定积分知识点总结.doc

1、定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义设有一函数 f(x) 给定在某一区间 a,b 上.我们在 a 与 b 之间插入一些分点 ax0x1x2.xnb .而将 该区间任意 分为若干 段 .以 | 表示差数xixi 1xi (i0,1,., n1) 中最大者 .在每个分区间 xi , xi 1 中各取一个任意的点xi .xiixi 1 (i0,1,., n1)而做成总和n 1f ( i )xii0然后建立这个总和的极限概念：I lim| | 0另用 语言进行定义：0 ，0 ，在 |时，恒有|I |则称该总和在0 时有极限 I .总和在0 时的极限即 f(x)

2、在区间 a 到 b 上的定积分，符号表示为bIf (x) dxa2. 性质 设 f(x) ，g(x) 在a,b 上可积，则有下列性质(1) 积分的保序性bb如果任意 xa,b, f ( x), g( x) ，则f ( x) dxg ( x) dx,aab特别地，如果任意xa,b, f ( x)0,则f (x) dx0a(2)积分的线性性质bbb(f (x)g ( x) dxf ( x) dxg ( x) dxaaabb特别地，有cf ( x)dxcf ( x) .aa设 f(x) 在a,b 上可积，且连续，(1) 设 c 为a,b 区间中的一个常数，则满足bcbf ( x)dxf ( x)dx

3、f ( x)dxaac实际上，将 a,b,c三点互换位置，等式仍然成立.(4)存在a, b ，使得bf ( x)dx(ba) f ( )a二、达布定理1. 达布和分别以 mi 和 M i 表示函数 f(x)在区间 xi , xi 1 里的下确界及上确界并且做总和nnS(, f )M i ( xixi 1 ), S(, f )mi (xixi 1)i 1i 1S( , f ) 称为 f(x)相应于分割的达布上和，S(, f ) 称为 f(x) 相应于分割的达布下和特别地，当 f(x) 连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下 f(x) 在没一个区间上都可以

4、达到其上下确界 .回到一般情况，有上下界定义知道mi f ( i ) M i将这些不等式逐项各乘以xi ( xi 是正数 ) 并依 i 求其总和，可以得到S(, f )S(, f )推论 1设 f(x) 在a,b上有界 .设有两个分割， ， 是在的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则S(S(, f ), f )S(S(, f ), f )S(S(, f ), f )kk|,|,这里推论2M设m,M ,m 分别为 f 在a,b上的上、下确界f(x) 在a,b上有界 .对于任意两个分割., ，有m(ba)S(, f )S(, F )M ( ba)2.达布定理定义设 f(x) 在a,b 上有界，

5、定义IIinf S( sup S(, f ) | , f ) |为 a, b上一个分割为 a, b上一个分割，。称 I 为 f(x) 在a,b 上的上积分， I 为 f(x) 在a,b 上的下积分 .定理对于 f(x) 在a,b上的有界函数，则有lim S(, f )I , lim S(, f )I .| |0| |03. 函数可积分条件设f(x)在a,b上有界，下列命题等价：(1)f(x)在a,b可积；(2)I I ;(3)对于 a,b， limn(xixi 1 )0 ；上的任何一个分割0i| |i 1(4)任给0，存在0 ，对于 a,b 上的任何分割，当 | |，有ni ( xixi 1

6、)i 1成立；(5)任给0 ，在 a,b存在一个分割，当 |时有ni ( xixi 1)i 1成立 .这里iM imi 为 f(x)在区间 xi , xi 1 上的振幅 .三、微积分基本定理定理（Newton-Leibniz公式）设 f(x) 在a,b 上可积，且在 a,b上有原函数 F(x) ，则bf ( x) dxF ( b)F ( a)a注： 1.f(x)是 f (x)的原函数，故当f R( a,b)时，该公式可写为bf ( x) dxf (b)f (a)a2. 上述定理并不是说可积函数一定有圆环数， 而是说如果存在原函数， 那么可用来计算定积分的值 .Newton-Leibniz 公式

7、把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门 .四、定积分的计算除了利用 Newton-Leibniz公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分 .b1定积分中变量替换公式设要计算积分f ( x) dx ，这里 f(x) 是在区间 a,b 内连续a的.令 x(t) ，函数 (t) 具备下列条件：1）函数 (t ) 在某一区间 , 内有定义且连续， 而其值当 t 在 , 内变化时恒不越出区间 a,b 的范围；2）( )a,()b;3）在区间 , 有一连续函数 (t ) .于是成立公式bf ( x)dxf (t)( t) dta由于被积函数假设是

8、连续的，不但这些定积分存在， 同时其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式 .2 定积分的分部积分法在不定积分部分曾经讨论过公式udv uv vdu,这里假设以 x 为自变量的函数 u，v 以及其导函数 u， v都是在考虑区间 a,b 里连续的 . 则我们有bbbudvvduuvaaa五、定积分中值定理微分中值公式F (b)F (a)F ( )(ba),(a,b)说明，函数值的差可以通过其导数值来表达和估算.如果从微分运算的逆运算来认识积分运算，那么就有相应的积分的中值公式：记 F(x)=f(x)，即把 F(x) 看作是可积函数f(x)的原函数，则上述公式化为bf (x)dxf (

9、)(ba),(a,b)a这一类公式称之为积分中值公式， 它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表达和估算 .上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x) 是a,b 上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等， 而矩形的高 f ( ) 正是 f(x) 在a,b 上的积分平均值：f ( )1bbf (x)dxa a1 定 积 分 第 一 中 值 公 式设 gR( a,b) ， 且 函 数 值 不 变 号 ( 即 对 一 切x a, b, g (x)0或g( x)0 ).(1)supinf ( )，则存在 :若 fR( a,b) ，且记M f ( x) mmM

10、 , x a,b，f x， a ,ba ,b 使得bbf ( x)g ( x)dxg(x)dxaa(2)若fC( a, b)，则存在 a,b ，使得bbf ( x) g (x)dxf ()g ( x)dxaa2 定积分第二中值公式引理 (Abel)k设有两组数 a1, a2 ,., an, b1, b2 ,.,bn 记 Akai (k 1,2,.,n) ，则i 1nn 1ai biAi (bibi 1 ) Anbni 1i 1推论 若有 mAM (k 1,2,., n)bb. b0，则有k，且 12nmb1nai biMb1i 1定理 (Bonnet 型)设 g R( a,b) .(1)若 f

11、(x) 是a,b上非负递减函数，则存在a,b ，使得bf (a) g(x)dxf ( x)g( x)dxaa(2) 若 f(x) 是a,b上非负递增函数，则存在 a, b ，使得bf (a) g( x)dxf ( x) g (x)dxaa3 定积分第三中值公式定理 (Weierstrassz型)设 f(x) 在a,b上是单调函数， gR( a,b) ，则存在a,b ，使得bbf (x) g( x)dxf (a)g (x)dxf (b)g( x)dxaa六、函数可积分的勒贝格定理定义设 A 是实数集合，若，对任意0 ，存在至多可数的系列开区间 I n , nN * ，它是 A 的一个开覆盖，并且| I n |，则称