基本行程问题

1、华杯赛”专题讲座基本行程问题基本关系式：路程 =速度时间 比例关系： 当速度一定时，路程与时间成正比； 当时间一定时，路程与速度成正比； 当路程一定时，速度与时间成反比 . 常用方法： 图示法（即用线段表示行驶的路程，用箭头表示行驶的方向） 例 1. 一名警察坐在公共汽车上发现一个小偷下车向反方向跑去，10 秒钟后， 警察下车立即去追小偷 .如果警察速度是小偷的 2倍，小偷速度是车速的 ，那么，警察追上小偷要用多少秒？ 答疑编号 0518390101 【答案】 110【解答】设小偷每秒的速度为“ 1”，则警察的速度为“ 2”，车速为“ 10”， 警察开始追小偷时，两人的距离是（1 10）10=

2、110，追及的时间是 110（ 21） 110（秒） .总结： 1）用图示法将过程表示清晰是解决行程问题的第一步； 2）这里已经出现了追及问题的一般公式：追及时间=追及距离 ?速度差例 2. 甲、乙、丙三人同时从 A 地向 B 地跑，当甲跑到 B 地时，乙离 B 地还有 30 米，丙离 B 地 还有 40 米；当乙跑到 B地时，丙离 B地还有 16 米.A 、 B两地相距多少米？ 答疑编号 0518390102 【答案】 80 【解答】由题意知，乙跑 30米，丙跑 401624（米） . 由此推知，乙、丙速度比为 30:24 5:4 ， 当乙离 B地还有 30 米，丙离 B地还有 40米时，乙

3、比丙多跑 10 米，此时丙跑 10（ 1） 40（米） .两地相距 40+4080 （米） . 总结：1）在比较基本的行程问题中， 速度一般是不改变的， 因此对同一个人而言， 路程与时间成正比； 2）对多个人而言，当大家所用时间相等时，路程之比等于速度之比.1500 千米，飞回例 3. 一架飞机所带的燃料最多可以用 6 小时，飞机去时顺风，每小时可以飞 时逆风，每小时可以飞 1200 千米，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？ 答疑编号 0518390103【答案】 4000【解答】往返的速度之比是 1500:1200=5:4 ， 因此时间之比是 4:5.那么顺风飞行时间最多为 6小时，即最

4、多飞出 1500 =4000 千米，就要返回例 4. 小明从家去学校，如果他每小时比原来多走 1.5 千米，他走这段路只需原来时间的 ；如 果他每小时比原来少走 1.5 千米，那么他走这段路的时间就比原来时间多几分之几？ 答疑编号 0518390104【答案】解答】由于速度提高后所用时间是原来的 ，所以速度是原来的 倍，原来速度是每小时1.5（ -1）=6 千米.现在速度是原来的（ 6-1.5 ） 6= ，因此所用时间比原来多 -1= .例 5. 甲、乙两车先后以相同的速度从 A 站开出， 10 点整甲车距 A 站的距离是乙车距 A 站距离的 三倍， 10点 10分甲车距 A站的距离是乙车距

5、A站距离的二倍 . 问：甲车是何时从 A站出发的？ 答疑编号 0518390105【答案】 9 点 30 分【解答】因为两车速度相同，所以两车距A 站的距离之比就是两车行驶的时间之比.可设 10 点整时，乙行驶的时间为“ 1”份，则甲为 3 份，差为 2 份；到 10 点 10 分时，（ 3 1）（ 21） 2，说明此时乙行驶的时间为 2份. 因此两车行驶 1份的时间是 10分钟，甲车出发时间为 9点 30分.例 6.A 、B两地相距 2400 米. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行 . 两人在途中某处相 遇后，甲又继续行进 18 分钟到达 B地，乙又继续行进 50 分钟到达 A地

6、.那么甲比乙每分钟多走多少 米？ 答疑编号 0518390106【答案】 20【解答】记甲、乙的速度分别是M、N.则由题意我们知道，甲 18 分钟走的路程等于相遇前乙走的路程，而乙 50 分钟走的路程等于相遇前甲走的路程 . 如果记两人从出发到相遇这段时间为T，则有 MT=N50 和 NT=M18，由此易得 T?50=18?T，所以 T=30分钟 .于是由相遇问题的解法知 M+N=2400?30=80，且 3M=5N， 所以容易求得 M=50米/ 分，N=30米/ 分. 所以甲每分钟比乙多走 20 米.例 7.一列火车通过长 320米的隧道，用了 52秒.当它通过长 864 米的大桥时，速度比

