导数的概念复习

1、导数定义的利用例若 limf ( x0x)f ( x0 )k ，则 limf ( x0 2 x) f ( x0 ) 等于（）x 0xx 0xA 2kB kC1kD 以上都不是2分析： 本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解： 由于 limf (x02x)f (x0 )x0xf (x02x)f ( x0 )lim2x2x02limf (x02x)f (x0 )，应选 A2x2kx 0求曲线方程的斜率和方程例已知曲线1上一点 A(2,5y x) ，用斜率定义求：x2（ 1）点 A 的切线的斜率（ 2）点 A 处的切线方程分析： 求曲线在 A 处的斜率 kA ，即求 limf (2

2、 x) f (2)x 0x解：（ 1）yf ( 2x)f (2)2x1x(21 )xx222(2 x)limylimxxx2 x(2x)xx 0x 0lim1132( 2x)4x 0（ 2）切线方程为 y53 ( x2)24即 3x 4y 4 0说明： 上述求导方法也是用定义求运动物体SS(t ) 在时刻 t0 处的瞬时速度的步骤判断分段函数的在段点处的导数1( x21)(x1)例已知函数f (x)2，判断 f (x) 在 x1 处是否可导？1( x1)( x1)2分析： 对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导y1 (1x) 211 (121)解： limlim2x21x

3、0 xx0y1(1 x1)1 (121)limlim22x 0xx 0x12 f (x) 在 x1处不可导说明：函数在某一点的导数， 是指一个极限值， 即 lim0f (x0x) f ( x0 ) ，当 x0 ；xx包括x0 ；x0 ，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数利用导数定义的求解例设函数 f ( x) 在点 x0 处可导，试求下列各极限的值1 limf (x0x)f (x0 ) ；x 0x2 limf ( x0h)f (x0h) .h 02h3若 f(x0 )2 ，则 limf (x0k )f

4、 (x0 ) 等于（）k 02k1A 1 B 2 C 1 D2分析： 在导数的定义中，增量x 的形式是多种多样的，但不论x 选择哪种形式， y也必须选择相对应的形式利用函数f (x) 在点 x0 处可导的条件， 可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式解： 1原式 limf (x0x)f ( x0 )x 0(x)f ( x0x)f ( x0 )( x0 )limxfx 0f (x0h)f ( x0 ) f ( x0 )f ( x02原式 lim2hh01f (x0h)f ( x0 )f ( x02limhlimh 0h 01f (x0 )f ( x0 )f ( x0 ).2h)h)

5、 f ( x0 )h3f( x0 )limf x0k0 limf (x0k)f ( x0 )k02k1 lim f( x0(k )2 k0k121. 故选 A 2(k) f (x0 ) 2 （含 kf (x0 )1 f ( x0 )2x k ），说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化利用定义求导数例 1求函数 yx 在 x 1 处的导数；2求函数 yx2axb （ a、b 为常数）的导数分析：根据

6、导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数 yf ( x) 在 x x0处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法解： 1解法一（导数定义法） ：y1x1 ，y1x11,xx1x1lim1111 ,yx11 .x 0x22解法二（导函数的函数值法）：yxxx ，yxxx1,xxxxxlimylimx1x1 .x0xx0x2x y1x,yx 11 .222 y( xx)2a( xx) b(x2axb)2x x ( x2 ) a x (2x a) x ( x) 2y(2xa)x( x)2(2xa)x,xxlimylim (2xax)2xa, y2 xa.xx0x0说明： 求导其本

7、质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式， 即导数的定义， 这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念证明函数的在一点处连续例 证明：若函数f (x) 在点 x0 处可导，则函数 f (x) 在点 x0 处连续分析： 从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明f ( x0 ) 在点 x0 处连续，必须证明 lim f ( x)f ( x0 ) 由于函数 f ( x) 在点 x0 处可导， 因此，根据函数在点 x0 处x x0可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化解：证法一：设xx0x ，则当 x

8、x0 时， x0 ，limf (x) lim f ( x0x)x x0xx0lim f ( x0x)f ( x0 ) f ( x0 )xx0f ( x0x)f ( x0 )f ( x0 )limxxxx0f ( x0x)f (x0 )xlim f ( x0 )limxlimx0x 0x 0f ( x0 ) 0f (x0 )f (x0 ).函数 f ( x) 在点 x0 处连续证法二：函数f ( x) 在点 x0 处可导，在点 x0 处有lim f ( x)f (x0 )limyx x0x0limyxlimylimxx0xx0xx0f ( x0 ) 00limf( )f(x0).函数 f (x) 在点x0处连续xx0x说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透