的右邻域内， f (x) 0 ， 则 f ( x )在x 0处取得极大值 f(x0) ；(2)若在 x0 的左邻域内， f (x) 0 ；在在 x 0

37、的右邻域内， f (x) 0 ， 则 f ( x )在x 0处取得极小值 f(x0) ；(3)若在 x0的左邻域内， f ( x)不变号，则 f (x) 在x0处没有极值。 注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。第二充分条件：设 f(x) 在 x0 处具有二阶导数，且 f (x0) 0 ， f ( x0 ) 0 ，则(1)当 f (x0) 0时，函数 f (x)在 x 0处取得极大值；(2)当 f (x0) 0时，函数 f (x)在 x 0处取得极小值。注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系五、 练习五解：（1）方法f(x

38、)1 3 213x3 x2 3x的定义域为 (），1.求下列函数的极值：1 3 2ln 2 x（1）f(x)xx3x ； （2）yx ln(1 x ) ；（3）y；3x（4）yx1 x ；（5）yxe cos x ；（6）f (x) ( x1) 3 x2知识点：极值的充分条件。思路 ：求y0 的点或者y 不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行 判断。x2令 f （x） x 2x 3 0，得 x1 3， x21；现列表讨论如下：x( , 1)1( 1,3)3(3, )f (x)

39、00f(x)极大值点极小值点13由上表知， f ( x)x3f (3) 9 。2 x3x 在 x1处取得极大值为5f（ 1） 53，在 x 3处取得极小值为2方法二 ：令 f （ x） x22x3 0 ，得 x13 ， x21由 f (x) 2x 2 得，f(1) 4 0 ，f (3) 4 0由极值的第二充分条件知，f ( x) 1 x 33x2 3x 在 x1处取得极大值为5 f ( 1) ，3在 x 3 处取得极小值为f (3)9。（2）方法一 ： y xln(1x） 的定义域为1( 1, )，令 y 1 1 1xx0 ，得 x 0；1x当 1 x 0时，有 y 0；当 x 0时，有 y

40、0，由极值的第一充分条件知，y x ln( 1 x) 在 x0 处取得极小值为 f （0）0。方法二 ： y x ln（1 x） 的定义域为 （ 1,) ，令 y 1 10 ，得 x 0；又由 y (1 1x)2 ，得 y (0) 1 0 ， (1 x)由极值的第二充分条件知， y x ln(1 x) 在 x 0处取得极小值为 f (0) 0 。223) 方法一：y ln x 的定义域为 (0, )，令 y 2ln x 2ln x 0，得 x1 1，x2 x2e；现列表讨论如下：由上表知， y方法二 ： yx(0,1)1(1,e2 )2 e(e2 , )f / (x)00f(x)极小值点极大值点22 x处取得极大值为 f (e2 )ln 2 x在 x 1处取得极小值为 y(1) 0 ，在 x e xln 2 x 的定义域为 ( 0,x) ，令 y2ln x ln 2 xx20 ，得 x12e；2 6ln x 2ln 2 x 由yx3，得 y (1)0，y (e2)0；由极值的第二充分条件知，y ln2 x在x x1处取得极小值为y(1) 0，在处取得极大值为