7、通过隧道时提高了 ，结果用了 1分 36秒.求：（ 1）火车通过大桥时的速度；（ 2）火车车身的长度 . 答疑编号 0518390107【答案】（ 1）10米/秒 （2）96 米 【解答】（ 1）假设火车通过大桥时的速度不变，则它通过大桥时的时间为 96（ 1+ ）=120 秒 . 这就是说，火车以相同的速度分别通过 320 米的隧道和 864 米的大桥， 所用时间差为 120-52=68 秒.火车通过大桥时的速度为：（ 864-320 ）（ 120-52 ）（ 1+ ）=10米/ 秒.（ 2）火车车身长为 1096-864=96 米. 总结： 在火车问题中，火车的车身长是不能忽略的，我们需要

8、将车身长加入到路程当中去考虑 .例 8. 一座铁路桥上相向驶来两列火车，还有一个铁路维修工正沿着铁路在桥上行走 . 当两列火 车相遇时，它们的车尾恰好位于桥的两端，此时维修工恰好在两个车头相遇处；60 秒后当两列火车离开时， 它们的车头又恰好位于桥的两端， 此时维修工恰好在两个车尾离开处 . 已知两列火车的速度 比是 5:3 ，维修工的行走速度是每秒 5 米，那么这座铁路桥的长度是多少米？ 答疑编号 0518390108【答案】 1200 米【解答】维修工 60 秒行走的路程是 560=300 米，这也是两列火车车身长度的差 . 而每列火车在这 60 秒的时间里所行驶的路程是桥的长度减去自己的

9、车身长度， 也就是对方的车身长度，因此两列火车在这 60秒里的路程差也是 300 米.而它们的速度比是 5:3 ，所以路程比也是 5:3 ，所以两列火车的车身长分别是 米和 米， 那么铁路桥的长度是 450+750=1200 米 .行程问题之停靠例 1. 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行驶750米，预计 50 分钟到达 .但行驶到 路程时汽车出了故障， 用 5 分钟修理完毕 . 如果要在预定时间到达乙地， 那么在余下的路程中， 每分钟必须比原 来快米. 答疑编号 0518390201【答案】 250【解答】出故障时距离乙地还有 米，而还剩下时间 分钟，所以在余下的路程中， 速度应为 15000

10、15 1000（米/ 分钟），每分钟比原来快 1000750250 米.例 2. 小明原计划中午 1:15 出发，以每小时 3.6 千米的速度步行， 于 1:27 到达邮局， 寄信后 1:30 从邮局出发， 1:40 到达学校 . 但是由于出发一段时间后发现信落在了家里，于是返回家中取信后到 达邮局，只花 1 分钟就办好了寄信手续，然后以原来速度的两倍赶到学校，恰好还是 1:40. 那么小 明是从家走出多少米时发现自己没有带信的？ 答疑编号 0518390202【答案】 210【解答】小明正常的速度是每分钟360060 60 米，他从家到邮局用了 12分钟，从邮局到学校用了 10 分钟。 实际

11、上小明从邮局到学校只用了 102 5 分钟， 因此他从家到邮局一共用了 25 51 19 分钟， 其中多出的 1912 7 分钟是用来往返取信的。 因此他走出 60 7 2 210 米时发现自己没有带信。例 3. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的80%。已知大轿车比小轿车早出发 17分钟，但在两地中点停了 5 分钟后才继续驶往乙地； 而小轿车出发后中途没 有停，直接往乙地， 最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。 又知大轿车是上午 10 时从甲地出发 的。那么，小轿车是在上午几时几分追上大轿车的？ 答疑编号 0518390203【答案】 11 时 5 分【

12、解答】由题意知，从甲地驶往乙地，大轿车比小轿车共多用175416 分。因为大小轿车的速度比为（ 180%）： 1 4：5，所以行同样的甲乙全程， 所用的时间比为 5： 4。由此知大轿车走全程用时为 16 80 分，则小轿车用时为 80 1664 分。当小轿车追上大轿车时，少用 17512 分，则此时小轿车开出 1248（分）。此时距 10点已过 174865（分），因此追上时间是 11时 5分。例 4. 甲、乙两地相距 100 千米，小张先骑摩托车从甲地出发， 1 小时后小李驾驶汽车从甲地出 发，两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时 50千米，中途减速后为每小时 40 千米。汽车速 度是每

13、小时 80 千米，汽车曾在途中停驶 10 分钟。那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少 小时？ 答疑编号 0518390204答案】（小时）【解答】汽车行驶 100 千米要用时间 （小时） 所以摩托车行驶时间是摩托车以每小时 40 千米行驶小时行驶距离为 千米第 8 页（千米）所以用 50 千米行驶 （小时）答：小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的 小时。例 5.甲、乙二车往返于相距 40千米的 A、B两地. 甲车先从 A地出发， 10分钟后乙车也从 A出 发，并在距 A地 10 千米的 C处追上甲车，乙车到 B之后休息 18 分钟，再向 A地原速驶回，甲车到 B地之后立刻加快速度向 A地返

14、回，并在 C处又将乙车追上 . 问，最后甲车比乙车提前多少回到A处. 答疑编号 0518390205【答案】 4 分钟【解答】当乙车到达 B地时，B到 C的距离是 A到 C距离的 3倍。所以，甲车还需要 103=30 分钟才能到达。 所以，当乙往回返时，甲还没有到达B 地。当乙车从 B地出发 3018=12 分钟后，甲从 B地出发。说明从 B地到 C地，乙车比甲车多用 12 分钟。所以，从 C地到 A 地，乙车比甲车多用 123=4 分钟。即最后甲车比乙车提前 4 分钟回到 A处。例 6. 甲、乙两车从 A、 B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40 千米，乙车每小时行 50 千米，如果两车到

15、达目的地后立即返回，则迎面相遇在距B地 225 千米处，可实际上乙车到达 A地后因加油而花费一段时间，使得两车相遇时距A地 440 千米，求乙车在 A地停留了多少分钟？ 答疑编号 0518390206【答案】 80【解答】如果乙车不停留，当两车相遇时，它们走的总路程是AB之间距离的 3 倍 .因为两车的速度比是 40:50 4:5 ，所以这时甲车走的路程是AB距离的倍.因此 AB两地相距千米.实际上由于乙车在 A地停留，所以甲车走的路程是 6752 440910 千米， 所用时间是 91040 22.75 小时 .而乙车实际走的的路程是 6754401115 千米，所用时间是 111550 2

16、2.3 小时 . 因此乙车在 A地停留的时间是 22.75 22.3 0.45 小时，即 27分钟 .行程问题之变速行驶例 1. 小明骑车 8 点出发赶往天安门广场，计划 9 点到达 . 到 8 点 15 分时，他把速度提高，每分 钟多骑行 80米，结果 8点 45分就到达了 .那么小明骑行的总距离是 千米 . 答疑编号 0518390301【答案】 9.6【解答】在变速之后的行程中，实际骑行 30 分钟，这一段计划应骑行 45 分钟，时间比为 2:3 ，所以速度比为 3:2 。而速度的差是 80米/分钟，可得原计划的速度是 160 米/分钟。骑行总距离为 160601000 9.6 千米。例

17、 2. 小明早上从家步行到学校去，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书。 追上时， 小明还有 的路程未走完， 小明随即上了爸爸的车， 由爸爸送往学校。 这样，小明比独自步行提早 5 分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多长时间？ 答疑编号 0518390302【答案】 23 分钟【解答】爸爸从家出发到追上小明这段时间内爸爸与小明所行路程比为（ 1 ）：（ 1） 7：2，余下的 路程，小明步行需要 5（ 1 ）7 分。所以，小明步行走完全程，需要 7 23 （分）。例 3. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行 . 当甲走到一半时，乙将速度提高一倍，结 果

18、两人在距离 B地 1200米处相遇，并且最后同时到达 . 那么两地相距多少米？ 答疑编号 0518390303【答案】 2800 【解答】当甲走到一半时，乙开始提速，因此乙提速前与提速后的时间是一样多的。 因为在后一半时间里乙的速度是原来的 2 倍， 所以后一半时间里乙走的路程也是前一半时间的 2 倍。那么当甲走到一半时，乙只走到全部路程的 。 因此甲乙原先的速度比是 3:2 。当乙提速后，甲乙的速度比变为 3:4 ，因此这段时间里乙又走了全程的那么他们的相遇地点与 B 地的距离是全程的，因此两地相距 米。B点同时出发，沿跑例 4. 如图，甲、乙两个小朋友参加运动会跑步比赛，他们从正方形跑道的

19、道逆时针跑步前进，甲的速度是每秒 5.4 米，乙的速度比他慢，但是当乙跑在AD跑道上听到同学们的加油声后，速度提高为原先的1.5 倍，结果与甲同时跑到A点. 那么乙原先的速度是每秒跑 米 . 答疑编号 0518390304【答案】 4.8【解答】以 D为分点，将乙的行程分为两段，这两段的路程之比是 2:1 ，速度之比是 1:1.5 ，可得时间之比是 3:1 。 同时，甲的速度始终不变，一共跑了三个边长的长度。因此当乙跑到 D时（他跑了两个边长的长度），甲跑了 个边长的长度，所以在此期间甲乙的速度之比是那么乙一开始每秒跑 米。例 5. 一艘货轮要把货物从下游的 A地运往上游的 B地，同时从 B 地有一条无动力漂流观景船同 时出发， 随江水漂向 A地.货轮行驶 64千米后遇到观景船， 共用了 8小时到达 B地.一周后， 货轮和 观景船仍然分别从 A地和 B 地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也 提高了一半，结果货轮行驶了 千米后遇到观景船 . 求 AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静 水速度 . 答疑编号 0518390305 【答案】 96 千米； 18 千米 /小时 【解答】由于货轮与观景船的速度之和就是货轮的静水速度， 所以两次相遇所用时间之比是 3:2 。由于观景船的速度第二次是第一次的两倍， 所以相遇时它行驶的路程之比是 3: